Ứng dụng tích phân giải bài toán vật lý và bài toán thực tế

- Một chất điểm chuyển động trên trục Ox với vận tốc thay đổi theo thời gian \(v=f\left( t \right)\) (m/s). Quãng đường chất điểm chuyển động trên trục Ox từ thời điểm \({{t}_{1}}\) đến thời điểm \({{t}_{2}}\) là \(S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{f\left( t \right)}dt\)

- Điện tích \(q\left( t \right)\) là nguyên hàm của cường độ dòng điện \(i\left( t \right)\) tại thời điểm t(s) nghĩa là \(q=\int{idt}\).

Ví dụ 1: Một ô tô chạy đều với vận tốc 10 (m/s) thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right)=-5t+10(m/s)\), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A. 0,2m.

B. 2m.

C. 10m.

D. 20m.

Giải:

Khi vật dừng hẳn \(v=10-5t=0\Rightarrow t=2\).

Từ lúc đạp phanh tới lúc dừng hẳn, ô tô di chuyển được quãng đường là: \(S=\int\limits_{0}^{2}{\left( -5t+10 \right)}dt=10m\).

Chọn C.

Ví dụ 2: Một công ty có hai dự án đầu tư Q₁ và Q₂. Giả sử sau một thời gian t năm thì dự án thứ nhất sinh lợi nhuận với tốc độ là \({{Q}_{1}}(t)=100+{{t}^{2}}\) (trăm đô la/năm). Tính lợi nhuận vượt thực tế từ lúc ban đầu tới khi tốc độ sinh lợi nhuận dự án thứ 2 vượt bằng dự án đầu tư thứ nhất.

A. Xấp xỉ 5243,83 (trăm đô la).

B. Xấp xỉ 4243,83 (trăm đô la).

C. Xấp xỉ 4143,83 (trăm đô la).

D. Xấp xỉ 4144,83 (trăm đô la).

Giải:

Thời điểm mà tốc độ sinh lợi nhuận dự án thứ 2 vượt bằng dự án đầu tư thứ nhất thỏa mãn:

\(100 + {t^2} = 15t + 284 \Leftrightarrow {t^2} - 15t - 184 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 23(nhan)\\ t = - 8(loai) \end{array} \right.\)

Lợi nhuận vượt thực tế từ lúc ban đầu t=0 cho tới t=23 là:

\(\int\limits_0^{23} {\left| {{Q_2}(t) - {Q_1}(t)} \right|} dt = \int\limits_0^{23} {\left| {{t^2} - 15t - 184} \right|} dt = \frac{{24863}}{6} \approx 4143,83\) (trăm đô la).

Bài 1: Một đám vi khuẩn tại ngày thứ x có số lượng là \(N\left( x \right)\). Biết rằng \(N'\left( x \right)=\frac{2000}{1+x}\) và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn là?

A. 10130.

B. 5130.

C. 3154.

D. 10129.

Giải:

Theo đề ta có:

\(\int{N'(x)dx=\int{\frac{2000}{x+1}dx=2000.\ln \left| x+1 \right|+C}}\)

Ta có:

\(\begin{align} & N(x)=2000\ln 1+C=5000 \\ & \Rightarrow C=5000 \\ & \Rightarrow N(x)=2000.\ln \left| x+1 \right|+5000 \\ \end{align}\).

Ngày thứ 12: \(N(12)=2000.\ln 13+5000=10129,9\).

Chọn D.

Bài 2: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc \(a\left( m/s \right)\) thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right)=5t+a\text{ }(m/s)\), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô di chuyển được 40 mét thì vận tốc ban đầu a là bao nhiêu?

A. a=40.

B. a=80.

C. a=20.

D. a=25.

Giải:

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc = 0 \(\Rightarrow -5t+a=0\Leftrightarrow t=\frac{a}{5}\).

Ứng dụng tích phân ta có:

\(\begin{array}{l} S = \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {\left| v \right|} dt = \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {\left| { - 5t + a} \right|} dt = \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {\left( { - 5x + a} \right)} dt = \left( { - \frac{5}{2}{t^2} + at} \right)dt = \left. {\left( { - \frac{5}{2}{t^2} + at} \right)} \right|_0^{\frac{a}{5}} = \frac{1}{{10}}{a^2}\\ S = 40m \Leftrightarrow \frac{1}{{10}}{a^2} = 40 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - 20(L)\\ a = 20 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy a = 20(m/s)

