Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 2 Bài 3 Lôgarit

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

a) Cơ số của lôgarit là một số thực bất kì;

b) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên;

c) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên dương;

d) Cơ số của lôgarit phải là số dương khác 1;

Hướng dẫn giải:

Cơ số của lôgarit phải là số dương khác 1. Chọn (D).

---

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) Có lôgarit của một số thực bất kì;

b) Chỉ có lôgarit của một số thực dương;

c) Chỉ có lôgarit của một số thực dương khác 1;

d) Chỉ có lôgarit của một số thực lớn hơn 1;

Hướng dẫn giải:

Khẳng định đúng: b)                 

Khẳng định sai: a), c), d).

---

Điền thêm vế còn lại của đẳng thức và bổ sung điều kiện để đẳng thức đúng.

a) \({\log _a}\left( {xy} \right) = ...;\)

b) \(... = lo{g_x}x - lo{g_a}y\)

c) \({\log _a}{x^\alpha } = ...\)

d) \({a^{lo{g_a}b}} = ...\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y;\) điều kiện a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0

Câu b:

\(lo{g_x}\frac{x}{y} = lo{g_x}x - lo{g_a}y\), điều kiện a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0

Câu c:

\({\log _a}{x^\alpha } = \alpha lo{g_a}x\) , điều kiện a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0

Câu d:

\({a^{lo{g_a}b}} = b\), điều kiện a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0

---

Trong mỗi mệnh đề sau, hãy tìm điều kiện của a để có mệnh đề đúng:

a) \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow 0 < x < y\)

b)  \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow x > y > 0\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

a > 1

Câu b:

0 < a < 1

---

Hãy tìm lôgarit của mỗi số sau theo cơ số 3:

\(3;81;1;\frac{1}{9};\sqrt[3]{3};\frac{1}{{3\sqrt 3 }}\)

Hướng dẫn giải:

Áp dụng \({\log _a}{a^b} = b{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \) với a > 0; a ≠ 1

\(\begin{array}{l}
{\log _3}3 = 1;{\log _3}81 = {\log _3}{3^4} = 4;{\log _3}1 = 0;{\log _3}\frac{1}{9} = {\log _3}{3^{ - 2}} =  - 2;\\
lo{g_3}\sqrt[3]{3} = lo{g_3}{3^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3};lo{g_3}\frac{1}{{\sqrt[3]{3}}} = lo{g_3}{3^{\frac{{ - 3}}{2}}} =  - \frac{3}{2}
\end{array}\)

---

Tính \(lo{g_{\frac{1}{5}}}125;lo{g_{0,5}}\frac{1}{2};lo{g_{\frac{1}{4}}}\frac{1}{{64}};lo{g_{\frac{1}{6}}}36\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}
lo{g_{\frac{1}{5}}}125 = lo{g_{\frac{1}{5}}}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ - 3}} =  - 3\\
lo{g_{0,5}}\frac{1}{2} = lo{g_{0,5}}0,5 = 1\\
lo{g_{\frac{1}{4}}}\frac{1}{{64}} = lo{g_{\frac{1}{4}}}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} = 3\\
lo{g_{\frac{1}{6}}}36 = lo{g_{\frac{1}{6}}}{\left( {\frac{1}{6}} \right)^{ - 2}} =  - 2
\end{array}\)

---

Tính \({3^{{{\log }_3}18}};{3^{5{{\log }_3}2}};{\left( {\frac{1}{8}} \right)^{{{\log }_2}5}};{\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}\)

Hướng dẫn giải:

Áp dụng \({a^{lo{g_a}b}} = b(a > 0,a \ne 1)\)

