Lý thuyết và bài tập về phương trình mặt phẳng

I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

- Vectơ \(\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}\) là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của \(\overrightarrow{n}\) vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\)

- Chú ý:

+ Nếu \(\overrightarrow{n}\) là một VTPT của mặt phẳng \((\alpha )\) thì \(k\overrightarrow{n}\, \,(k\ne 0)\) cũng là một VTPT của mặt phẳng \((\alpha )\).

+ Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.

+ Nếu \(\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v}\) có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng \((\alpha )\) thì \(\overrightarrow{n}=\text{ }\!\![\!\!\text{ }\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\) là một VTPT của \((\alpha )\).

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

- Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:

\(Ax+By+Cz+D=0\,\,\) với \({{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}\ne 0\)

- Nếu mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình \(Ax+By+Cz+D=0\,\,\) thì nó có một VTPT là \(\overrightarrow{n}(A;\,B;\,C)\).

- Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \({{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{n}(A;\,B;\,C)\) khác \(\overrightarrow{0}\) là VTPT là: \(A(x-{{x}_{0}})+B(y-{{y}_{0}})+C(z-{{z}_{0}})=0\).

Các trường hợp riêng

Xét phương trình mặt phẳng \((\alpha )\): $Ax+By+Cz+D=0 với \({{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}\ne 0\)

- Nếu D=0 thì mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua gốc tọa độ O.

- Nếu \(A=0,B\ne 0,C\ne 0\) thì mặt phẳng \((\alpha )\) song song hoặc chứa trục Ox.

- Nếu \(A\ne 0,B=0,C\ne 0\) thì mặt phẳng \((\alpha )\) song song hoặc chứa trục Oy.

- Nếu \(A\ne 0,B\ne 0,C=0\) thì mặt phẳng \((\alpha )\) song song hoặc chứa trục Oz.

- Nếu \(A=B=0,C\ne 0\) thì mặt phẳng \((\alpha )\) song song hoặc trùng với \(\left( Oxy \right)\)

- Nếu \(A=C=0,B\ne 0\) thì mặt phẳng \((\alpha )\) song song hoặc trùng với \(\left( Oxz \right)\)

- Nếu \(B=C=0,A\ne 0\) thì mặt phẳng \((\alpha )\) song song hoặc trùng với \(\left( Oyz \right)\)

Chú ý:

- Nếu trong phương trình \((\alpha )\) không chứa ẩn nào thì \((\alpha )\) song song hoặc chứa trục tương ứng.

- Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn \(\left( \alpha  \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\). Ở đây \((\alpha )\) cắt các trục tọa độ tại các điểm \(\left( a;0;0 \right)\), \(\left( 0;b;0 \right)\), \(\left( 0;0;c \right)\) với \(abc\ne 0\).

Câu 1. Chọn khẳng định sai

A. Nếu \(\overrightarrow{n}\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì \(k\overrightarrow{n}\,\,(k\in \mathbb{R})\) cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

B. Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm nó đi qua và một vectơ pháp tuyến của nó.

C. Mọi mặt phẳng trong không gian Oxyz đều có phương trình dạng: \(Ax+By+Cz+D=0\,\,({{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}\ne 0)\).

D. Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình dạng: \(Ax+By+Cz+D=0\,\,({{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}\ne 0)\) đều là phương trình của một mặt phẳng nào đó.

Câu 2. Chọn khẳng định đúng

A. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó song song.

B. Nếu hai mặt phẳng song song thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng cùng phương.

C. Nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng bằng nhau.

D. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.

Câu 3. Chọn khẳng định sai

A. Nếu hai đường thẳng AB,CD song song thì vectơ \(\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right]\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).

B. Cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng, vectơ \(\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

C. Cho hai đường thẳng AB,CD chéo nhau, vectơ \(\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right]\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng AB và song song với đường thẳng CD.

D. Nếu hai đường thẳng AB,CD cắt nhau thì vectơ \(\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right]\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).

Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):Ax+By+Cz+D=0\). Tìm khẳng định sai trong các mệnh đề sau:

A. \(A=0,B\ne 0,C\ne 0,D\ne 0\) khi và chỉ khi \(\left( \alpha  \right)\) song song với trục Ox.

B. D=0 khi và chỉ khi \(\left( \alpha  \right)\) đi qua gốc tọa độ.

C. \(A\ne 0,B=0,C\ne 0,D=0\) khi và chỉ khi \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( Oyz \right)\)

D. \(A=0,B=0,C\ne 0,D\ne 0\) khi và chỉ khi \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\)

Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho \(A\left( a;0;0 \right)\), \(B\left( 0;b;0 \right)\), \(C\left( 0;0;c \right)\), \(\left( abc\ne 0 \right)\). Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là:

A. \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)

B. \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}+\frac{z}{c}=1\)

C. \(\frac{x}{a}+\frac{y}{c}+\frac{z}{b}=1\)

D. \(\frac{x}{c}+\frac{y}{b}+\frac{z}{a}=1\)

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):3x-z=0\). Tìm khẳng định đúng trong các mệnh đề sau:

A. \(\left( \alpha  \right)//Ox\)

B. \(\left( \alpha  \right)//\left( xOz \right)\)

C. \(\left( \alpha  \right)//Oy\)

D. \(\left( \alpha  \right)\supset Oy\).

Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Mặt phẳng (P) là -x+3z-2=0 có phương trình song song với:

A. Trục Oy.

B. Trục Oz.

C. Mặt phẳng Oxy.

D. Trục Ox.

Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x+2y-z+1=0. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:

A. \(\overrightarrow{n}(3;2;1)\)

B. \(\overrightarrow{n}(-2;3;1)\)

C. \(\overrightarrow{n}(3;2;-1)\)

D. \(\overrightarrow{n}(3;-2;-1)\)

Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình -2x+2y-z-3=0. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:

A.\(\overrightarrow{n}(4;-4;2)\)

B. \(\overrightarrow{n}(-2;2;-3)\)

C. \(\overrightarrow{n}(-4;4;2)\).

D. \(\overrightarrow{n}(0;0;-3)\).

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( 1;-2;1 \right), B\left( -1;3;3 \right), C\left( 2;-4;2 \right)\). Một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là:

A. \(\overrightarrow{n}=\left( 9;4;-1 \right)\).

B. \(\overrightarrow{n}=\left( 9;4;1 \right)\).

C. \(\overrightarrow{n}=\left( 4;9;-1 \right)\).

D. \(\overrightarrow{n}=\left( -1;9;4 \right)\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về phương trình mặt phẳng. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng

Chúc các em học tập tốt!