Giải Toán 12 SGK nâng cao Ôn tập Chương 2 Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

So sánh p và q, biết:

$\begin{array}{l}a){\left(\frac{2}{3}\right)}^p>{\left(\frac{3}{2}\right)}^{-q}\\ b){\left(\frac{8}{3}\right)}^{-p}<{\left(\frac{3}{8}\right)}^q\\ c)0,{25}^p<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2q}\\ d){\left(\frac{7}{2}\right)}^p<{\left(\frac{2}{7}\right)}^{p-2q}\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

${\left(\frac{2}{3}\right)}^p>{\left(\frac{3}{2}\right)}^{-q}\iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^p>{\left(\frac{2}{3}\right)}^q\iff p<q$ (vì $\frac{2}{3}<1$)

Câu b:

${\left(\frac{8}{3}\right)}^{-p}<{\left(\frac{3}{8}\right)}^q\iff {\left(\frac{3}{8}\right)}^p<{\left(\frac{3}{8}\right)}^q\iff p>q$ (vì $\frac{3}{8}<1$)

Câu c:

$0,{25}^p<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2q}\iff {\left(\frac{1}{4}\right)}^p<{\left(\frac{1}{4}\right)}^q\iff p>q$ (vì $\frac{1}{4}<1$)

Câu d:

${\left(\frac{7}{2}\right)}^p<{\left(\frac{2}{7}\right)}^{p-2q}\iff {\left(\frac{7}{2}\right)}^p<{\left(\frac{7}{2}\right)}^{2q-p}\iff p<2q-p$ (vì $\frac{7}{2}>1$)

$\iff 2p<2q\iff p<q$

---

Cho x < 0. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+\frac{1}{4}{(2^x-2^{-x})}^2}}{1+\sqrt{1+\frac{1}{4}{(2^x-2^{-x})}^2}}}=\frac{1-2^x}{1+2^x}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}1+\frac{1}{4}(2^x-2^{-x}{)}^2=\frac{1}{4}(4+4^x-2+4^{-x})\\ =\frac{1}{4}(4^x+2+4^{-x})=\frac{1}{4}(2^x+2^{-x}{)}^2\end{array}$

Do đó: 

$\begin{array}{l}\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+\frac{1}{4}{(2^x-2^{-x})}^2}}{1+\sqrt{1+\frac{1}{4}{(2^x-2^{-x})}^2}}}=\sqrt{\frac{-1+\frac{1}{2}(2^x+2^{-x})}{1+\frac{1}{2}(2^x+2^{-x})}}\\ =\sqrt{\frac{2^x-2+2^{-x}}{2^x+2+2^{-x}}}=\sqrt{\frac{2^x-2+\frac{1}{2^x}}{2^x+2+\frac{1}{2^x}}}=\sqrt{\frac{4^x-{2.2}^x+1}{4^x+{2.2}^x+1}}\\ =\sqrt{\frac{{\left(2^x-1\right)}^2}{{\left(2^x+1\right)}^2}}=\frac{1-2^x}{1+2^x}\end{array}$

(vì x < 0 thì 2x < 1)

---

Tính 

$\begin{array}{l}a)A=9^{2{\log }_{3}4+4{\log }_{81}2}\\ b)B=lo{g}_a\left(\frac{a^2\sqrt[3]{a}.\sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}}\right)\\ c)C={\log }_5{\log }_5\sqrt[5]{\sqrt[5]{\sqrt[5]{....\sqrt[5]{5}}}}\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Áp dụng ${\log }_{a^{\alpha }}{b}^{\beta }=\frac{\beta }{\alpha }{\log }_{a}b$  (với $\mathrm{a }> 0, \mathrm{b }> 0$ và a ≠ 1) và $a^{lo{g}_{a}b}=b$

Ta có: $\begin{array}{l}2{\log }_{3}4+4{\log }_{81}2=\frac{4}{2}lo{g}_{3}4+2lo{g}_{9}2\\ ={\log }_9{4}^4+{\log }_9{2}^2={\log }_9{2}^{10}\end{array}$

Do đó: $A=9^{lo{g}_9{2}^{10}}=2^{10}=1024$

Câu b:

Ta có:

$\frac{a^2\sqrt[3]{a}.\sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}}=a^{2+\frac{1}{3}+\frac{4}{5}-\frac{1}{4}}=a^{\frac{173}{60}}$

