Lý thuyết và bài tập về các loại đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Định nghĩa:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên một khoảng vô hạn ( là khoảng dạng $(a;+\mathrm{\infty }),(-\mathrm{\infty };b)$ hoặc $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$. Đường thẳng $y=y_0$ là đường tiệm cận ngang  của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$.

Định nghĩa:

Đường thẳng $x=x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$ hoặc $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$ hoặc $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty }$ hoặc $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty }$.

Định nghĩa:

Đường thẳng $\text{y}=\text{ax}+\text{b},a\ne 0$,được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=[f\left(x\right)-(ax+b)]=0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=[f\left(x\right)-(ax+b)]=0$ Trong đó $a=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f\left(x\right)}{x},b=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[f\left(x\right)-ax]$ hoặc $a=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f\left(x\right)}{x},b=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}[f\left(x\right)-ax]$.

Ví dụ 1. Cho hàm số $y=2x+1-\frac{1}{x+2}$ có đồ thị là (C). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc (C) , qua M vẽ hai đường thẳng lần lượt song song với hai đường tiệm cận của (C) , hai đường thẳng này tạo với hai đường tiệm cận một hình bình hành , chứng minh hình bình hành này có diện tích không đổi. 2. Tìm $m\in \mathbb{R}$ để hàm số $y=mx+\frac{1}{x}$ có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng $\frac{2}{\sqrt{17}}$.

Lời giải.

1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $(-\mathrm{\infty };-2)\cup (-2;+\mathrm{\infty })$.

Gọi MNIP là hình bình hành tạo bời hai tiệm cận của (C) và hai đường thẳng vẽ từ M lần lượt song song với hai tiệm cận này.

$M\in (C)\Rightarrow M(x_0;2x_0+1-\frac{1}{x_0+2})$

$\{\begin{array}{rl}& N\in TCX\\ & MN\mathrm{\perp }Ox\end{array}\Rightarrow N(x_0;2x_0+1)$

$\Rightarrow MN=|y_M-y_N|=\left|\frac{1}{x_0+2}\right|$

Đường thẳng MN qua M và song song với TCĐ nên có phương trình  là :

$\text{x}{\text{x}}_0=0\Rightarrow \text{d}(\text{I},\text{MN})=|-2-x_0|=|2+x_0|$.

Diện tích của hình bình hành MNIP:

$\text{S}=\text{MN}.\text{d}(\text{I},\text{MN})=\left|\frac{1}{x_0+2}\right||x_0+2|=1$ (hằng số).

2. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $(-\mathrm{\infty };0)\cup (0;+\mathrm{\infty })$.

Ta có : $y^{\prime }=m-\frac{1}{x^2},x\ne 0$.

Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Với m>0 thì $y^{\prime }=0\iff m-\frac{1}{x^2}=0\iff x_1=-\frac{1}{\sqrt{m}}<x_2=\frac{1}{\sqrt{m}}$ và điểm cực tiểu của hàm số là $A(\frac{1}{\sqrt{m}};2\sqrt{m})$.

Vì $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0$ nên $\left(d\right):y=mx$ là đường cận xiên.

$d(A,\left(d\right))=\frac{2}{\sqrt{17}}\iff \frac{|m\frac{1}{\sqrt{m}}-2\sqrt{m}|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{17}}\iff \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{17}}$

$\sqrt{17.m}=2\sqrt{m^2+1}\iff 4m^2-17m+4=0\iff m=4$ hoặc $m=\frac{1}{4}$.

Bài 1. 1. Cho hàm số $y=\frac{x^2+(m-1)x+m^2-2m+1}{1-x}$ (1). Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $\frac{1}{2}$. 2. Cho hàm số $y=\frac{m{x}^2+(m^2+m+2)x+m^2+3}{x+1}$. Tìm $m\in \mathbb{R}$ để khoảng cách từ gốc O đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất .

Lời giải.

1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $(-\mathrm{\infty };1)\cup (1;+\mathrm{\infty })$

Ta có : $y=-x-m+\frac{m^2-m+1}{1-x}$

Vì  $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[y-(-x-m)]=0,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}[y-(-x-m)]=0$ nên đường thẳng $\left(\text{d}\right)y=-x-m$  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1).