\(\begin{array}{l}
{3^{{{\log }_3}18}} = 18;{3^{5{{\log }_3}2}} = {3^{lo{g_3}{2^5}}} = {2^5} = 32;\\
{\left( {\frac{1}{8}} \right)^{{{\log }_2}5}} = {\left( {{2^{ - 3}}} \right)^{{{\log }_2}5}} = {2^{\left( { - 3} \right){{\log }_2}5}} = {2^{{{\log }_2}{5^{ - 3}}}} = {5^{ - 3}} = \frac{1}{{125}}\\
{\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}} = {\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5}} \right)^{{{\log }_{\frac{1}{2}}}2}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{{\log }_{\frac{1}{2}}}{2^5}}} = {2^5} = 32
\end{array}\)

---

Tìm x biết 

a) \({\log _5}x = 4\)

b) \(lo{g_2}(5 - x) = 3\)

c) \(lo{g_3}(x + 2) = 3\)

d) \(lo{g_{\frac{1}{{16}}}}(0,5 + x) =  - 1\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\({\log _5}x = 4 \Leftrightarrow x = {5^4} = 625.\)

Câu b:

\({\log _2}\left( {5 - x} \right) = 3 \Leftrightarrow 5 - x = {2^3} \Leftrightarrow x =  - 3\)

Câu c:

\({\log _3}\left( {x + 2} \right) = 3 \Leftrightarrow x + 2 = {3^3} \Leftrightarrow x = 25\)

Câu d:

\({\log _{\frac{1}{6}}}\left( {0,5 + x} \right) =  - 1 \Leftrightarrow 0,5 + x = {\left( {\frac{1}{6}} \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow x = 6 - 0,5 = 5,5\)

---

Biểu thị các lôgarit sau đây theo lôgarit thập phân (rồi cho kết quả bằng máy tính, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai): 

\({\log _7}25;{\log _5}8;{\log _9}0,75;{\log _{0,75}}1,13.\)

Hướng dẫn giải:

\({\log _7}25 = \frac{{\log 25}}{{\log 7}} \approx 1,65\)

\(\begin{array}{l}
lo{g_5}8 = \frac{{log8}}{{log5}} \approx 1,29\\
lo{g_9}0,75 = \frac{{log0,75}}{{log9}} \approx  - 0,13\\
lo{g_{0,75}}1,13 = \frac{{log1,13}}{{log0,75}} \approx  - 0,42
\end{array}\)

---

Hãy tính

a) \({\log _8}12{\rm{ }} - {\rm{ }}{\log _8}15{\rm{ }} + {\rm{ }}{\log _8}20\)

b) \(\frac{1}{2}{\log _7}36 - {\log _7}14 - 3{\log _7}\sqrt[3]{3}\)

c) \(\frac{{{{\log }_5}36 - {{\log }_5}12}}{{{{\log }_5}9}}\)

d) \({36^{{{\log }_6}5}} + {10^{1 - \log 2}} - {8^{{{\log }_2}3}}.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(lo{g_8}12 - lo{g_8}15 + lo{g_8}20 = lo{g_8}\frac{{12.20}}{{15}} = lo{g_8}16 = lo{g_{{2^3}}}{2^4} = \frac{4}{3}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{2}lo{g_7}36 - lo{g_7}14 - 3lo{g_7}\sqrt[3]{3} = lo{g_7}6 - lo{g_7}14 - lo{g_7}21\\
 = lo{g_7}\frac{6}{{14.21}} = lo{g_7}\frac{1}{{49}} = lo{g_7}{7^{ - 2}} =  - 2
\end{array}\)

Câu c:

\(\frac{{lo{g_5}36 - lo{g_5}12}}{{lo{g_5}9}} = \frac{{lo{g_5}\frac{{36}}{{12}}}}{{lo{g_5}{3^2}}} = \frac{{lo{g_5}3}}{{2lo{g_5}3}} = \frac{1}{2}\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
{36^{lo{g_6}5}} + {10^{1 - log2}} - {8^{lo{g_2}3}} = {6^{2lo{g_6}5}} + {10^{lo{g_{10}}\frac{{10}}{2}}} - {2^{lo{g_2}27}}\\
 = {6^{log{{65}^2}}} + {10^{lo{g_{10}}5}} - {2^{lo{g_2}27}} = 25 + 5 - 27 = 3
\end{array}\)

