Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 4 Bài 2 Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: −i; 4i - 4; -4; \(1 + 4\sqrt 3 i\)

Hướng dẫn giải:

* Giả sử z = x + yi là căn bậc hai của −i, ta có:

\({(x + yi)^2} =  - i \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi =  - i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = 0\left( 1 \right)\\
2xy =  - 1\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)

Từ (2) suy ra \(y = \frac{{ - 1}}{{2x}}\) thế vào (1) ta được:

\({x^2} - \frac{1}{{4{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

- Với \(x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) có \(y =  - \frac{1}{{2x}} =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

- Với \(x = \frac{-1}{{\sqrt 2 }}\) có \(y =  - \frac{1}{{2x}} =  \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Hệ phương trình có 2 nghiệm \(\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }};\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right);\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\)

Vậy -i có hai căn bậc hai là \({z_1} =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i,{z_2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}i\)

* Giả sử z = x + yi là căn bậc hai của 4i, ta có:

\({(x + yi)^2} = 4i \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = 4i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = 0\left( 1 \right)\\
xy = 2\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)

Thay y = 2/x vào phương trình (1) ta được:

\({x^2} - \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = 4 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \)

Với \(x = \sqrt 2 \) ta có \(y = \frac{2}{x} = \sqrt 2 \)

Với \(x = -\sqrt 2 \) ta có \(y = \frac{2}{x} = - \sqrt 2 \)

Hệ có hai nghiệm \(\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right);\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\)

Vậy 4i có hai căn bậc hai là: \({z_1} = \sqrt 2  + \sqrt 2 i;{z_2} =  - \sqrt 2  - \sqrt 2 i\)

* Ta có −4 = 4i2 = (2i)2 do đó −4 có hai căn bậc hai là ±2i

Giả sử  z = x + yi là căn bậc hai của \(1 + 4\sqrt 3 i\)

\({\left( {x + yi} \right)^2} = 1 + 4\sqrt 3 i\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = 1\\
2xy = 2\sqrt 3 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2\sqrt 3 }}{x}\\
{x^2} - \frac{{12}}{{{x^2}}} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2\sqrt 3 }}{x}\\
{x^2} = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = \sqrt 3 
\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2\\
y =  - \sqrt 3 
\end{array} \right.\)

Hệ phương trình có 2 nghiệm \(\left( {2;\sqrt 3 } \right),\left( { - 2; - \sqrt 3 } \right)\)

Vậy \(1 + 4\sqrt 3 i\) có hai căn bậc hai là \({z_1} = 2 + \sqrt 3 i,{z_2} =  - 2 - \sqrt 3 i\)

---

Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì \(\left| z \right| = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \)

Hướng dẫn giải:

Giả sử z = x + yi và w = a + bi

z là một căn bậc hai của số phức w thì z2 = w

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {(x + yi)^2} = a + bi \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = a + bi\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = {a^2}\\
xy = b
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{({x^2} - {y^2})^2} = {a^2}\\
4{x^2}{y^2} = {b^2}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} = {({x^2} + {y^2})^2}\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = {x^2} + {y^2}\\
 \Rightarrow |z{|^2} = |w| \Rightarrow |z| = \sqrt {|z{|^2}}  = \sqrt {|w|} 
\end{array}\)

---

Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau:

\(\begin{array}{l}
a){z^2} = z + 1\\
b){z^2} + 2z + 5 = 0\\
c){z^2} + \left( {1 - 3i} \right)z - 2\left( {1 + i} \right) = 0
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{z^2} = z + 1 \Leftrightarrow {z^2} - z = 1 \Leftrightarrow {z^2} - z + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\\
 \Leftrightarrow {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow z - \frac{1}{2} =  \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow z = \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}
\end{array}\)

Câu b:

\({z^2} + 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow {(z + 1)^2} =  - 4 = {(2i)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z + 1 = 2i\\
z + 1 =  - 2i
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z =  - 1 + 2i\\
z =  - 1 - 2i
\end{array} \right.\)

Vậy S={−1 + 2i; −1 − 2i}

Câu c:

z2 + (1 − 3i)z − 2(1 + i) = 0 

Δ=(1−3i)2+8(1+i)=1−9−6i+8+8i=2i=(1+i)2

Do đó phương trình có hai nghiệm là: 

---

a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i)

c) Có phải mọi phương trình bậc hai z2 + Bz + C = 0 (B,C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B,C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 là \(z = \frac{{ - B \pm \delta }}{{2A}}({\delta ^2} = {B^2} - 4AC)\)

Do đó: 

\({z_1} + {z_2} =  - \frac{B}{A};{z_1}.{z_2} = \frac{{( - B - \delta )( - B + \delta )}}{{2A.2A}} = \frac{{{B^2} - {\delta ^2}}}{{4{A^2}}} = \frac{{4AC}}{{4{A^2}}} = \frac{C}{A}\)

Vậy công thức Viét vẫn còn đúng.