$\left(\text{d}\right)$ cắt hai trục tọa độ  tại hai điểm $\text{A}(0;-\text{ m})$ và $\text{B}(-\text{m};0).$

Diện tích tam giác $\text{OAB}:S=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\left|y_A\right|.\left|x_B\right|=\frac{1}{2}{m}^2.$

Theo giả thiết ta có : $S=\frac{1}{2}\iff m^2=1\iff m=\pm 1.$

2. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $(-\mathrm{\infty };-1)\cup (-1;+\mathrm{\infty })$

$y=\frac{m{x}^2+(m^2+m+2)x+m^2+3}{x+1}=mx+m^2+2+\frac{1}{x+1},x\ne -1$

Vì $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x+1}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x+1}=0$ nên $\left(d\right):y=mx+m^2+2\iff \left(d\right):mx-y+m^2+2=0$ là đường cận xiên hoặc ngang của hàm số.

Ta có : $d(O;d)=\frac{|m^2+2|}{\sqrt{|m^2+1|}}=\sqrt{m^2+1}+\frac{1}{\sqrt{m^2+1}}\ge 2$

Vậy $d(O;d)$ nhỏ nhất bằng 2 khi $\sqrt{m^2+1}=\frac{1}{\sqrt{m^2+1}}\iff m=0$.

Khi đó hàm số có tiệm cận ngang là y=2.

Bài 2 1. Cho hàm số $y=\frac{1-x^2}{x}$ có đồ thị là (C) . Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho  $\text{d}(\text{M},\text{TC})=\sqrt{2}\text{d}(\text{M},\text{TCX}).$ 2. Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-3}$, có đồ thị là $\left(C\right)$. Tìm tất cả các điểm M thuộc $\left(C\right)$ sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 5 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. 3. Tìm trên đồ thị $\left(C\right):y=\frac{x+2}{x-3}$ những điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng bằng $\frac{1}{5}$ khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang.

Lời giải.

1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $(-\mathrm{\infty };0)\cup (0;+\mathrm{\infty })$

$M\in (C)\iff M(x_0;-x_0+\frac{1}{x_0}).$

Ta có: $d(M;TCX)=\left|\frac{1}{\sqrt{2}{x}_0}\right|,\text{d}(\text{M},\text{TC})=\left|x_0\right|$

$\text{d}(\text{M},\text{TC})=\sqrt{2}\text{d}(\text{M},\text{TCX})\iff \left|x_0\right|=\sqrt{2}\left|\frac{1}{\sqrt{2}{x}_0}\right|\iff x_0^2=1\iff [\begin{array}{rl}& x_0=1,y_0=0\\ & x_0=-1,y_0=0\end{array}$

Vậy, các điểm cần tìm  là $M(\pm 1;0)$

2.Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $(-\mathrm{\infty };3)\cup (3;+\mathrm{\infty })$

Giả sử $M(x_0;1+\frac{5}{x_0-3})$ là điểm thuộc đồ thị $\left(C\right),x_0\ne 3$

Khi đó khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là $d_1=|x_0-3|$

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là $d_2=\frac{5}{|x_0-3|}$

Theo giả thiết $d_1=5d_2$ hay $|x_0-3|=\frac{25}{|x_0-3|}\iff {(x_0-3)}^2=25$, phương trình này có 2 nghiệm $x_0=-2$ hoặc $x_0=8$

Vậy, $M(-2;0),M(8;2)$ là tọa độ cần tìm.

3. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $(-\mathrm{\infty };3)\cup (3;+\mathrm{\infty })$

Gọi đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang lần lượt là $\left(d_1\right):x=3,\left(d_2\right):y=1$.

$M(x_0;y_0)\in \left(C\right)\Rightarrow M(x_0;\frac{x_0+2}{x_0-3})$

Ta có $d(M,d_1)=|x_0-3|,d(M,d_2)=|\frac{x_0+2}{x_0-3}-1|=\left|\frac{5}{x_0-3}\right|$

Theo bài ra ta có $|x_0-3|=\frac{1}{5}\left|\frac{5}{x_0-3}\right|\iff {(x_0-3)}^2=1\iff [\begin{array}{rl}& x_0=4\\ & x_0=2\end{array}$

Vậy có 2 điểm thỏa mãn $M_1(2;-4),M_2(4;6)$

Chú ý:

1. $d(M,d_1).d(M,d_2)=|x_0-3|.\left|\frac{5}{x_0-3}\right|=5$

2. $d(M,d_1)+d(M,d_2)\ge 2\sqrt{d(M,d_1).d(M,d_2)}=2\sqrt{5}$

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về các loại đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Chúc các em học tập tốt!