Một số bài toán ứng dụng về kinh doanh, sản xuất trong cuộc sống

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trong khoảng K (đoạn, khoảng, nửa khoảng)

+ Nếu có $x_0\in K$ sao cho $f\left(x\right)\le f\left(x_0\right),\mathrm{\forall }x\in K$ thì $f\left(x_0\right)$ được gọi là giá trị lớn hất của hàm số trên khoảng K. Kí hiệu: $\underset{K}{max}y=f\left(x_0\right)$

+ Nếu có $x_0\in K$ sao cho $f\left(x\right)\ge f\left(x_0\right),\mathrm{\forall }x\in K$ thì $f\left(x_0\right)$ được gọi là giá trị nhỏ hất của hàm số trên khoảng K. Kí hiệu: $\underset{K}{min}y=f\left(x_0\right)$.

Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng K:

- Phương pháp: Lập bảng biến thiên trên khoảng K, rồi nhìn trên đó để kết luận max, min.

Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên đoạn $[a;b]:$

- Phương pháp 1: Lập bảng biến thiên trên khoảng đó và kết luận.

- Phương pháp 2: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì ta có các bước làm sau:

1. Tính đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ đã cho.

2. Tìm các điểm $x_1;x_2;...;x_n$ trên đoạn $[a;b]$, tại đó $f^{\prime }\left(x\right)=0$ hoặc $f^{\prime }\left(x\right)$ không xác định.

3. Tính: $f\left(a\right);f(x_1);f(x_2);...;f(x_n);f(b)$.

4. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên (ở mục 1)

Khi đó: $M=\underset{[a;b]}{max}f\left(x\right);m=\underset{[a;b]}{min}f\left(x\right)$

Chú ý:

1. Hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ thì hàm số f(x) luôn tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tất cả các giá trị trung gian nằm giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn đó.

2. Nếu đề bài không cho rõ tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, đoạn nào cón nghĩa là ta tìm GTLN, GTNN của hàm số trên tập xác định của hàm số đó.

3. Tính đạo hàm y'. Nếu $y^{\prime }\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \left[a;b\right]\Rightarrow \{\begin{array}{l}minf\left(x\right)=f\left(a\right)\\ maxf\left(x\right)=f\left(b\right)\end{array}$

4.  Tính đạo hàm y'. Nếu $y^{\prime }\le 0,\mathrm{\forall }x\in \left[a;b\right]\Rightarrow \{\begin{array}{l}minf\left(x\right)=f\left(b\right)\\ maxf\left(x\right)=f\left(a\right)\end{array}$

Ngoài ra cần trang bị thêm một số kiến thức về bất đẳng thức cơ bản để giải quyết các bài này nhanh hơn:

3. Bất đẳng thức Cauchy cho 2 và 3 số:

Hai số: Với $A,B\ge 0$ ta luôn có $A+B\ge 2\sqrt{AB}$, dấu bằng xảy ra khi A=B

Ba số: Với $A,B,C\ge 0$ ta luôn có $A+B+C\ge 3\sqrt[3]{ABC}$, dấu bằng xảy ra khi A=B=C

Bài 1:

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng mỗi tháng thì có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu?

A. 2.250.000               B. 2.350.000               C. 2.450.000               D. 2.550.000

Lời giải:

Gọi x là giá thuê thực tế của mỗi căn hộ, (x: đồng ; $x\ge 2000.000$ đồng)

Ta có thể lập luận như sau:

Tăng giá 100.000 đồng thì có 2 căn hộ bị bỏ trống.

Tăng giá x-2.000.000 đồng thì có bao nhiêu căn hộ bị bỏ trống.

Theo quy tắc tam xuất ta có số căn hộ bị bỏ trống là:

$\frac{2(x-2.000.000)}{100.000}=\frac{x-2.000.000}{50.000}$

Do đó khi cho thuê với giá x đồng thì số căn hộ cho thuê là:

$50-\frac{x-2.000.000}{50.000}=-\frac{x}{50.000}+90$

Gọi $F\left(x\right)$ là hàm lợi nhuận thu được khi cho thuê các căn hộ, (F(x): đồng).

Ta có: $F(x)=(-\frac{x}{50.000}+90)x=-\frac{1}{50.000}{x}^2+90x$ ( bằng số căn hộ cho thuê nhân với giá cho thuê mỗi căn hộ).