Do đó: $B=lo{g}_a{a}^{\frac{173}{60}}=\frac{173}{60}$

Câu c:

Ta có: 

$\begin{array}{l}\sqrt[5]{\sqrt[5]{\sqrt[5]{....\sqrt[5]{5}}}}=5^{{\left(\frac{1}{5}\right)}^n}\Rightarrow {\log }_5\sqrt[5]{\sqrt[5]{\sqrt[5]{....\sqrt[5]{5}}}}=5^{{\left(\frac{1}{5}\right)}^n}=5^{-n}\\ \Rightarrow C=-n\end{array}$

---

Chứng minh rằng ${\log }_{2}3>{\log }_{3}4$

Hướng dẫn giải:

Ta có: ${\log }_{2}3>{\log }_{3}4\iff \frac{1}{lo{g}_{3}2}>lo{g}_{3}4\iff lo{g}_2.lo{g}_{3}4<1$ (vì ${\log }_{3}2>0$)

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt{lo{g}_{3}2.lo{g}_{3}4}<\frac{1}{2}(lo{g}_{3}2+lo{g}_{3}4)=\frac{1}{2}lo{g}_{3}8<\frac{1}{2}lo{g}_{3}9=1\\ \Rightarrow lo{g}_{3}2.lo{g}_{3}4<1(dpcm)\end{array}$

---

Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Chứng minh rằng: ${\log }_{b+c}a+{\log }_{c-b}a=2{\log }_{b+c}a.{\log }_{c-b}a.$

Hướng dẫn giải:

Ta có:$lo{g}_{b+c}a+{\log }_{c-b}a=2{\log }_{b+c}a.{\log }_{c+b}a$

$\begin{array}{l}\iff \frac{1}{loga(b+c)}+\frac{1}{lo{g}_a(c-b)}=\frac{2}{lo{g}_a(b+c).lo{g}_a(c-b)}\\ \iff lo{g}_a(c-b)+lo{g}_a(b+c)=2\\ \iff lo{g}_a(c-b)(b+c)=2\\ \iff c^2-b^2=a^2\iff a^2+b^2=c^2\end{array}$

Tam giác vuông cạnh huyền c, hai cạnh góc vuông a và b nên ta có a2 + b2 = c2 từ đó suy ra đpcm.

---

Chứng minh rằng hàm số $y=\ln \frac{1}{1+x}$ thỏa hệ thức $xy\prime +1=e^y$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: x > -1. 

Ta có: $y=-ln(1+x)\Rightarrow y\prime =\frac{-1}{1+x}$

Khi đó: $xy\prime +1=\frac{-x}{1+x}+1=\frac{1}{1+x}=e^{ln\frac{1}{1+x}}=e^y$

Vậy $xy\prime +1=e^y$

---

Giả sử đồ thị (G) của hàm số $y=\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^x}{ln2}$ cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB (chính xác đến hàng phần nghìn).

Hướng dẫn giải:

$x=0\Rightarrow y=\frac{1}{\ln 2}$

Tọa độ điểm $A\left(0;\frac{1}{\ln 2}\right)$

Vậy $OA=\frac{1}{\ln 2}$

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^x.\ln \sqrt{2}}{\ln 2}=\frac{1}{2}{\left(\sqrt{2}\right)}^x\Rightarrow y^{\prime }\left(0\right)=\frac{1}{2}$

Phương trình tiếp tuyến tại A là: $y-\frac{1}{\ln 2}=\frac{1}{2}x\Rightarrow y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{\ln 2}$

Giao điểm B của tiếp tuyến với trục hoành $B\left(\frac{-2}{ln2};0\right)\Rightarrow OB=\frac{2}{\ln 2}$

Vậy $S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\frac{1}{ln2}.\frac{2}{ln2}=\frac{1}{l{n}^{2}2}\approx 2,081$

---

Kí hiệu M là một điểm thuộc đồ thị của hàm số y = logax. Trong hai khẳng định a > 1 và 0 < a < 1, khẳng định nào đúng trong mỗi trường hợp sau? Vì sao?

a) M có tọa độ (0,5; -7)

b) M có tọa độ (0,5; 7)

c) M có tọa độ (3; 5,2)                 

d) M có tọa độ (3; -5,2).

