Bài 1 trang 141 SGK Toán 12 nâng cao
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
\(\begin{array}{l}
a)f\left( x \right) = 3{x^2} + \frac{x}{2}\\
b)f(x) = 2{x^3} - 5x + 7\\
c)f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} - {x^2} - \frac{1}{3}\\
d)f(x) = {x^{ - \frac{1}{3}}}\\
e)f(x) = {10^{2x}}
\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
\(\int {\left( {3{x^2} + \frac{x}{2}} \right)} dx = 3\int {{x^2}dx} + \frac{1}{2}\int {xdx} = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C\)
Câu b:
\(\int {\left( {2{x^3} - 5x + 7} \right)} dx = 2\int {{x^3}dx} - 5\int {xdx} + 7\int {dx} = \frac{{{x^4}}}{2} - \frac{{5{x^2}}}{4} + 7x + C\)
Câu c:
\(\int {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - {x^2} - \frac{1}{3}} \right)} dx = \int {{x^{ - 2}}dx} - \int {{x^2}dx} - \frac{1}{3}\int {dx} = - \frac{1}{x} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{x}{3} + C\)
Câu d:
\(\int {\left( {{x^{ - \frac{1}{3}}}} \right)} dx = \frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{\frac{2}{3}}} + C = \frac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}} + C\)
Câu e:
\(\int {{{10}^{2x}}} dx = \frac{{{{10}^{2x}}}}{{2.\ln 10}} + C\)
Bài 2 trang 141 SGK Toán 12 nâng cao
Tìm
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)\int {\left( {\sqrt x + \sqrt[3]{x}} \right)dx} }\\
{b)\int {\frac{{x\sqrt x + \sqrt x }}{{{x^2}}}} dx}\\
{c)\int {4{{\sin }^2}xdx} }\\
{d)\int {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}dx} }
\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
\(\begin{array}{l}
\int {\left( {\sqrt x + \sqrt[3]{x}} \right)dx} = \int {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{1}{3}}}} \right)} dx\\
= \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^{\frac{4}{2}}}}}{{\frac{4}{2}}} + C = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{4}{x^{\frac{4}{2}}} + C
\end{array}\)
Câu b:
\(\begin{array}{l}
\int {\frac{{x\sqrt x + \sqrt x }}{{{x^2}}}} dx = \int {\frac{1}{{\sqrt x }}dx} + \int {\frac{{dx}}{{x\sqrt x }} = \int {{x^{ - \frac{1}{2}}}dx} + \int {{x^{ - \frac{3}{2}}}dx} } \\
= \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} + \frac{{{x^{ - \frac{1}{2}}}}}{{ - \frac{1}{2}}} + C = 2\sqrt x - \frac{2}{{\sqrt x }} + C
\end{array}\)
Câu c:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\int 4 {{\sin }^2}xdx = \int 2 \left( {1 - \cos 2x} \right)dx}\\
\begin{array}{l}
= 2\int {dx} - 2\int {\cos 2x} dx\\
= 2x - \sin 2x + C
\end{array}
\end{array}\)
Câu d:
\(\int {\frac{{1 + cos4x}}{2}dx} = \frac{x}{2} + \frac{1}{8}\sin 4x + C\)
Bài 3 trang 141 SGK Toán 12 nâng cao
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây :
Nguyên hàm của hàm số y = xsinx là
\(\begin{array}{l}
(A){x^2}sinx2 + C\\
(B) - xcosx + C\\
(C) - xcosx + sinx + C
\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
Ta có (−xcosx + sinx+C)′ = −cosx + xsinx + cosx = xsinx.
Chọn (C).
Bài 4 trang 141 SGK Toán 12 nâng cao
Khẳng định sau đúng hay sai : Nếu \(f\left( x \right) = {\left( {1 - \sqrt x } \right)^\prime }\) thì \(\smallint f(x)dx = - \sqrt x + C\)
Hướng dẫn giải:
Đúng vì \( - \sqrt x \) là một nguyên hàm của f(x)
Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 3 Bài 1 Nguyên hàm được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!
