Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 1 Bài 7 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của một số hàm phân thức hữu tỉ

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : \(y = \frac{{x - 2}}{{2x + 1}}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R \ {-1/2}

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ - }} y =  + \infty \) nên đường thẳng x = -1/2 là tiệm cận đứng của đồ thị

Vì \(\mathop {lim}\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } y = \frac{1}{2}\) nên đường thẳng y = 1/2 là tiệm cận ngang của đồ thị

\(y' = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 2}\\
{2{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 1}
\end{array}} \right|}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne  - \frac{1}{2}\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

Đồ thị : Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;−2) và cắt trục hoành tại điểm (2;0)

Câu b: 

Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị \(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

Công thức đổi trục tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {OI} \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = X - 12\\
y = Y + 12
\end{array} \right.\)

Phương trình của đồ thị (C) đối với trục IXY

\(Y + 12 = \frac{{X - \frac{1}{2} - 2}}{{2\left( {X - \frac{1}{2}} \right) + 1}} \Leftrightarrow Y + \frac{1}{2} = \frac{{X - \frac{5}{2}}}{{2X}} \Leftrightarrow Y = \frac{{ - 5}}{{4X}}\)

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhân I làm tâm đối xứng.

---

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{1 - 3x}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R \ {1}

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng

Vì \(\mathop {lim}\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } y = 1\) nên y = 1 là tiệm cận ngang

\(y' = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
1&{ - 1}
\end{array}} \right|}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;1)và (1;+∞)

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0;−1) cắt trục hoành tại điểm (−1;0)

Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I(1;1) làm tâm đối xứng.

Câu b:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ {\frac{1}{3}} \right\}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^ + }} y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên x = 1/3 là tiệm cận đứng 

Vì \(\mathop {lim}\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {lim}\limits_{x \to  - \infty } y =  - \frac{2}{3}\) nên \(y =  - \frac{2}{3}\) là tiệm cận ngang

\(y' = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1\\
{ - 3}&1
\end{array}} \right|}}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne \frac{1}{3}\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right);\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\)

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1) và cắt trục hoành tại điểm (−1/2;0)

Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I(1/3; 1/2) làm tâm đối xứng.

---

a)  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm  của đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

c) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: \(\frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}} + m = 0\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R \ {-2}

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  - \infty \) nên x = -2 là tiệm cận đứng

Ta có: \(y = 2x + 1 + \frac{2}{{x + 2}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{2}{{x + 2}} = 0\) nên y = 2x + 1 là tiệm cận xiên

\(\begin{array}{l}
y\prime  = 2 - \frac{2}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{{2[{{(x + 2)}^2} - 1]}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{{2(x + 1)(x + 3)}}{{{{(x + 2)}^2}}}\\
y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1;y\left( { - 1} \right) = 1\\
x =  - 3;y\left( { - 3} \right) =  - 7
\end{array} \right.
\end{array}\)

Bảng biến thiên 

Điểm đặc biệt: x = 0=> y = 2

Câu b:

Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị là nghiệm của hệ.

\(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2\\
y = 2x + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2\\
y =  - 3
\end{array} \right.\)

Vậy I(-2; -3)

Công thức đổi trục tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {OI} \): \(\left\{ \begin{array}{l}
x = X - 2\\
y = Y - 3
\end{array} \right.\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
Y - 3 = 2(X - 2) + 1 + \frac{2}{{X - 2 + 2}}\\
 \Leftrightarrow Y - 3 = 2X - 4 + 1 + \frac{2}{X}\\
 \Leftrightarrow Y = 2X + \frac{2}{X}
\end{array}\)

Hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị của hàm số nhận gốc II làm tâm đối xứng.

Câu c:

Ta có: \(\frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}} + m = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}} =  - m\)

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị (C) hàm số và đường thẳng y=−m
Dựa vào đồ thị ta có:
+) −m <−7 hoặc –m > 1<=>m > <=> m > 7 hoặc m<−1 : phương trình có 2 nghiệm;
+) −m =−7 hoặc –m = 1<=> m=7 hoặc m = −1: phương trình có 1 nghiệm;
+) −7 < m < 1<=> −1 < m < 7: phương trình vô nghiệm.

---

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

a) \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\)

b) \(y = \frac{{{2x^2} - x + 1}}{{1 - x}}\)

c) \(y = \frac{{{2x^2} + 3x - 3}}{{x + 2}}\)

d) \(y =  - x + 2 + \frac{1}{{x - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(y = x - 2 + \frac{4}{{x - 1}}\)

TXĐ: D = R \ {1}

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  \pm \infty } [y - (x - 2)] = \mathop {lim}\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{4}{{x - 1}} = 0\) nên y = x- 2 là tiệm cận xiên

\(\begin{array}{l}
y\prime  = 1 - \frac{4}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{{(x - 1)}^2} - 4}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}}\\
y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1;y\left( { - 1} \right) =  - 5\\
x = 3;y\left( 3 \right) =  - 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

Điểm đặc biệt x = 0 => y = -6

Đồ thị nhận giao điểm I(1; −1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Câu b:

\(\begin{array}{l}
y = \frac{{ - 2{x^2} + x - 1}}{{x - 1}}\\
y =  - 2x - 1 - \frac{2}{{x - 1}}
\end{array}\)

TXĐ: D = R \ {1}

Tiệm cận đứng: x = 1

Tiệm cận xiên: y=−2x–1

\(\begin{array}{l}
y\prime  =  - 2 + \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{ - 2{{(x - 1)}^2} + 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 4x}}{{{{(x - 1)}^2}}}\\
y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 0;y\left( 0 \right) = 1\\
x = 2;y\left( 3 \right) =  - 7
\end{array} \right.
\end{array}\)

