Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 3 Bài 5 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình thang

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và \(x = \frac{{7\pi }}{6}\) 

Hướng dẫn giải:

Vì sinx + 1 ≥ 0 với mọi x nên

\(S = \int\limits_0^{\frac{{7\pi }}{6}} {(sinx + 1)dx}  = \left. {( - cosx + x)} \right|_0^{\frac{{7\pi }}{6}} = \frac{{7\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1\)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số y=cos²x trục hoành, trục tung và đường thẳng x = π
b) Đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \sqrt[3]{x}\)
c) Đồ thị hàm số y = 2x² và y = x⁴ −2x² trong miền x ≥ 0 .

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(S = \int\limits_0^\pi  {co{s^2}xdx}  = \frac{1}{2}\int\limits_0^\pi  {\left( {1 + cos2x} \right)dx}  = \left. {\frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^\pi  = \frac{\pi }{2}\) \(\sqrt x  = \sqrt[3]{x} \Leftrightarrow x = 0;x = 1\)

Câu b:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là 

Trên đoạn [0;1] thì \(\sqrt[3]{x} \ge \sqrt x \) nên 

\(\begin{array}{l}
S = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt[3]{x} - \sqrt x } \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} - {x^{\frac{1}{2}}}} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{3}{4}{x^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{{12}}\\

\end{array}\)

Câu c:

Trong miền x ≥ 0 hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
{x^4} - 2{x^2} = 2{x^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
{x^2}({x^2} - 4) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
S = \int\limits_0^2 {|{x^4} - 2{x^2} - 2{x^2}|dx}  = \int\limits_0^2 {|{x^2}\left( {{x^2} - 4} \right)|dx}  = \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - {x^4}} \right)} dx\\
 = \left. {\left( {4\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{64}}{{15}}
\end{array}\)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị các hàm số y = x² − 4, y = −x² − 2x và đường thẳng x = −3, x = −2
b) Đồ thị hai hàm số y = x²  và y = −x² − 2x
c) Đồ thị hàm số y = x³ − 4x, trục hoành, đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: 

\(S = \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {|{x^2} - 4 - \left( { - {x^2} - 2x} \right)|dx}  = \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left( {2{x^2} + 2x - 4} \right)dx} \)

= \(2\int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left( {{x^2} + x - 2} \right)dx} \) (vì \({x^2} + x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \le  - 2\) hoặc \(x \ge 1\)

\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_{ - 3}^{ - 2} = \frac{{11}}{3}\)

Câu b

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\({x^2} - 4 =  - {x^2} - 2x \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 2\\
x = 1
\end{array} \right.\)

Do đó: \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {|{x^2} - 4 - \left( { - {x^2} - 2x} \right)|dx}  = \int\limits_{ - 2}^1 {|2{x^2} + 2x - 4|dx} \)

\( =  - \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {2{x^2} + 2x - 4} \right)dx} \) (vì \( - 2 \le x \le 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 4 \le 0\))

\( = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( { - 2{x^2} - 2x + 4} \right)dx}  = \left. {\left( { - \frac{{2{x^3}}}{3} - {x^2} + 4x} \right)} \right|_{ - 2}^1 = 9\)

Câu c:

\(S = \int\limits_{ - 2}^4 {|{x^3} - 4x|dx}  = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} - 4x} \right)dx}  - \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - 4x} \right)dx}  + \int\limits_2^4 {\left( {{x^3} - 4x} \right)dx}  = 44\)

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 3 Bài 5 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình thang được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!