---

Hãy so sánh: 

a) \(lo{g_3}4\) và \(lo{g_4}\frac{1}{3}\)

b) \({3^{{{\log }_6}1,1}}\) và \({7^{{{\log }_6}0,99}\) 

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \({\log _3}4 > {\log _3}3 = 1\) và \(lo{g_4}\frac{1}{3} < {\log _4}1 = 0\)

Suy ra \(lo{g_3}4\) > \(lo{g_4}\frac{1}{3}\)

Câu b:

\({\log _6}1,1 > {\log _6}1 = 0\) nên \({3^{{{\log }_6}1,1}} > {3^0} = 1\) (vì 3 > 1)

và \({\log _6}0,99 < {\log _6}1 = 0\) nên \({7^{lo{g_6}0,99}} < {7^0} = 1\) (vì 7 > 1)

Suy ra \({3^{{{\log }_6}1,1}}\) > 1 > \({7^{{{\log }_6}0,99}\) 

---

Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh:

a) \(\log 2 + \log 3\) với \({\log _5}\)

b) \(\log 12 - \log 5\) với \({\log _7}\)

c) \(3\log 2 + \log 3\) với \(2{\log _5}\)

d) \(1 + 2\log 3\) với \({\log _27}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\log 2 + \log 3 = log6 > log5\) (vì 10 > 1)

Câu b:

\(\log 12 - \log 5 = \log \frac{{12}}{5} = \log 2,4\)

 \(\log 12 - \log 5\) < \({\log _7}\) (vì 10 > 1)

Câu c:

\(3\log 2 + \log 3 = \log \left( {{2^3}.3} \right) = \log 24 < \log 25 = 2\log 5\)

\(3\log 2 + \log 3 < 2\log 5\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
1 + 2\log 3 = \log 10 + \log {3^2} = \log \left( {10.9} \right) = \log 90 > \log 27\\
1 + 2\log 3 > \log 27
\end{array}\)

---

Trong mỗi trường hợp sau, hãy tính \({\log _a}x\) biết \({\log _a}b = 3,{\log _a}c =  - 2\)

a) \(x = {a^3}{b^2}\sqrt c \)

b) \(x = \frac{{{a^4}\sqrt[3]{b}}}{{{c^3}}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\({\log _a}x = {\log _a}\left( {{a^3}{b^2}\sqrt c } \right) = 3 + 2{\log _a}b + \frac{1}{2}{\log _a}c = 3 + 2.3 + \frac{1}{2}\left( { - 2} \right) = 8\)

Câu b:

\({\log _a}x = {\log _a}\left( {\frac{{{a^4}\sqrt[3]{b}}}{{{c^3}}}} \right) = 4 + \frac{1}{3}{\log _a}b - 3{\log _a}c = 4 + \frac{1}{3}.3 - 3\left( { - 2} \right) = 11\)

---

Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm x:

a) \({\log _3}x = 4{\log _3}a + 7{\log _3}b\)

b) \({\log _5}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\log _5}a{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\log _5}b\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\({\log _3}x = 4{\log _3}a + 7{\log _3}b = {\log _3}{a^4} + {\log _3}{b^7} = {\log _3}\left( {{a^4}{b^7}} \right) \Rightarrow x = {a^4}{b^7}\)

Câu b:

\(lo{g_5}x = 2lo{g_5}a - 3lo{g_5}b = lo{g_5}\frac{{{a^2}}}{{{b^3}}} \Rightarrow x = \frac{{{a^2}}}{{{b^3}}}.\)

---

Hãy biểu diễn các lôgarit sau qua α và β

a) \({\log _{\sqrt 3 }}50\) nếu \({\log _3}15 = \alpha ,{\log _3}10 = \beta \)

b) \(lo{g_4}1250 = \alpha \) nếu \({\log _2}5 = \alpha \)