Câu b:

Giả sử \({z_1} + {z_2} = \alpha ;{z_1}{z_2} = \beta \)

\({z_1},{z_2}\) là nghiệm của phương trình:

\((z - {z_1})(z - {z_2}) = 0 \Leftrightarrow {z^2} - ({z_1} + {z_2})z + {z_1}{z_2} = 0 \Leftrightarrow {z^2} - \alpha z + \beta  = 0\)

Theo đề bài \({z_1} + {z_2} = 4 - i,{z_1}{z_2} = 5(1 - i)\)

nên z1; z2 là hai nghiệm phương trình.

\(\begin{array}{l}
{z^2} - \left( {4 - i} \right)z + 5\left( {1 - i} \right) = 0\\
\Delta  = {(4 - i)^2} - 20(1 - i) = 16 - 1 - 8i - 20 + 20i =  - 5 + 12i
\end{array}\)

Giả sử \({(x + yi)^2} =  - 5 + 12i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} =  - 5\\
2xy = 12
\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - \frac{{36}}{{{x^2}}} =  - 5\\
y = \frac{6}{x}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^4} + 5{x^2} - 36 = 0\\
y = \frac{6}{x}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 3
\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2\\
y =  - 3
\end{array} \right.\)

Vậy Δ có hai căn bậc hai là ±(2 + 3i).

Phương trình bậc hai (*) có hai nghiệm:

\(\begin{array}{l}
{z_1} = \frac{1}{2}\left[ {4 - i + \left( {2 + 3i} \right)} \right] = 3 + i\\
{z_2} = \frac{1}{2}[4 - i - (2 + 3i)] = 1 - 2i
\end{array}\)

Câu c:

Nếu phương trình z2 + Bz + C = 0 có hai nghiệm z1, z2 là hai số phức liên hợp, \({z_2} = \overline {{z_1}} \) thì theo công thức Viet, \(B =  - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) =  - \left( {{z_1} + \overline {{z_1}} } \right)\) là số thực, \(C = {z_1}{z_2} = {z_1}\overline {{z_1}} \) là số thực

Điều ngược lại không đúng vì nếu B,C thực thì Δ = B2 − 4AC > 0 hai nghiệm là số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau. ( Khi Δ ≤ 0 thì phương trình mới có hai nghiệm là hai số phức liên hợp).

---

a) Giải phương trình: (z2 + i)(z2 − 2iz − 1) = 0

b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai z2 + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Nhận xét: \( - 2i = {(1 - i)^2} \Rightarrow  - i = {\left( {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}\)

Suy ra –i có căn bậc hai \( \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 - i)\)

Ta có: \(({z^2} + i)({z^2} - 2iz - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{z^2} + i = 0\\
{z^2} - 2iz - 1 = 0
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
*{z^2} + i = 0 \Leftrightarrow {z^2} =  - i \Leftrightarrow z =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 - i} \right)\\
*{z^2} - 2iz - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z - i} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow z = i
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {i;\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 - i} \right); - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 - i} \right)} \right\}\)

Câu b:

Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình 

Theo giả thiết tổng bình phương hai nghiệm bằng 8 nên ta có: \(z_1^2 + z_2^2 = 8\)

Theo định lí Vi-et ta có: 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} =  - B\\
{z_1}.{z_2} = 3i
\end{array} \right.\\
z_1^2 + z_2^2 = 8 \Leftrightarrow {({z_1} + {z_2})^2} - 2{z_1}.{z_2} = 8\\
 \Leftrightarrow {( - B)^2} - 2.3i = 8\\
 \Leftrightarrow {B^2} = 8 + 6i\\
 \Leftrightarrow {B^2} = 9 + 2.3.i + {i^2}\\
 \Leftrightarrow {B^2} = {(3 + i)^2}\\
 \Leftrightarrow B =  \pm (3 + i)
\end{array}\)

---

Hướng dẫn giải:

Lập luận a) là đúng

Lập luận b) sai ở chỗ; nếu z1 là một căn bậc hai của w1, z2 là một căn bậc hai của w2 thì z1z2 là một trong hai căn bậc hai của w1w2; vậy ở đây \(\sqrt { - 1} \).\(\sqrt { - 1} \) chỉ là một căn bậc hai của (−1)(−1) = 1 (để ý rằng có hai căn bậc hai của 1 là 1 và -1), các kí hiệu \(\sqrt {\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \) và \(\sqrt 1 \) chưa xác định.

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 4 Bài 2 Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!