Bài toán trở thành tìm GTLN của $F\left(x\right)=-\frac{1}{50.000}{x}^2+90x$, ĐK: $x\ge 2.000.000$

$F^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{25.000}x+90$

$F^{\prime }\left(x\right)=0\iff -\frac{1}{25.000}x+90=0\iff x=2.250.000$

Bảng biến thiên:

Suy ra F(x) đạt giá trị lớn nhất khi x=2.250.000

Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn nhất.

Chọn A.

Nhận xét:

Sau khi tìm được hàm $F(x)=-\frac{1}{50.000}{x}^2+90x$. Ta không cần phải đi khảo sát và vẽ bảng biến thiên như trên. Đề đã cho bốn đáp án x, ta dùng phím CALC của MTCT để thay lần lượt các giá trị vào, cái nào làm cho F(x) lớn nhất chính là giá trị cần tìm.

Bài 2:

Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50.000 đồng. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính  nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30.000 đồng.

A. 44.000đ                  B. 43.000đ                  C. 42.000đ                  D. 41.000đ

Lời giải:

Gọi x là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng, (x: đồng; $30.000\le x\le 50.000$ đồng).

Ta có thể lập luận như sau:

Giá 50.000 đồng thì bán được 40 quả bưởi

Giảm giá 5.000 đồng thì bán được thêm 50 quả.

Giảm giá 50.000 – x thì bán được thêm bao nhiêu quả?

Theo quy tắc tam xuất số quả bán thêm được là:

$(50000-x).\frac{50}{5000}=\frac{1}{100}(50000-x)$.

Do đó Số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán x:

$40+\frac{1}{100}(50000-x)=-\frac{1}{100}x+540$

Gọi F(x) là hàm lợi nhuận thu được (F(x): đồng).

Ta có: $F(x)=(-\frac{1}{100}x+540).(x-30.000)=-\frac{1}{100}{x}^2+840x-16.200.000$

Bài toán trở thành tìm GTLN của

$F(x)=-\frac{1}{100}{x}^2+840x-16.200.000$, Đk: $30.000\le x\le 50.000$.

$\begin{array}{rl}& F^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{50}x+840\\ & F^{\prime }\left(x\right)=0\iff -\frac{1}{50}x+840=0\iff x=42.000\end{array}$

Vì hàm F(x) liên tục trên $30.000\le x\le 50.000$ nên ta có:

$\begin{array}{rl}& F\left(30.000\right)=0\\ & F\left(42.000\right)=1.440.000\\ & F\left(50.000\right)=800.000\end{array}$

Vậy với x=42.000 thì $F\left(x\right)$ đạt GTLN.

Vậy để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là 42.000 đồng.

Chọn C.

Bài 3. Một xe khách đi từ Việt Trì về Hà Nội chở tối đa được là 60 hành khách một chuyến. Nếu một chuyến chở được m hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách được tính là ${(30-\frac{5m}{2})}^2$ đồng. Tính số hành khách trên mỗi chuyến xe để nhà xe thu được lợi nhuận mỗi chuyến xe là lớn nhất.?

A. 30                           B. 40                           C. 50                           D. 60

Lời giải:

Gọi x là số hành khách trên mỗi chuyến xe để số tiền thu được là lớn nhất, $(0

Gọi F(x) là hàm lợi nhuận thu được (F(x): đồng)

Số tiền thu được :

$F\left(x\right)={(300-\frac{5x}{2})}^2.x=90.000x-1500x^2+\frac{25}{4}{x}^3$

Bài toán trở thành tìm x để F(x) đạt giá trị lớn nhất.

$\begin{array}{l}{F}^{\prime }\left(x\right)=90000-3000x+\frac{75}{4}{x}^2\\ F^{\prime }\left(x\right)=0\iff 90000-3000x+\frac{75}{4}{x}^2=0\iff [\begin{array}{c}x=120(loai)\\ x=40(t/m)\end{array}\end{array}$

Bảng biến thiên

Vậy để thu được số tiền lớn nhất thì trên mỗi chuyến xe khách đó phải chở 40 người.

Chọn B.

Bài 4.

Một công ty chuyên sản xuất thùng phi nhận được đơn đặt hàng với yêu cầu là thùng phi phải chứa được $16\pi \left(m^3\right)$ mỗi chiếc. Hỏi chiếc thùng phải có kích thước như thế nào để sản suất ít tốn vật liệu nhất?

