Giải và biện luận phương trình, bất phương trình dựa vào hàm số

Cho f(x) là hàm số xác định và liên tục trên D, thì:

\(f\left( x \right)\le g\left( m \right)\) với mọi \(x\in D\Leftrightarrow g\left( m \right)\ge \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\)

\(f\left( x \right)\le g\left( m \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(g\left( m \right)\ge \underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\)

\(f\left( x \right)\ge g\left( m \right)\) với mọi \(x\in D\Leftrightarrow g\left( m \right)\le \underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\)

\(f\left( x \right)\ge g\left( m \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(g\left( m \right)\le \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\)

Bài 1:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình: \(m\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}+m+2x-{{x}^{2}}\le 0\) có nghiệm \(x\in \left[ 0;1+\sqrt{3} \right]\)

A. \(m\le \frac{2}{3}\)

B. \(m\le -1\)

C. \(m\ge \frac{2}{3}\)

D. \(m\le 0\)

Giải:

Bpt \(\Leftrightarrow \left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}+1 \right)+x\left( 2-x \right)\le 0\Leftrightarrow m\le \frac{{{x}^{2}}-2x}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}+1},\left( 1 \right)\)

Đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}\Rightarrow {{x}^{2}}-2x={{t}^{2}}-2\)

Ta xác đinhk ĐK của t:

Xét hàm số \(t=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}\) với \(x\in \left[ 0;1+\sqrt{3} \right]\), ta đi tìm ĐK ràng buộc của t.

Ta có: \(t'=\frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}},t'=0\Leftrightarrow x=1\)

Vậy với \(x\in \left[ 0;1+\sqrt{3} \right]\) thì \(1\le t\le 2\)

Khi đó: (1) \(\Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}-2}{t+1}\) với \(t\in \left[ 1;2 \right]\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-2}{t+1}\) với \(t\in \left[ 1;2 \right]\)

Ta có: \(f'\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+2t+2}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left[ 1;2 \right]\)

Vậy hàm số f tăng trên [1;2].

Do đó, yêu cầu của bài toán trở thành tìm m để (1) có nghiệm \(t\in \left[ 1;2 \right]\)

\(\Leftrightarrow m\le \underset{t\in \left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( 2 \right)=\frac{2}{3}\)

Vậy \(m\le \frac{2}{3}\) thì pt có nghiệm. Chọn A.

Bài 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:

\(m\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{1-{{x}^{2}}}+2 \right)=2\sqrt{1-{{x}^{4}}}+\sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{1-{{x}^{2}}}\) có nghiệm.

A. \(m\le \sqrt{2}-1\).

B. \(\sqrt{2}-1\le m\le 1\).

C. \(m\ge 1\).

D. \(m\le 1\).

Giải:

ĐK: \(x\in \left[ -1;1 \right]\).

Đặt \(t=\sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{1-{{x}^{2}}}\). Với \(x\in \left[ -1;1 \right]\), ta xác định ĐK của t như sau:

Xét hàm số \(t=\sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{1-{{x}^{2}}}\) với \(x\in \left[ -1;1 \right]\).

Ta có:

\(t'=\frac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}+\frac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=\frac{x\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}}+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)}{\sqrt{1-{{x}^{4}}}}\), cho \(t'=0\Leftrightarrow x=0\)

Ta có \(t\left( -1 \right)=\sqrt{2},t\left( 0 \right)=0,t\left( 1 \right)=\sqrt{2}\)

Vậy với \(x\in \left[ -1;1 \right]\) thì \(t\in \left[ 0;\sqrt{2} \right]\)

Từ \(t=\sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Rightarrow 2\sqrt{1-{{x}^{4}}}=2-{{t}^{2}}\)

Khi đó pt đã cho tương đương với: \(m\left( t+2 \right)=-{{t}^{2}}+t+2\Leftrightarrow \frac{-{{t}^{2}}+t+2}{t+2}\)

Bài toán trở thành tìm m để phương trình \(\frac{-{{t}^{2}}+t+2}{t+2}=m\) có nghiệm \(t\in \left[ 0;\sqrt{2} \right]\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{-{{t}^{2}}+t+2}{t+2}\) với \(t\in \left[ 0;\sqrt{2} \right]\)

Ta có: \(f'\left( t \right)=\frac{-{{t}^{2}}-4t}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}<0,\forall t\in \left[ 0;\sqrt{2} \right]\)

Suy ra: \(\underset{t\in \left[ 0;\sqrt{2} \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( 0 \right)=1,\underset{t\in \left[ 0;\sqrt{2} \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=f\left( \sqrt{2} \right)=\sqrt{2}-1\)

Bây giờ yêu cầu bài toán xảy ra khi: \(\underset{t\in \left[ 0;\sqrt{2} \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)\le m\le \underset{t\in \left[ 0;\sqrt{2} \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)\Leftrightarrow \sqrt{2}-1\le m\le 1\)

Vậy với \(\sqrt{2}-1\le m\le 1\) thảo yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Bài 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:

\(3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{{{x}^{2}}-1}\text{ }\left( 1 \right)\) có nghiệm.

