Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 3 Bài 3 Tích phân

Không tìm nguyên hàm hãy tính các tích phân sau:

\(\begin{array}{l}
a)\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {\frac{x}{2} + 3} \right)dx} \\
b)\int \limits_{ - 1}^2 \left| x \right|dx\\
c)\int \limits_{ - 3}^3 \sqrt {9 - {x^2}} dx
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Tích phân đó bằng diện tích hình thang ABCD với cạnh nghiêng là đường thẳng \(y = \frac{x}{2} + 3\). Diện tích đó là \((2 + 5)\frac{6}{2} = 21\). 

Vậy \(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {\frac{x}{2} + 3} \right)dx}  = 21\)

Câu b:

Từ hình trên ta thấy hình A gồm 2 tam giác. Do đó tích phân bằng diện tích của A là \(\frac{1}{2}.1.1 + \frac{1}{2}2.2 = 0,5 + 2 = 2,5\)

Vậy \(\int \limits_{ - 1}^2 \left| x \right|dx = \frac{5}{2}\)

Câu c:

Tích phân bằng diện tích nửa đường tròn x² + y² = 9 (hình). Đây là đường tròn tâm là gốc tọa độ bán kính là 3. Do đó diện tích nửa dường tròn là  \(9\frac{\pi }{2} = 4,5\pi .\)

Vậy \(\int \limits_{ - 3}^3 \sqrt {9 - {x^2}} dx = 4,5\pi \)

 

---

Cho biết \(\int \limits_1^2 f\left( x \right)dx =  - 4,\int\limits_1^5 {f(x)dx}  = 6,\int\limits_1^5 {g(x)dx}  = 8.\) Hãy tính

\(\begin{array}{l}
a)\int\limits_2^5 {f(x)dx} \\
b)\int\limits_1^2 {3f(x)dx} \\
c)\int\limits_1^5 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} \\
d)\int\limits_1^5 {\left[ {4f(x) - g(x)} \right]dx} 
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\int\limits_2^5 {f(x)dx}  = \int\limits_2^1 {f(x)dx}  + \int\limits_1^5 {f(x)dx}  =  - \int\limits_1^2 {f(x)dx}  + \int\limits_1^5 {f(x)dx}  = 4 + 6 = 10\)

Câu b:

\(\int\limits_1^2 {3f(x)dx}  = 3\int\limits_1^2 {f(x)dx}  = 3.\left( { - 4} \right) =  - 12\)

Câu c:

\(\int\limits_1^5 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx}  = \int\limits_1^5 {f(x)dx}  - \int\limits_1^5 {g(x)dx}  = 6 - 8 =  - 2\)

Câu d:

\(\int\limits_1^5 {\left[ {4f(x) - g(x)} \right]dx}  = 4\int\limits_1^5 {f(x)dx}  - \int\limits_1^5 {g(x)dx}  = 4.6 - 8 = 16\)

---

Bài 12 trang 153 SGK Toán nâng cao 12

Cho biết \(\lint \limits_0^3 f\left( z \right)dz = 3,\int \limits_0^4 f\left( x \right)dx = 7.\). Hãy tính \(\int \limits_3^4 f\left( t \right)dt.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\int \limits_3^4 f\left( t \right)dt = \int \limits_3^0 f\left( t \right)dt + \int \limits_0^4 f\left( t \right)dt =  - \int \limits_0^3 f\left( t \right)dt + \int \limits_0^4 f\left( t \right)dt =  - 3 + 7 = 4\)

---

a) Chứng minh rằng nếu \(f(x) \ge 0\) trên [a; b] thì \(\int \limits_a^b f\left( x \right)dx \ge 0.\)

b) Chứng minh rằng nếu \(f(x) \ge g(x)\) trên [a; b] thì \(\int \limits_a^b f\left( x \right)dx \ge \int \limits_a^b g\left( x \right)dx\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(\lint \limits_a^b f\left( x \right)dx\) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b do đó \(\int \limits_a^b f\left( x \right)dx \ge 0.\)

Câu b:

Đặt h(x) = f(x) − g(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a;b].

Theo câu a ta có:

\(\int \limits_a^b \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] \ge 0 \Rightarrow \int \limits_a^b f\left( x \right)dx - \int \limits_a^b g\left( x \right)dx \ge 0 \Rightarrow \int \limits_a^b f\left( x \right)dx \ge \int \limits_a^b g\left( x \right)dx\)

---

a) Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 1 − 2sin2t (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm \(t = \frac{{3\pi }}{4} \left( s \right)\)

b) Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 160 − 10t (m/s). Tính quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm mà vật dừng lại. 

Hướng dẫn giải:

Câu a:

 Quãng đường vật di chuyển trong thời gian từ t = 0 (s) đến \(t = \frac{{3\pi }}{4} \left( s \right)\) là:

\(S = \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {(1 - 2sin2t)dt}  = \left. {(t + cos2t)} \right|_0^{\frac{{3\pi }}{4}} = \frac{{3\pi }}{4} - 1(m)\)

Câu b:

Gọi t₀ là thời điểm vật dừng lại, khi đó:

\(v\left( {{t_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 160 - 10{t_0} = 0 \Leftrightarrow {t_0} = 16.\)

Quãng đường vật di chuyển từ t = 0 đến t = 16 là

\(S = \int\limits_0^{16} {(160 - 10t)dt}  = \left. {(160t - 5{t^2})} \right|_0^6 = 1280\)

---

Một vật đang chuyển động với vận tốc  10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a = 3t + t² (m/s²). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tang tốc.

Hướng dẫn giải:

Gọi v(t) là vận tốc của vật. ta có : v′(t) = a(t) = 3t + t²

Suy ra \(v\left( t \right) = \frac{{3{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + C.\) Vì v(0) = 10 nên suy ra C = 10

Vậy \(v\left( t \right) = \frac{{3{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + 10\)

Quãng đường vật đi được là: \(S = \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{{3{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + 10} \right)dt}  = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{2} + \frac{{{t^4}}}{{12}} + 10t} \right)} \right|_0^{10} = \frac{{4300}}{3}(m)\)

---

Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25 m/s. gia tốc trọng trường là 9,8m/s²

a) Sau bao lâu viên đạn đạt tới vận tốc cao nhất.

b) Tính quãng đường viên đạn đi được tính từ lúc bắn lên cho đến khi rơi xuống đất.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Gọi v(t) là vận tốc của viên đạn. ta có   

Suy ra v(t) = −9,8t + C. vì v(0) = 25 nên suy ra C = 25

Vậy v(t) = −9,8t + 25.

Gọi T là thời điểm viên đạn đạt tốc độ cao nhất. tại đó vận tốc viên đạn có vận tốc bằng 0. Vậy v(T) = 0 suy ra \(T = \frac{{25}}{{9,8}} \approx 2,55\) (giây)

Câu b:

Quãng đường viên đi được cho tới thời điểm T = 2,55 (giây) là:

\(S = \int\limits_0^T {\left( { - 9,8t + 25} \right)dt}  =  - 9,8\frac{{{T^2}}}{2} + 25T \approx 31,89(m).\)

Vậy quãng đường viên đạn đi được cho đến khi rơi là xuống đất là 2S = 63,78(m).

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 3 Bài 3 Tích phân được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!