A. $R=2\left(m\right),h=4\left(m\right)$                            B. $R=4\left(m\right),h=2\left(m\right)$

C. $R=3\left(m\right),h=4\left(m\right)$                            D. $R=4\left(m\right),h=4\left(m\right)$

Lời giải:

Do thùng phi có dạng hình trụ nên:

$V_{tru}=\pi R^{2}h=16\pi \iff h=\frac{16}{R^2},\left(1\right)$

Diện tích toàn phần của thùng phi là:

$S_{Tp}=2\pi R^2+2\pi Rh=2\pi R(h+R),\left(2\right)$

Thay (1) vào (2) ta được:

$\begin{array}{l}{S}_{Tp}=2\pi R\left(\frac{16}{R^2}+R\right)=2\pi \left(\frac{16}{R}+R^2\right)\\ S{}_{Tp}^{\prime }=2\pi \left(-\frac{16}{R^2}+2R\right)=\frac{4\pi }{R^2}\left(R^3-8\right)\\ S{}_{Tp}^{\prime }=0\iff \frac{4\pi }{R^2}\left(R^3-8\right)=0\iff R=2\end{array}$

Bảng biến thiên

Vậy để sản xuất thùng phi ít tốn vật liệu nhất thì R= 2(m) và chiều cao là h = 4 (m).

Chọn A.

Bài 5.

Gia đình ông Thanh nuôi tôm với diện tích ao nuôi là $100m^2$. Vụ tôm vừa qua ông nuôi với mật độ là $1\left(kg/m^2\right)$ tôm giống và sản lượng tôm khi thu hoạch được khoảng 2 tấn tôm. Với kinh nghiệm nuôi tôm nhiều năm, ông cho biết cứ thả giảm đi $\left(200g/m^2\right)$ tôm giống thì sản lượng tôm thu hoạch được 2,2 tấn tôm. Vậy vụ tới ông phải thả bao nhiêu kg tôm giống để đạt sản lượng tôm cho thu hoạch là lớn nhất? (Giả sử không có dịch bệnh, hao hụt khi nuôi tôm giống).

A. $\frac{230}{3}kg$                        B. 70kg                   C. 72kg                   D. 69kg

Giải:

Gọi x là số cần tìm

Số Kg tôm giống mà ông Thanh thả vụ vừa qua: 100.1= 100(kg).

Khối lượng trung bình $1\left(kg/m^2\right)$ tôm giống thu hoạch được: $2000:100=20\left(kg\right)$

Khi giảm 0,2 kg tôm giống thì thì sản lượng tôm thu hoạch tăng thêm là $2\left(kg/m^2\right)$

Gọi $F\left(x\right)$ là hàm sản lượng tôm thu được vụ tới (F(x):kg)

Vậy sản lượng tôm thu hoạch được trong vụ tới có pt tổng quát là:

$F\left(x\right)=(100-x)(20+\frac{3}{8}x)=2000+\frac{35}{2}x-\frac{3}{8}{x}^2$

Bìa toán trở thành tìm x để F(x) lớn nhất.

Ta có:

$\begin{array}{l}{F}^{\prime }\left(x\right)=\frac{25}{2}-\frac{3}{4}x\\ F^{\prime }\left(x\right)=0\iff \frac{25}{2}-\frac{3}{4}x=0\iff x=\frac{70}{3}\end{array}$

Bảng biến thiên

Vậy vụ tới ông Thanh phải thả số kg tôm giống là:

$100-\frac{70}{3}=\frac{230}{3}\approx 76,67\left(kg\right)$

Chọn A.

Nhận xét:

Làm sao ta có thể tìm được hàm F(x) và tìm được hệ số $\frac{3}{8}$

Ta có thể hiểu đơn giản như sau: nếu ta không giảm số lượng tôm giống thì sản lượng tôm thu hoạch được là: $100.20=2000\left(kg\right)$ tôm.

Nếu ta giảm số $x\left(kg\right)$ tôm giống thì số tôm giống cần thả là 100-x và số kg tôm thu hoạch được là: $(100-x)(20+mx)kg$

Theo giả thiết tôm giống giảm 0,2 $\left(kg/m^2\right)$ thì $100m^2$ giảm x=20kg , sản lượng thu được là 2200kg.

Ta có: $(100-20)(20+m20)=2200\iff m=\frac{3}{8}$

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Một số bài toán ứng dụng về kinh doanh, sản xuất trong cuộc sống. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Ứng dụng tích phân giải bài toán vật lý và bài toán thực tế

Chúc các em học tập tốt!