Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 1 Bài 4 Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ

Xác định đỉnh I của mỗi parabol (P) sau đây. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của parabol (P) đối với hệ tọa độ IXY

a) \(y = 2{x^2} - 3x + 1\) 

b) \(y = \frac{1}{2}{x^2} - x - 3\)

c) \(y = x - 4{x^2}\)

d) \(y = 2{x^2} - 5\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(y\prime  = 4x - 3;y\prime  = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4};y\left( {\frac{3}{4}} \right) =  - \frac{1}{8}\)

Đỉnh \(I\left( {\frac{3}{4}; - \frac{1}{8}} \right)\)

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo 

\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \begin{array}{l}
x = X + \frac{3}{4}\\
y = Y - \frac{1}{8}
\end{array} \right.\)

Phương trình của (P) đối với tọa độ IXY là:

\(Y - \frac{1}{8} = 2{\left( {X + \frac{3}{4}} \right)^2} - 3\left( {X + \frac{3}{4}} \right) + 1 \Leftrightarrow Y = 2{X^2}\)

Câu b:

\(y\prime  = x - 1;y\prime  = 0 \Leftrightarrow x = 1;y(1) =  - \frac{7}{2}\)

Đỉnh \(I\left( 1; - \frac{7}{2}} \right)\)

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo 

\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + X\\
y =  - \frac{7}{2} + Y
\end{array} \right.\)

Phương trình của (P) đối với tọa độ IXY là:

\(Y - \frac{7}{2} = \frac{1}{2}{(X + 1)^2} - (X + 1) - 3 \Leftrightarrow Y = \frac{1}{2}{X^2}\)

Câu c:

\(y\prime  = 1 - 8x;y\prime  = 0 \Leftrightarrow x = 18;y\left( {\frac{1}{8}} \right) = \frac{1}{{16}}\)

Đỉnh \(I\left( {\frac{1}{8};\frac{1}{{16}}} \right)\)

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo 

\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \begin{array}{l}
x = X + \frac{1}{8}\\
y = Y + \frac{1}{{16}}
\end{array} \right.\)

Phương trình của (P) đối với tọa độ IXY là:

\(Y + \frac{1}{{16}} = X + \frac{1}{8} - 4{\left( {X + \frac{1}{8}} \right)^2} \Leftrightarrow Y =  - 4{X^2}\)

Câu d:

y' = 4x, y' = 0 <=> x = 0; y(0) = -5

Đỉnh I(0;-5)

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo 

\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \begin{array}{l}
x = X\\
y = Y - 5
\end{array} \right.\)

Phương trình của (P) đối với tọa độ IXY là:

\(Y - 5 = 2{X^2} - 5 \Leftrightarrow Y = 2{X^2}\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\)
a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình f′′(x) = 0.
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép định tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng $I$ là tâm đối xứng của đường cong (C)
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm $I$ đối với hệ tọa độ Oxy. Chứng minh rằng trên khoảng \(( - \infty ;1)\) đường cong (C) nằm phía dưới tiếp tuyến tại I của (C) và trên khoảng \((1; + \infty )\) đường cong (C) nằm phía trên tiếp tuyến đó.

Hướng dẫn giải: 

Câu a:

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x;f''\left( x \right) = 6x - 6\\
f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1;f\left( 1 \right) =  - 1
\end{array}\)

Vậy I(1;-1)

Câu b: 

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo \(\overrightarrow {OI} \) là \(\left\{ \begin{array}{l}
x = X + 1\\
y = Y - 1

Phương trình đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY là:

\(\begin{array}{l}
y\prime  = 4x - 3;y\prime  = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4};y\left( {\frac{3}{4}} \right) =  - \frac{1}{8}\\
I\left( {\frac{3}{4}; - \frac{1}{8}} \right)\\
\overrightarrow {OI} :\left\{ \begin{array}{l}
x = X + 1\\
y = Y - 1
\end{array} \right.\\
Y - 1 = {(X + 1)^3} - 3{(X + 1)^2} + 1\\
 = {X^3} + 3{X^2} + 3X + 1 - 3{X^2} - 6X - 3 + 1 \Leftrightarrow Y = {X^3} - 3X
\end{array}\)

Vì đây là một hàm số lẻ nên đồ thị (C) của nó nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

Câu c:

Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm I đối với hệ trục tọa độ Oxy là:

\(y - {y_1} = f\prime ({x_1})(x - {x_1}) \Leftrightarrow y + 1 =  - 3(x - 1) \Leftrightarrow y =  - 3x + 2\)

Đặt g(x) = -3x + 2

\(f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1 - \left( { - 3x + 2} \right) = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x - 1} \right)^3}\)

Vì f(x) - g(x) < 0 với x < 1

Cho đường cong (C) có phương trình là \(y = 2 - \frac{1}{{x + 2}}\) và điểm I(−2;2) . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C).

Hướng dẫn giải:

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo \(\overrightarrow {OI} \) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = X - 2\\
y = Y + 2
\end{array} \right.\)

Phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY

\(Y + 2 = 2 - \frac{1}{{X - 2 + 2}} \Leftrightarrow Y = \frac{{ - 1}}{X}\)

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị (C) nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng

Xác định tâm đối xứng của đồ thị mỗi hàm số sau đây:

a) \(y = \frac{2}{{x - 1}} + 1\)

b) \(y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \(y = \frac{2}{{x - 1}} + 1 \Leftrightarrow y - 1 = \frac{2}{{x - 1}}\)

Đặt 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 = X\\
y - 1 = Y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = X + 1\\
y = Y + 1
\end{array} \right.\)

Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {OI} \) với I(1;1) 
Khi đó, \(Y = \frac{2}{X}\) là phương trình của (C) nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

Câu b:

Ta có: \(y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{3(x + 1) - 5}}{{x + 1}} = 3 - \frac{5}{{x + 1}} \Leftrightarrow y - 3 =  - 5x + 1\)

Đặt 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 1 = X\\
y - 3 = Y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = X - 1\\
y = Y + 3
\end{array} \right.\)

Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {OI} \) với I(-3; 3) 
Khi đó, \(Y = \frac{-5}{X}\) là phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY

\(Y = \frac{-5}{X}\) là hàm lẻ nên đồ thị (C) nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

Cho đường cong (C) có phương trình \(y = ax + b + \frac{c}{{x - x{o_o}}}\), trong đó a ≠ 0, c ≠ 0 và điểm \(I\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) thỏa mãn: \({y_o} = a{x_o} + b\) . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng II là tâm đối xứng của đường cong (C).

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

\(y = ax + b + \frac{c}{{x - {x_o}}} \Leftrightarrow y = a(x - {x_o}) + a{x_o} + b + \frac{c}{{x - {x_o}}}\)

\( \Leftrightarrow y - {y_o} = a(x - {x_o}) + \frac{c}{{x - {x_o}}}\)

Đặt: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - {x_o} = X\\
y - {y_o} = Y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = X + {x_o}\\
y = Y + {y_o}
\end{array} \right.\)

Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo  vectơ \(\overrightarrow {OI} \) với \(I\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) và Y=X+c/X là phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY.
Y=aX+c/X là hàm số lẻ nên đồ thị (C) nhận gốc tọa độ II làm tâm đối xứng.

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 1 Bài 4 Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!