Điểm đặc biệt

x = 0 => y = 1

x = -1 => y = 2

Đồ thị

Đồ thị nhận I(1;-3) làm tâm đối xứng

Câu c:

\(y = 2x - 1 - \frac{1}{{x + 2}}\)

 TXĐ: D=R∖{−2}

Tiệm cận đứng: x = 2

Tiệm cận xiên: y = 2x−1

\(y' = 2 + \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne  - 2\)

\

Điểm đặc biệt x = 0 => y = -3/2

Đồ thị nhận I(-2;-5) làm tâm đối xứng

Câu d:

\(y =  - x + 2 + \frac{1}{{x - 1}}\)

TXĐ: D=R∖{1}

Tiệm cận đứng: x = 1

Tiệm cận xiên y = −x + 2

\(y' =  - 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\)

Điể đặc biệt x = 0 => y = 1

Đồ thị nhận điểm I(1; -1) làm tâm đối xứng

---

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm A của đồ thị với trục tung.

c) Viết phương trinh tiếp tuyến của đồ thị song song với tiếp tuyến tại điểm A

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R \ {2}

Tiệm cận đứng x = 2; tiệm cận ngang y = 1

\(y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\forall x \ne 2\)

Điểm đặc biệt A(0; -1/2), B(-1;0)

Đồ thị nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng.

Câu b:

Giao điểm của đồ thị với trục tung A(0;-1/2)

y'(0) = -3/4

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A là: 

\(y + \frac{1}{2} =  - \frac{3}{4}(x - 0) \Leftrightarrow y =  - \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}\)

Câu c:

Giả sử M là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với tiếp tuyến tại A ta có:

\(y'\left( {{x_M}} \right) = \frac{{ - 3}}{4} \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_M} - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{4} \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 2} \right)^2} = 4\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_M} - 2 = 2\\
{x_M} - 2 =  - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_M} = 4\left( N \right)\\
{x_M} = 0\left( L \right)
\end{array} \right.\\
y(4) = \frac{5}{2}
\end{array}\)

Vậy \(M\left( {4;\frac{5}{2}} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là \(y - \frac{5}{2} =  - \frac{3}{4}(x - 4) \Leftrightarrow y =  - \frac{3}{4}x + \frac{{11}}{2}\)

---

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số \(y = 1 - \frac{1}{{x + 1}}\)

b) Từ đồ thị (H) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số \(y = 1 + \frac{1}{{x + 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(y = \frac{x}{{x + 1}}\)

TXĐ: D = R \ {-1}

Tiệm cận đứng x = -1; tiệm cận ngang y = 1

\(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne  - 1\)

Điểm đặc biệt 

x=0 => y=0

x=1=> y=1/2

Đồ thị nhận I(-1; 1) làm tâm đối xứng

Câu b:

Ta có: \(y =  - 1 + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{ - x}}{{x + 1}}\)

Do đó đồ thị của hàm số \(y =  - 1 + \frac{1}{{x + 1}}\) là hính đối xứng của (H) qua trục hoành

---

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = x + \frac{2}{{x - 1}}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm (3; 3)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

TXĐ: D = R  \ {1}

\(y\prime  = 1 + \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,\forall x \in D\)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) và (1;+∞)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  + \infty \)

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( { - \frac{2}{{x - 1}}} \right) = 0\)

Vậy y = x là tiệm cận xiên

Bảng biến thiên 

Đồ thị giao Ox tại (−1;0), (2;0)

Đồ thị giao Oy tại (0;2)

Câu b:

Ta có: \(y' = 1 + \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm \(M({x_o};{y_o}) \in (C)\)

\((d):y - {x_o} + \frac{2}{{{x_o} - 1}} = \left[ {1 + \frac{2}{{{{({x_o} - 1)}^2}}}} \right](x - {x_o})(x \ne 1)\)

Vì (3; 3) thuộc đường thẳng d nên 

\(\begin{array}{l}
3 - {x_o} + \frac{2}{{{x_o} - 1}} = \frac{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}\left( {3 - {x_o}} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {3 - {x_o}} \right){\left( {{x_o} - 1} \right)^2} + 2\left( {{x_o} - 1} \right) = \left( {{x_o} - 2{x_o} + 3} \right)\left( {3 - {x_o}} \right)\\
 \Leftrightarrow {x_o} = 2;{y_o} = y\left( 2 \right) = 0\\
y'\left( 2 \right) = 3
\end{array}\)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x - 2) hay y = 3x - 6

---

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\)

b) Từ đồ thị (C) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{|x + 1|}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

D = R \ {-1}

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\
y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−2) và (0;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2;−1) và (1;0)

Hàm số đạt cực đại tại x = −2, y_CĐ = −4

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , yCT = 0

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y =  + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y =  - \infty 
\end{array}\)

Vậy x = -1 là tiệm cận đứng 

\(\mathop {lim}\limits_{x \to  \pm \infty } [y - (x - 1)] = \mathop {lim}\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {\frac{1}{{x + 1}}} \right) = 0\)

Vậy y = x - 1 là tiệm cận xiên

Bảng biến thiên 

Đồ thị

Đồ thị giao Ox, Oy tại O(0; 0)

x=−2=>y = −4

Câu b:

Ta có: 

\(y = \frac{{{x^2}}}{{|x + 1|}} = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{{x + 1}};x >  - 1\\
\frac{{ - {x^2}}}{{x + 1}};x <  - 1
\end{array} \right.\)

Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải tiệm cận đứng x = −1 và lấy đối xứng của phần (C) bên trái tiệm cận đứng qua trục hoành.

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 1  Bài 7 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của một số hàm phân thức hữu tỉ được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!