Bài 3: Trong quá trình lắp ráp tôn cho một mái nhà, người công nhân đã vô tình cắt tấm tôn đi theo như hình vẽ dưới đây. Hỏi diện tích phần tôn mà người công nhân đó cắt hỏng là bao nhiêu, biết rằng họ đã khảo sát đường cắt hư có dạng hàm số \(y=f(x)={{x}^{3}}+2x+1\)

A. S=81.75 (đvdt).

B. S=74.25 (đvdt).

C. S=79.35 (đvdt).

D. S=78.69 (đvdt).

Giải:

Theo kiến thức tích phân đã học, Ta có: Diện tích \(\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx\)

Áp dụng, Ta có:

\({{S}_{ton}}=\int\limits_{1}^{4}{\left( {{x}^{3}}+2x+1 \right)}dx=\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{4}+{{x}^{2}}+x \right) \right|_{1}^{4}=81,75(dvdt)\)

Chọn A.

Bài 4: Người ta sản xuất một chiếc cốc bằng cách xoay miền phẳng giữa \(y=2{{x}^{2}}\) và \(y=x+1\left( x\ge 0 \right)\) quanh trục Ox. Hãy tìm thể tích vật liệu cần đủ để làm nên chiếc cốc này. Biết đơn vị đo là cm.

A. \(V=4.7\left( c{{m}^{3}} \right)\).

B. \(V=4.817\left( c{{m}^{3}} \right)\).                  

C. \(V=4.527\left( c{{m}^{3}} \right)\).

D. \(V=4.327\left( c{{m}^{3}} \right)\)

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(2{x^2} = x + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1;\\ x = - 0,5 \end{array} \right.\)

Vì giả thiết \(x\ge 0\) nên ta chọn x=1.

Như vậy thể tích vật liệu được tính bởi:

\(\begin{array}{l} V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {2{x^2}} \right)}^2}} \right)} dx = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 2x + 1 - 4{x^4}} \right)} dx\\ = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - x - \frac{4}{5}{x^5}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{23\pi }}{{15}} = 4.817\left( {c{m^3}} \right) \end{array}\)

Chọn B.

Chú ý: Trên \(\left[ 0;1 \right]\) ta có: \(x+1\ge 2{{x}^{2}}\) nên ta có thể phá trị tuyệt đối \(\left| {{\left( x+1 \right)}^{2}}-{{\left( 2{{x}^{2}} \right)}^{2}} \right|\) .

Bài 5: Người ta chứng minh được nếu lực là một giá trị biến thiên (như nén lò xo) và được xác định bởi hàm F(x) thì công sinh ra theo trục Ox từ a tới b là \(A\int\limits_{a}^{b}{F(x)}dx\). Người ta tiến hành thí nghiệm nén lò xo đang ở trạng thái tự nhiên dài \(1\left( m \right)\) xuống còn \(0.75\left( m \right)\). Hãy tìm công của lò xo khi biết hằng số lò xo là \(k=16\text{N/m}\).

A. \(0.5\left( N/m \right)\).

B. \(0.6\left( N/m \right)\).

C. \(0.7\left( N/m \right)\).

D. \(0.8\left( N/m \right)\).

Giải:

Ta có: F=16x.

Vậy nên công \(A=\int\limits_{0}^{0.25}{16x}dx=\left. 8{{x}^{2}} \right|_{0}^{0.25}=0.5(N/m)\).

Chọn A.

Bài 6: Người ta tiến hành thí nghiệm kéo căng một chiếc lò xo bằng một lực 40N để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên từ 10(cm) đến 15(cm). Hãy tìm công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài 15(cm) đến 18(cm).

A. 1.35J.

B. 1.45J.

C. 1.56J.

D. 1.65J.

Giải:

Khi chiếc lò xo bị kéo thêm một đoạn x(m) so với độ dài tự nhiên thì chiếc lò xo tác dụng lại với một lực f(x)=kx.

Khi kéo căng lò xo từ 10(cm) đến 15(cm) thì nó dãn ra một đoạn 5(cm)=0.05(m). Lúc này, Ta có:

\(f\left( x \right)=kx=f\left( 0.05 \right)=40\Rightarrow 0.05k=40\Leftrightarrow \frac{40}{0.05}=800\).

Do đó f(x)=800x và công sinh ra khi kéo lò xo từ 15(cm) đến 18(cm) là:

\(A=\int\limits_{005}^{0.08}{800x}dx=800\left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{0.05}^{0.08}=1.56J\) .

Chọn C.

Bài 7: Số lương đám vi trùng ở ngày thứ t xác định bởi N(t) với \(N'\left( t \right)=\frac{1000}{2t+8}\). Biết rằng ngày đầu tiên đám vi trùng có 2500 con. Tính số lượng đám vi trùng ở ngày thứ 20 (làm tròn kết quả đến hàng trăm).

