Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 2 Bài 2 Lũy thừa với số mũ thực

Xét mệnh đề: ”Với các số thực x, a, b, nếu a^x < b^x”. Với điều kiện nào sau đây của x thì mệnh đề đó là đúng?

(A) x bất kì

(B) x > 0

(C) x < 0

Hướng dẫn giải:

x >0. Chọn (B)

---

Xét mệnh đề: “Với các số thực x, a, b, nếu a^x < a^y. Với điều kiện nào sau đây của a thì mệnh đề đó là đúng?

(A) a bất kì

(B) a > 0

(C) a > 1

Hướng dẫn giải:

a > 1. Chọn (C)

---

Cho các số thực a, x, y với x < y. Hãy tìm điều kiện của a để a^x > a^y

Hướng dẫn giải:

Với x < y điều kiện để ax > ay là 0 < a < 1.

---

Tính các biểu thức: \({\left( {0,{5^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 8 }};{2^{2 - 3\sqrt 5 }}{.8^{\sqrt 5 }};{3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}
{\left( {0,{5^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 8 }} = 0,{5^{\sqrt {16} }} = 0,{5^4} = \frac{1}{{16}}.\\
{2^{2 - 3\sqrt 5 }}{.8^{\sqrt 5 }} = {2^{2 - 3\sqrt 5 }}{.2^3}^{\sqrt 5 } = {2^{2 - 3\sqrt 5  + 3}}^{\sqrt 5 } = {2^2} = 4\\
{3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}} = {3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{3^2}^{\sqrt[3]{2}} = {3^{1 + 2\sqrt[3]{2} - 2}}^{\sqrt[3]{2}} = {3^1} = 3
\end{array}\)

---

Đơn giản biểu thức \(\frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 3  - 1}}} \right)}^{\sqrt 3  + 1}}}}{{{a^{\sqrt 5  - 3}}.{a^{4 - \sqrt 5 }}}}\); \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2  - 1}}\\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}
\frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 3  - 1}}} \right)}^{\sqrt 3  + 1}}}}{{{a^{\sqrt 5  - 3}}.{a^{4 - \sqrt 5 }}}} = \frac{{{a^{\left( {\sqrt 3  - 1} \right).\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}}}{{{a^{\sqrt 5  - 3}}.{a^{4 - \sqrt 5 }}}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^1}}} = a\\
{a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2  - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{\left( {{a^{ - 1}}} \right)^{\sqrt 2  - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{1 - \sqrt 2 }} = {a^{\sqrt 2  + 1 - \sqrt 2 }} = a
\end{array}\)

---

Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất 7.56% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 5 năm là bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức lãi kép: C=A(1+r)^N

Sau 5 năm người gửi thư thu được một số tiền (cả vốn lẫn lãi) là

15(0,756)⁵ ≈ 21,59(triệu đồng)

---

Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỉ:

a) \(\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}},\left( {x > 0} \right)\)

b) \(\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}},}}\left( {a > 0,b > 0} \right)\)

c) \(\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}}}.\sqrt {\frac{2}{3}} }}\)

d) \(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}},\left( {a > 0} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}} = {\left( {{x^2}{x^{\frac{1}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {\left( {{x^{\frac{7}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {x^{\frac{7}{{12}}}}\)

Câu b:

\(\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}} = {\left( {\frac{b}{a}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{1}{3}}}} \right)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{ - 1}}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{1}{3}}}} \right)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{{ - 2}}{3}}}} \right)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{{ - 2}}{{15}}}}\)

Câu c:

\(\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}}}.\sqrt {\frac{2}{3}} }} = {\left( {\frac{2}{3}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{1}{3}}}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{1}{6}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}\)

Câu d:

\(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = \left( {{a^{\frac{1}{2}}}.{a^{\frac{1}{4}}}.{a^{\frac{1}{8}}}.{a^{\frac{1}{{16}}}}} \right):{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = {a^{\frac{{15}}{{16}}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = {a^{\frac{1}{4}}}\)

---

Đơn giản biểu thức: 

a) \({a^{ - 2\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{{{a^{ - \sqrt 2  - 1}}}}} \right)^{\sqrt 2  + 1}}\)

b) \({\left( {\frac{{{a^{\sqrt 3 }}}}{{{b^{\sqrt 3  - 1}}}}} \right)^{\sqrt 3  + 1}}\frac{{{a^{ - 1 - \sqrt 3 }}}}{{{b^{ - 2}}}}\)

c) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)

d) \(\sqrt {{{({x^\pi } + {y^\pi })}^2} - {{({4^{\frac{1}{\pi }}}xy)}^\pi }} \)

Hướng dẫn giải:

Câu a: 

