Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 2 Bài 6 Hàm số lũy thừa

Trên hình bên cho hai đường cong (C₁) (đường nét liền) và (C₂) (đường nét đứt) được vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Biết rằng mỗi đường cong ấy là đồ thị của ột trong hai hàm số lũy thừa y=x^-2 và \(y = {x^{ - \frac{1}{2}}}\) (x>0). Chỉ dựa vào tính chất của lũy thừa, có thể nhận biết đường cong nào là đồ thị của hàm số nào được không?
Hãy nêu rõ lập luận.

Hướng dẫn giải:

Giả sử (C₁) và (C₂) theo thứ tự là đồ thị của hàm số \(y = {x^\alpha }\) và \(y = {x^\beta }\) ( α và β là -2 hoặc −1/2). Trên đồ thị, ta thấy trên khoảng (1;+∞), đường cong (C₂)nằm trên đường cong (C₁), nghĩa là khi x > 1 ta có bất đẳng thức \({x^\beta } > {x^\alpha }\) . Vậy β=−1/2 và α=−2
Vậy đường (C₁) là đồ thị của hàm số y=x^-2, (C₂) là đồ thị hàm số \(y = {x^{ - \frac{1}{2}}}\)

---

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {\left( {2x + 1} \right)^\pi }\)

b) \(y = 5\sqrt[3]{{{{\ln }^3}5x}}\)

c) \(y = \sqrt[3]{{\frac{{1 + {x^3}}}{{1 - {x^3}}}}}\)

d) \(y = {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a}{\left( {\frac{a}{x}} \right)^b}\) với a > 0, b > 0

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(y' = 2\pi {\left( {2x + 1} \right)^{\pi  - 1}}\)

Câu b:

\(y' = \frac{{{{\left( {{{\ln }^3}5x} \right)}^\prime }}}{{5\sqrt[5]{{{{\left( {{{\ln }^3}5x} \right)}^4}}}}} = \frac{{3{{\ln }^2}5x}}{{5x\sqrt[5]{{{{\ln }^{12}}5x}}}}\)

Câu c:

Đặt \(u = \frac{{1 + {x^3}}}{{1 - {x^3}}};y\prime  = \frac{{u'}}{{3\sqrt[3]{{{u^2}}}}}\)

\(u' = \frac{{3{x^2}\left( {1 - {x^3}} \right) - 3{x^2}\left( {1 + {x^3}} \right)}}{{{{\left( {1 - {x^3}} \right)}^2}}} = \frac{{6{x^2}}}{{\left( {1 - {x^3}} \right)}}\)

Do đó: \(y' = \frac{{2{x^2}}}{{{{\left( {1 - {x^3}} \right)}^2}}}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{{1 + {x^3}}}{{1 - {x^3}}}} \right)}^2}}}}} = \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 - {x^3}} \right)}^4}{{\left( {1 + {x^3}} \right)}^2}}}}}\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
y' = {\left[ {{{\left( {\frac{x}{b}} \right)}^a}} \right]^'}{\left( {\frac{a}{x}} \right)^b} + {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a}{\left[ {{{\left( {\frac{a}{x}} \right)}^b}} \right]^'}\\
 = \frac{a}{b}{\left( {\frac{x}{a}} \right)^{a - 1}}{\left( {\frac{a}{x}} \right)^b} + {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a}b{\left( {\frac{a}{x}} \right)^{b - 1}}.\left( { - \frac{a}{{{x^2}}}} \right)\\
 = {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a}{\left( {\frac{a}{x}} \right)^b}\frac{{a - b}}{x}
\end{array}\)

---

Tính giá trị gần đúng đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm đã cho (chính xác đến hàng phần trăm):

a) \(y = lo{g_3}(sinx)\) tại \(x = \frac{\pi }{4}\)

b) \(y = \frac{{{2^x}}}{{{x^2}}}\) tạo x = 1

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(y\prime  = \frac{{cosx}}{{sinx}}.\frac{1}{{ln3}} = \frac{{cotx}}{{ln3}};y'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) \approx 0,91\)

Câu b:

\(y\prime  = \frac{{{2^x}(xln2 - 2)}}{{{x^3}}};y\prime (1) \approx  - 2,61\)

---

a) Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \(y = {a^x};y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x}\) đối xứng với nhau qua trục tung.
b) Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \(y = lo{g_a}x;y = lo{g_{\frac{1}{a}}}x\) đối xứng với nhau qua trục hoành.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Gọi (G₁) và (G₂) lần lượt là đồ thị củ hàm số \(y = {a^x};y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x}\), M(x_o,y_o) là một điểm bất kì. Khi đó điểm đối xứng với M qua trục tung là M′(−x_o,y_o)

Ta có: \(M \in \left( {{G_1}} \right) \Leftrightarrow {y_o} = {a^{{x_o}}} \Leftrightarrow {y_o} = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^{ - {x_o}}} \Leftrightarrow M' \in \left( {{G_2}} \right)\)
Điều đó chứng tỏ (G₁) và (G₂) đối xứng với nhau qua trục tung.

Câu b:

Gọi (G1) và (G2) lần lượt là đồ thị củ hàm số \(y = lo{g_a}x;y = lo{g_{\frac{1}{a}}}x\)
Lấy M(xo,yo) tùy ý. Điểm đối xứng với M qua trục hoành là M′(xo, -yo)
Ta có: \(M \in \left( {{G_1}} \right) \Leftrightarrow {y_o} = {\log _a}{x_o} =  - {\log _{\frac{1}{a}}}{x_o} \Leftrightarrow  - {y_o} = {\log _{\frac{1}{a}}}{x_o} \Leftrightarrow M' \in \left( {{G_2}} \right)\)
Vậy (G₁)và (G₂) đối xứng với nhau qua trục hoành.

---

a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = lo{g_{0,5}}x > 0\)

b) \( - 3 \le lo{g_{0,5}}x \le  - 1\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: \(D = (0; + \infty )\)

a = 0,5 < 1. Hàm số nghịch biến trên \((0; + \infty )\)

Bảng giá trị

\(lo{g_{0,5}}x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1\) (ứng với phần đồ thị ở phía trên trục hoành)

Câu b:

\( - 3 < lo{g_{0,5}}x <  - 1 \Leftrightarrow 2 < x \le 8\) (ứng với những điểm trên đồ thị có tung độ thuộc nửa khoảng [−3;1)).

---

Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\). Dựa vào đồ thị, hãy giải thích các bất phương trình sau:

a) \({\left( {\sqrt 3 } \right)^x} \le 1\)

b) \({\left( {\sqrt 3 } \right)^x} > 3\)

Hướng dẫn giải:

TXĐ: D = R

Hàm số đồng biến trên R

 

Câu a:

\({\left( {\sqrt 3 } \right)^x} \le 1 \Leftrightarrow x \le 0\) (ứng với những điểm trên đồ thị có tung độ lớn hơn 1)

Câu b:

\({\left( {\sqrt 3 } \right)^x} > 3 \Leftrightarrow x > 2\) (ứng với những điểm trên đồ thị có tung độ lón hơn 3)

 

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 2 Bài 6 Hàm số lũy thừa được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!