1. Kiến thức cần nhớ
Định nghĩa 1: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
Khi xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, đặc biệt chú ý đến điều kiện hàm số xác định trên một khoảng (dù nhỏ) chứa điểm đó.
Định nghĩa 2: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.
Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác \(0\)).
Định lý 2:
a) Hàm đa thức liên tục trên \(R\).
b) Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
c) Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Định lý 3: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) lên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).
Nếu \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(f\left( {{x_0}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\)
- Bước 2: So sánh và kết luận.
+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) thì hàm số liên tục tại \({x_0}\).
+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) không tồn tại hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)\) thì kết luận hàm số không liên tục tại \({x_0}\).
Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm.
Phương pháp:
- Bước 1: Chứng minh hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
- Bước 2: Chứng minh \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\).
- Bước 3: Kết luận phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
Đối với bài toán chứng minh phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm mà không cho khoảng nào thì ta cần tìm hai số \(a,b\) sao cho \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\).
3. Bài tập
Câu 1. Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{{{e}^{ax}}-1}{x}{ khi }x\ne 0 \\ & \frac{1}{2}{ khi }x=0 \\ \end{align} \right.,\) với \(a\ne 0.\) Tìm giá trị của a để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({{x}_{0}}=0.\)
A. a=1
B. \(a=\frac{1}{2}\).
C. a=-1
D. \(a=-\frac{1}{2}\)
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Câu 2. Tìm a để các hàm số \(f(x)=\left\{ \begin{align} & \frac{\sqrt{4x+1}-1}{a{{x}^{2}}+(2a+1)x}\text{ khi }x\ne 0 \\ & 3\text{ khi }x=0\text{ } \\ \end{align} \right.\) liên tục tại x=0
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{4}\)
C. \(-\frac{1}{6}\)
D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có : \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{4x+1}-1}{x\left( ax+2a+1 \right)}\)
\(=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4}{\left( ax+2a+1 \right)\left( \sqrt{4x+1}+1 \right)}=\frac{2}{2a+1}\)
Hàm số liên tục tại \(x=0\Leftrightarrow \frac{2}{2a+1}=3\Leftrightarrow a=-\frac{1}{6}\).
Câu 3. Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}\text{ , }x\ge 1 \\ & \frac{2{{x}^{3}}}{1+x}\text{ , }0\le x<1 \\ & x\sin x\text{ , }x<0 \\ \end{align} \right.\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
B. \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
C. \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
D. \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0;1 \right\}\).
Hướng dẫn giải
Chọn A
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\).
Với x>1 ta có hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}\) liên tục trên khoảng \(\left( 1;+\infty \right)\). \(\left( 1 \right)\)
Với 0
Với x<0 ta có \(f\left( x \right)=x\sin x\) liên tục trên khoảng \(\left( -\infty ;0 \right)\). \(\left( 3 \right)\)
Với x=1 ta có \(f\left( 1 \right)=1\); \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}=1\); \(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{3}}}{1+x}=1\)
Suy ra \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1=f\left( 1 \right)\).
Vậy hàm số liên tục tại x=1.
Với x=0 ta có \(f\left( 0 \right)=0\); \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{3}}}{1+x}=0\); \(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x.\sin x \right)\) \(=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}.\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=0\) suy ra \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0=f\left( 0 \right)\).
Vậy hàm số liên tục tại x=0. \(\left( 4 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\), \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x}\text{ khi }x<0 \\ & m+\frac{1-x}{1+x}\text{ khi }x\ge 0 \\ \end{align} \right.\text{ }\) liên tục tại x=0.
A. m=1
B. m=-2
C. m=-1
D. m=0
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Câu 5. Tìm m để các hàm số \(f(x)=\left\{ \begin{align} & \frac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}\text{ khi }x\ne 1 \\ & 3m-2\text{ khi }x=1 \\ \end{align} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)
A. m=1
B. \(m=\frac{4}{3}\)
C. m=2
D. m=0
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Với \(x\ne 1\) ta có \(f(x)=\frac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}\) nên hàm số liên tục trên khoảng \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Do đó hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x=1
Ta có: \(f(1)=3m-2\)
\(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}\)
\(=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left[ 1+\frac{{{x}^{3}}+x-2}{(x-1)\left( {{x}^{2}}-x\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{{{(x-2)}^{2}}} \right)} \right]\)
\(=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left[ 1+\frac{{{x}^{2}}+x+2}{{{x}^{2}}-x\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{{{(x-2)}^{2}}}} \right]=2\)
Nên hàm số liên tục tại \(x=1\Leftrightarrow 3m-2=2\Leftrightarrow m=\frac{4}{3}\)
Vậy \(m=\frac{4}{3}\) là những giá trị cần tìm.
...
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về hàm số liên tục Toán 11. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Chúc các em học tập tốt!