Hướng dẫn giải:

Gọi (C) là đồ thị hàm số y = logax

Câu a:

M ∈ (C) nên ${\log }_{a}0,5=-7\iff \frac{1}{2}=a^{-7}\iff a^7=2\iff a=\sqrt[7]{2}$
Vậy a > 1

Câu b:

M(0, 5 ; 7) ∈ (C) nên $lo{g}_{a}0,5=7\iff \frac{1}{2}=a^7\iff a^7=\frac{1}{2}\iff a=\sqrt[7]{\frac{1}{2}}$
Vậy 0 < a < 1

Câu c:

M(3; 5,2) ∈ (C) nên $lo{g}_{a}3=5,2\iff a^{5,2}=3\iff a=3^{\frac{1}{5,2}}>1$
Vậy a > 1

Câu d:

M(3; −5,2) ∈ (C)

${\log }_{a}3=-5,2\iff a^{-5,2}=3\iff a^{5,2}=\frac{1}{3}\iff a=\frac{1}{3^{5,2}}$

Vậy 0 < a < 1

---

Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của một cái cây nào đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nito 14. Biết rằng nếu gọi P(t) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cái cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức: $P(t)=100.(0,5{)}^{\frac{1}{5750}}(\mathrm{\%})$

Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65%. Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó.

Hướng dẫn giải:

Theo đề bài ta có phương trình: 

$\begin{array}{l}P(t)=65\iff 100(0,5{)}^{\frac{1}{5750}}=65\iff lo{g}_{0,5}100+\frac{1}{5750}=lo{g}_{0,5}65\\ \iff t=5750log\frac{0,565}{100}=\frac{ln0,65}{ln0,5}.5750\approx 3574\end{array}$

Vậy tuổi của công trình kiến trúc đó là khoảng 3574 năm.

---

Giải phương trình:

$\begin{array}{l}a){32}^{\frac{x+5}{x-7}}=0,{25.128}^{\frac{x+17}{x-3}}\\ b)5^{x-1}={10}^x{.2}^{-x}{.5}^{x+1}\\ c)4^x-3^{x-0,5}=3^{x+0,5}-2^{2x-1}\\ d)3^{4x+8}-{4.3}^{2x+5}+28=2lo{g}_2\sqrt{2}.\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: 

$\begin{array}{l}{32}^{\frac{x+5}{x-7}}=0,{25.128}^{\frac{x+17}{x-3}}\iff 2^{\frac{5(x+5)}{x-7}}=\frac{1}{4}{.2}^{\frac{7(x+17)}{x-3}}\\ \iff 2^{\frac{5\left(x+5\right)}{x-7}}=2^{\frac{7\left(x+17\right)}{x-3}-2}\iff \frac{5\left(x+5\right)}{x-7}=\frac{7\left(x+17\right)}{x-3}-2\left(1\right)\end{array}$

Điều kiện $x\ne 3;x\ne 7.$

$\iff 5\left(x+5\right)\left(x-3\right)=7\left(x+17\right)\left(x-7\right)-2\left(x-7\right)\left(x-3\right)$

$\iff 80x=800\iff x=10$ (nhận)

Câu b:

$\begin{array}{l}{5}^{x-1}={10}^x{.2}^{-x}{.5}^{x+1}\iff \frac{1}{5}{.5}^x=\frac{{10}^x}{2^x}.5{.5}^x\iff \frac{1}{5}=5^x.5\\ \iff 5^x=\frac{1}{25}\iff x=-2\end{array}$

Vậy S = {-2}

Câu c:

$\begin{array}{l}{4}^x-3^{x-0,5}=3^{x+0,5}-2^{2x-1}\iff 4^x+\frac{1}{2}{.4}^x=3^{x-0,5}+3^{x+0,5}\\ \iff \frac{3}{2}{.4}^x=3^{x-0,5}\left(1+3\right)\iff \frac{1}{2}{4}^{x-1}=3^{x-1,5}\\ \iff 4^{x-1,5}=3^{x-0,5}\iff {\left(\frac{4}{3}\right)}^{x-1,5}=1\iff x-1,5=0\\ \iff x=1,5\end{array}$

Vậy S = [1,5}

Câu d:

Đặt $t=3^{2x+4}\left(t>0\right)$

Ta có phương trình: $t^2-12t+28=1\iff t^2-12t+27=0$

$\begin{array}{l}\iff [\begin{array}{c}t=9\\ t=3\end{array}\iff [\begin{array}{c}{3}^{2x+4}=9\\ 3^{2x+4}=3\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}2x+4=2\\ 2x+2=1\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=-1\\ x=-\frac{3}{2}\end{array}\end{array}$

Vậy $S=\left\{-\frac{3}{2};-1\right\}$

---

$\begin{array}{l}a)lo{g}_3(lo{g}_{0,5}^{2}x-3lo{g}_{0,5}x+5)=2\\ b)lo{g}_2({4.3}^x-6)-lo{g}_2(9^x-6)=1\\ c)1-\frac{1}{2}log(2x-1)=\frac{1}{2}log(x-9)\\ d)\frac{1}{6}lo{g}_2(x-2)-\frac{1}{3}=lo{g}_{\frac{1}{8}}\sqrt{3x-5}\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\begin{array}{l}lo{g}_3(lo{g}_{0,5}^{2}x-3lo{g}_{0,5}x+5)=2\\ \iff lo{g}_{0,5}^{2}x-3lo{g}_{0,5}x+5=9\\ \iff lo{g}_{0,5}^{2}x-3lo{g}_{0,5}x-4=0\iff [\begin{array}{c}lo{g}_{0,5}x=-1\\ lo{g}_{0,5}x=4\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=(0,5{)}^{-1}=2\\ x=(0,5{)}^4=\frac{1}{16}\end{array}\end{array}$

Vậy $S=\left\{2;\frac{1}{16}\right\}$

Câu b:

$\begin{array}{l}\begin{array}{c}{\log }_2({4.3}^x-6)-{\log }_2(9^x-6)=1\\ \iff {\log }_2({4.3}^x-6)={\log }_{2}2(9x-6)\end{array}\\ \begin{array}{c}\iff \{\begin{array}{c}{9}^x-6>0\\ {4.3}^x-6=2(9^x-6)\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}t>\sqrt{6}\left(t=3^x\right)\\ 2t^2-4t-6=0\end{array}\end{array}\\ \iff t=3\iff 3^x=3\iff x=1\end{array}$

Vậy S = {1}

Câu c:

Điều kiện: x > 9

$\begin{array}{l}1-\frac{1}{2}log(2x-1)=\frac{1}{2}log(x-9)\iff 2=log(2x-1)+log(x-9)\\ \iff log(2x-1)(x-9)=2\iff (2x-1)(x-9)=100\\ \iff 2x^2-19x-91=0\iff [\begin{array}{c}x=13\\ x=-3,5\left(L\right)\end{array}\end{array}$

Vậy x = 13

Câu d:

Điều kiện x > 2

Ta có: ${\log }_{\frac{1}{8}}\sqrt{3x-5}={\log }_{2^{-3}}{\left(3x-5\right)}^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{6}{\log }_2\left(3x-5\right)$

Phương trình đã có trở thành:

$\begin{array}{l}\frac{1}{6}{\log }_2\left(x-2\right)+\frac{1}{6}{\log }_2\left(3x-5\right)=\frac{1}{3}\\ \iff lo{g}_2(x-2)(3x-5)=2\\ \iff (x-2)(3x-5)=4\end{array}$

<=> x = 3 hoặc x = 2/3

Với điều kiện x > 2 ta chỉ nhận nghiệm x = 3.
Vậy S = {3}

---

Giải phương trình: $4^x-3^x=1$

Hướng dẫn giải:

Chia hai vế phương trình cho 4^x ta được:

$1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^x={\left(\frac{1}{4}\right)}^x\iff {\left(\frac{1}{4}\right)}^x+{\left(\frac{3}{4}\right)}^x=1$

Rõ ràng x = 1 là nghiệm phương trình:

Với x > 1 ta có: ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x+{\left(\frac{3}{4}\right)}^x<\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$

Với x < 1 ta có: ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x+{\left(\frac{3}{4}\right)}^x><\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$

Vậy S = {1}

---

Giải các hệ phương trình:

$\begin{array}{l}a)\{\begin{array}{c}lo{g}_2(x-y)=5-lo{g}_2(x+y)\\ \frac{logx-log4}{logy-log3}=-1\end{array}\\ b)\{\begin{array}{c}2lo{g}_{2}x-3^y=15\\ 3^y.lo{g}_{2}x=2lo{g}_{2}x+3^{y+1}\end{array}\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Điều kiện 

$\{\begin{array}{l}x>0;y>0\\ x-y>0;x+y>0\end{array}\iff x>y>0$

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}lo{g}_2(x-y)=5-lo{g}_2(x+y)\\ \frac{logx-log4}{logy-log3}=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}lo{g}_2(x-y)+lo{g}_2(x+y)=5\\ log\frac{x}{4}=-log\frac{y}{4}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}lo{g}_2(x^2-y^2)=5\\ log\frac{xy}{12}=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}^2-y^2=32\\ xy=12\end{array}\end{array}$

Giải hệ bằng phương pháp thế ta được x = 6, y = 2
Vậy S = {(6;2)}

Câu b:

Điều kiện: x > 0.

Ta có nghiệm phương trình: $\{\begin{array}{l}2u-v=15(1)\\ u.v=2u+3v(2)\end{array}$

Từ (1) suy ra v = 2u – 15, thay vào (2) ta được:

$\begin{array}{l}u(2u-15)=2u+3(2u-15)\iff 2u^2-23u+45=0\\ \iff \{\begin{array}{c}u=9\Rightarrow v=3\\ u=\frac{5}{2}\Rightarrow v=-10(L)\end{array}\end{array}$

Vậy $\{\begin{array}{l}u=9\\ v=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}lo{g}_2^x=9\\ 3^y=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2^5=512\\ y=1\end{array}$

Vậy S={(512;1)}

---

Giải các bất phương trình sau: 

$\begin{array}{l}a)\frac{1-lo{g}_{4}x}{1+lo{g}_{2}x}<\frac{1}{2}\\ b)lo{g}_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+1}-{36}^x)\ge -2\\ c)lo{g}_{\frac{1}{5}}(x^2-6x+18)+2lo{g}_5(x-4)<0\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: ${\log }_{4}x=\frac{1}{2}{\log }_{2}x$

Đặt  $t={\log }_{2}x$

Ta có: 

$\frac{1-\frac{1}{2}t}{1+t}-\frac{1}{2}\le 0\iff \frac{2-t-1-t}{2(1+t)}\le 0\iff \frac{1-2t}{1+t}\le 0$

<=> t < -1 hoặc $t\ge \frac{1}{2}\iff lo{g}_{2}x<-1$ hoặc $lo{g}_{2}x\ge \frac{1}{2}$

$\iff 0\le x\le \frac{1}{2}$ hoặc $x\ge \sqrt{2}$

Vậy $S=\left(0;\frac{1}{2}\right)\cup \left[\sqrt{2};+\mathrm{\infty }\right)$

Câu b:

Ta có: 

$lo{g}_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+1}-{36}^x)\ge -2$

$\begin{array}{l}\iff 0<6^{x+1}-{36}^x\le {\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^{-2}=5\\ \iff \{\begin{array}{c}{6.6}^x-{36}^x>0\\ {6.6}^x-{36}^x\le 5\end{array}\end{array}$

Đặt  t = 6^x (t > 0). Ta có hệ:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}6t-t^2>0\\ t^2-6t+5\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}0<t<6\\ t\le 1,t\ge 5\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}0<t\le 1\\ 5\le t<6\end{array}\iff [\begin{array}{c}{6}^x\le 1\\ 5\le 6^x<6\end{array}\iff [\begin{array}{c}x\le 0\\ lo{g}_{6}5\le x<1\end{array}\end{array}$

Vậy $S=\left(-\mathrm{\infty };0\right]\cup \left[{\log }_{6}5;1\right)$

Câu c:

Điều kiện 

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}{x}^2-6x+18>0\\ x-4>0\end{array}\iff x>4\\ lo{g}_{\frac{1}{5}}(x^2-6x+18)+2lo{g}_5(x-4)<0\\ \iff lo{g}_5(x-4{)}^2<lo{g}_5(x^2-6x+18)\\ \iff (x-4{)}^2<x^2-6x+18\iff x>1\end{array}$

Kết hợp điều kiện ta có x > 4
Vậy $S=(4;+\mathrm{\infty })$

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Ôn tập Chương 2 Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!