A. 11459 con.

B. 8959 con.

C. 10000 con.

D. 3284 con.

Giải:

Ta có: \(N(t)=\int{\frac{1000}{2t+8}dt=500\ln \left| 2t+8 \right|+C}\). Ở ngày thứ nhất có 2500 con vi trùng nên \(N\left( 1 \right)=500\ln \left| 2.1+8 \right|+C\Rightarrow C=1348\)

Do đó: \(N\left( 20 \right)=500\ln \left| 2.20+8 \right|+1348=3284\) con.

Chọn D.

Bài 8: Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi \(t=0\left( s \right)\) chuyển động thẳng với vận tốc \(v\left( t \right)=t\left( 5-t \right)\text{ }(m/s)\). Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.

A. \(\frac{125}{8}m\).

B. \(\frac{125}{7}m\).

C. \(\frac{125}{9}m\).

D. \(\frac{125}{6}m\).

Giải:

Vật dừng lại khi v = 0.

\(\Rightarrow t\left( 5-t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=0(Loai) \\ & t=5 \\ \end{align} \right.\).

Suy ra thời gian vật đi là 5s.

Ứng dụng tích phân ta có: \(S=\int\limits_{0}^{5}{\left| v \right|}dt=\int\limits_{0}^{5}{\left| t\left( 5-t \right) \right|}dt=\frac{125}{6}m\).

Chọn D.

Bài 9: Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều; 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6m/s. Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A.

A. 25m/s.

B. 46m/s.

C. 24m/s.

D. 47m/s.

Giải:

A xuất phát tại t = 0.

B xuất phát tại t = 12.

A gặp B tại t = 20.

Từ 0s đến 8s A chuyển động nhanh dần đều nên:

\({{v}_{A}}=at+b\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 0=b \\ & 6=a.8+b \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{v}_{A}}=\frac{3}{4}t\).

Quãng đường mà A đi được là: \({{S}_{A}}=\int\limits_{0}^{8}{\frac{3}{4}t}dt+6.12=96\)

Vì B chuyển động nhanh dần đều nên \({{v}_{B}}=mt+n\) tại t = 0, \({{v}_{B}}=0\Rightarrow \) n = 0 do đó \({{v}_{B}}=mt\)

\(\begin{align} & \Rightarrow {{S}_{B}}=\int\limits_{0}^{8}{mt}dt=\left. \frac{m{{t}^{2}}}{2} \right|_{0}^{8}=32m=96 \\ & \Rightarrow m=3 \\ & \Rightarrow {{v}_{B}}=3t \\ \end{align}\).

Do đó \({{v}_{B}}\left( 8 \right)=3.8=24\)

Chọn C.

Bài 10: Một ô tô xuất phát với vận tốc \({{v}_{1}}(t)=2t+10\text{ }(m/s)\) sau khi được một khoảng thời gian \({{t}_{1}}\) thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc \({{v}_{2}}(t)=20-4t(m/s)\) và đi thêm một khoảng thời gian \({{t}_{2}}\) nữa thì dừng lại. Hỏi xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét.

A. 57m.

B. 104m.

C. 50m.

D. 125m.

Giải:

Ban đầu chạy với vận tốc \({{v}_{1}}\) trong khoảng thời gian \({{t}_{1}}\) và khi phanh ô tô chuyển động sau khoảng thời gian \({{t}_{2}}\) thì xe dừng lại, tại thời điểm phanh xe thì \({{v}_{2(t=0)}}=20\), cũng chính là vận tốc cuối của \({{v}_{1}}\), do đó \({{v}_{1}}({{t}_{1}})=2{{t}_{1}}+10=20\Leftrightarrow {{t}_{1}}=5\).

Khi xe dừng hẳn thì \({{v}_{2}}({{t}_{2}})=20-4{{t}_{2}}=0\Leftrightarrow {{t}_{2}}=5.\)

Ta có: \(v\left( t \right)={s}'\left( t \right)\Rightarrow S=\int{v\left( t \right)dt}\).

Quãng đường mà xe đi được là:

\(s=\int\limits_{0}^{{{t}_{1}}=5}{\left( 2t+10 \right)}dt+\int\limits_{0}^{{{t}_{2}}=5}{\left( 20-4t \right)}dt=125(m).\)

Chọn D

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Ứng dụng tích phân giải bài toán vật lý và bài toán thực tế. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và bài tập về tích phân của các hàm số cơ bản

• Hướng dẫn cách giải và phương pháp đổi biến số để tính tích phân

• Một số dạng toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần

Chúc các em học tập tốt!