A. \(m\le \sqrt{2}-1\).

B. \(\sqrt{2}-1\le m\le 1\).

C. \( - 1 < m \le \frac{1}{3}\)

D. \(m \le - 1\)

Giải:

ĐK xác định của phương trình : \(x\ge 1.\)

Khi đó:

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow 3\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+m=2\sqrt[4]{\frac{{{x}^{2}}-1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}\Leftrightarrow 3\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+m=2\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}\text{  }\left( 2 \right)\)

Đặt \(t=2\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}\text{ ,}\left( t\ge 0 \right)\). Vì \(\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}=\sqrt[4]{1-\frac{2}{x+1}}<1\) nên t<1.

Vậy với \(x\ge 1\) thì \(0\le t<1\)

Khi đó, \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+m=2t\Leftrightarrow -3{{t}^{2}}+2t=m,\left( 3 \right)\).

Bây giờ bài toán trở thành tìm m để (3) có nghiệm \(t\in \left[ 0;1 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+2t\) trên khoảng \(\left[ 0;1 \right)\). Ta có:

\(f'\left( t \right)=-6t+2,f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow -6t+2=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}\).

BBT

Vậy \( - 1 < m \le \frac{1}{3}\)

Chọn C.

Bài 4:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:

\(\sqrt{{{x}^{2}}+mx+2}=2x+1\) có 2 nghiệm thực phân biệt.

A. \(m\le 9\)

B. \(m\ge \frac{9}{2}\)

C. \(- 1 < m\)

D. \(m \le 7\)

Giải:

Ta có: \(\sqrt{{{x}^{2}}+mx+2}=2x+1\text{ }\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x\ge -\frac{1}{2} \\ & 3{{x}^{2}}+4x-1=mx\text{ }\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\left( * \right)\)

Nhận xét:

x=0 không phải là nghiệm của (2). Do vậy, ta tiếp tục biến đổi: \(\left( * \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge -\frac{1}{2} \\ & \frac{3{{x}^{2}}+4x-1}{x}=m\text{ }\left( 3 \right) \\ \end{align} \right.\)

Bài toán trở thành tìm m để (3) có 2 nghiệm thực phân biệt:

\(x\in \left[ -\frac{1}{2};+\infty  \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}+4x-1}{x}\) với \(x\in \left[ -\frac{1}{2};+\infty  \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Ta có:

\(f'\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}}>0,\forall x\in \left[ -\frac{1}{2};+\infty  \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)

BBT

Vậy với \(m\ge \frac{9}{2}\) thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt.

Chọn B.

Bài 5: 

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt \(\sqrt[4]{2x}+\sqrt{2x}+2\sqrt[4]{6-x}+2\sqrt{6-x}=m,\left( m\in \mathbb{R} \right)\)

A. \(2\sqrt{6}+2\sqrt[4]{6}\le m\le 3\sqrt{2}+6\)

B. \(2\sqrt{6}+3\sqrt[4]{6}\le m\le 3\sqrt{2}+8\)

C. \(\sqrt{6}+2\sqrt[4]{6}\le m\le 3\sqrt{2}+6\)

D. \(\sqrt{6}+2\sqrt[4]{6}\le m\le 3\sqrt{2}+6\)

Giải:

ĐK: \(0\le x\le 6\)

Đặt vế trái của phương trình là \(f\left( x \right),x\in \left[ 0;6 \right]\).

Ta có:

\(\begin{align} & f'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt[4]{{{\left( 2x \right)}^{3}}}}+\frac{1}{\sqrt{2x}}-\frac{1}{2\sqrt[4]{{{\left( 6-x \right)}^{3}}}}-\frac{1}{\sqrt{6-x}} \\ & =\frac{1}{2}\left( \frac{1}{\sqrt[4]{{{\left( 2x \right)}^{3}}}}-\frac{1}{\sqrt[4]{{{\left( 6-x \right)}^{3}}}} \right)+\left( \frac{1}{\sqrt{2x}}--\frac{1}{\sqrt{6-x}} \right),x\in \left( 0;6 \right) \\ \end{align}\)

Đăt:

\(u\left( x \right)=\left( \frac{1}{\sqrt[4]{{{\left( 2x \right)}^{3}}}}-\frac{1}{\sqrt[4]{{{\left( 6-x \right)}^{3}}}} \right),v(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2x}}-\frac{1}{\sqrt{6-x}} \right),x\in \left( 0;6 \right)\)

Ta thấy \(u\left( 2 \right)=v\left( 2 \right)=0,x\in \left( 0;6 \right)\Rightarrow f'\left( 2 \right)=0\). Hơn nữa \(u\left( x \right),v\left( x \right)\) cùng dương trên khoảng (0;2) và cùng âm trên khoảng (2;6).

BBT

Vậy với \(2\sqrt{6}+2\sqrt[4]{6}\le m\le 3\sqrt{2}+6\) thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chọn A.

 

Trên đây là toàn bộ nội dung Giải và biện luận phương trình, bất phương trình dựa vào hàm số. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng

Chúc các em học tập tốt!