\({a^{ - 2\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{{{a^{ - \sqrt 2  - 1}}}}} \right)^{\sqrt 2  + 1}} = {a^{ - 2\sqrt 2 }}{\left( {{a^{\sqrt 2  + 1}}} \right)^{\sqrt 2  + 1}} = {a^{ - 2\sqrt 2 }}.{a^{3 + 2\sqrt 3 }} = {a^3}\)

Câu b:

\({\left( {\frac{{{a^{\sqrt 3 }}}}{{{b^{\sqrt 3  - 1}}}}} \right)^{\sqrt 3  + 1}}\frac{{{a^{ - 1 - \sqrt 3 }}}}{{{b^{ - 2}}}} = \frac{{{a^{3 + \sqrt 3 }}}}{{{b^2}}}.\frac{{{a^{ - 1 - \sqrt 3 }}}}{{{b^{ - 2}}}} = {a^2}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 = \frac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }} + {{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}}\\
 = \frac{{2{a^{2\sqrt 2 }} - 2{a^{\sqrt 2 }}{b^{\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} = \frac{{2{a^{\sqrt 2 }}\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} = \frac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}
\end{array}\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{{({x^\pi } + {y^\pi })}^2} - {{({4^{\frac{1}{\pi }}}xy)}^\pi }}  = \sqrt {({x^{2\pi }} + {y^{2\pi }} - 2x{y^\pi }} \\
 = \sqrt {{{({x^\pi } - {y^\pi })}^2}}  = |{x^\pi } - {y^\pi }|
\end{array}\)

---

 Tìm số thực \(\alpha \), thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) \(\frac{1}{2}({a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}) = 1(a > 0)\)

b) \({3^{|\alpha |}} < 27\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{2}({a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}) = 1 \Leftrightarrow {a^\alpha } + {a^{ - \alpha }} - 2 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {{a^{\frac{\alpha }{2}}} - {a^{ - \frac{\alpha }{2}}}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {a^{\frac{\alpha }{2}}} = {a^{ - \frac{\alpha }{2}}}\left( * \right)
\end{array}\)

- Nếu \(a \ne {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 1\) thì (*) \( \Leftrightarrow {a^{\frac{\alpha }{2}}} = {a^{ - \frac{\alpha }{2}}} \Leftrightarrow \alpha  = 0\)

- Nếu a = 1 thì (*) \(\alpha \) là số thực tùy ý

Câu b:

\({3^{|\alpha |}} < 27 = {3^{|\alpha |}} < {3^2} \Leftrightarrow |\alpha | < 3 \Leftrightarrow  - 3 < \alpha  < 3\)

---

Giải các phương trình sau bằng cách đặt \(t = \sqrt[4]{x}\)

a) \(\sqrt x  + \sqrt[4]{x} = 2\)

b) \(\sqrt x  - 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Điều kiện \(x \ge 0\)

Đặt \(t = \sqrt[4]{x}\), \(t \ge 0\) ta được phương trình \({t^2} + t = 2\)

Ta có: 

\({t^2} + t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t =  - 2\left( L \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt[4]{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy tập nghiệm phương trình là S ={1}

Câu b:

Điều kiện \(x \ge 0\).

Đặt \(t = \sqrt[4]{x}\), \(t \ge 0\) ta được phương trình

\({t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt[4]{x} = 1\\
\sqrt[4]{x} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 16
\end{array} \right.\)

Vậy S = {1; 16}

---

Giải các bất phương trình sau:

a) \({x^4} < 3\)

b) \({x^{11}} \ge 7\)

c) \({x^10} > 2 \)

d) \({x^3} \le 5\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(x^4} < 3 \Leftrightarrow |x| < \sqrt[4]{3} \Leftrightarrow  - \sqrt[4]{3} < x < \sqrt[4]{3}\)

Tập nghiệm \(S = \left( { - \sqrt[4]{3};\sqrt[4]{3}} \right)\)

Câu b:

\({x^{11}} \ge 7 \Leftrightarrow x \ge \sqrt[{11}]{7}\)

Vậy \(S = \left[ {\sqrt[{11}]{7}; + \infty } \right)\)

Câu c:

\({x^{10}} > 2 \Leftrightarrow |x| > \sqrt[{10}]{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x <  - \sqrt[{10}]{2}\\
x > \sqrt[{10}]{2}
\end{array} \right.\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ;\sqrt[{10}]{2}} \right) \cup \left( {\sqrt[{10}]{2}; + \infty } \right)\)

Câu d:

\({x^3} \le 5 \Leftrightarrow x \le \sqrt[3]{5}\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ;\sqrt[3]{5}} \right)\)

 

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 2 Bài 2 Lũy thừa với số mũ thực được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!