Hướng dẫn giải:

Áp dụng: \({\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\) (a,b > 0, a ≠ 1)

Câu a:

\(\begin{array}{l}
{\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{\frac{1}{{{3^2}}}}}50 = 2lo{g_3}50 = 2lo{g_3}10 + 2lo{g_3}5\\
 = 2lo{g_3}10 + 2lo{g_3}\frac{{15}}{3} = 2lo{g_3}10 + 2(lo{g_3}15 - 1)\\
 = 2\beta  + 2(\alpha  - 1) = 2\alpha  + 2\beta  - 2
\end{array}\)

Câu b:

\(lo{g_4}1250 = \frac{1}{2}lo{g_2}({5^4}.2) = 2lo{g_2}5 + \frac{1}{2} = 2\alpha  + \frac{1}{2}\)

---

Đơn giản các biểu thức: 

a) \(\log \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\log 4 + 4\log \sqrt 2 \)

b) \(\log \frac{4}{9} + \frac{1}{2}\log 36 + \frac{3}{2}\log \frac{9}{2}\)

c) \(\log 72 - 2\log \frac{{27}}{{256}} + \log \sqrt {108} \)

d) \(\log \frac{1}{8} - \log 0,375 + 2\log \sqrt {0,5625} \)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\log \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\log 4 + 4\log \sqrt 2  =  - log8 + log2 + log4 =  - log8 + log8 = 0\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\log \frac{4}{9} + \frac{1}{2}\log 36 + \frac{3}{2}\log \frac{9}{2} = \log \left( {\frac{4}{9}.6.\sqrt {{{\left( {\frac{9}{2}} \right)}^3}} } \right) = \log \left( {\frac{4}{9}.6.\frac{{{3^3}}}{2}.\sqrt {\frac{1}{2}} } \right)\\
 = log\left( {\frac{4}{9}{{.3}^4}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = log\left( {18\sqrt 2 } \right)
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\log 72 - 2\log \frac{{27}}{{256}} + \log \sqrt {108}  = log({2^3}{.3^2}) - log\frac{{{3^6}}}{{{2^{16}}}} + log\sqrt {{2^2}{{.3}^3}} \\
 = \log \left( {{2^3}{{.3}^2}:\frac{{{3^6}}}{{{2^{16}}}}{{.2.3}^{\frac{3}{2}}}} \right) = \log \left( {{2^{20}}{{.3}^{ - \frac{5}{2}}}} \right) = 20\log 2 - \frac{5}{2}\log 3
\end{array}\)

Câu d:

\(\begin{array}{l}
\log \frac{1}{8} - \log 0,375 + 2\log \sqrt {0,5625}  = log{2^{ - 3}} - log(0,{5^3}.3) + log(0,{5^4}{.3^2})\\
 = log{2^{ - 3}} - log{2^{ - 3}} - log3 + 2log{2^{ - 2}} + 2log3 = log{2^{ - 4}} + log3 = log\frac{3}{{16}}
\end{array}\)

---

Tìm x biết 

a) \({\log _x}27 = 3\)

b) \(lo{g_x}\frac{1}{7} =  - 1\)

c) \(lo{g_x}\sqrt 5  =  - 4\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\({\log _x}27 = 3 \Leftrightarrow {x^3} = 27 = {3^3} \Leftrightarrow x = 3\)

Câu b:

\({\log _x}\frac{1}{7} =  - 1 \Leftrightarrow {x^{ - 1}} = \frac{1}{7} = {7^{ - 1}} \Leftrightarrow x = 7\)

Câu c:

\({\log _x}\sqrt 5  =  - 4 \Leftrightarrow {x^{ - 4}} = \sqrt 5  \Leftrightarrow x = {\left( {\sqrt 5 } \right)^{ - \frac{1}{4}}} = {5^{ - \frac{1}{8}}}\)

---

Số nguyên tố dạng Mp = 2p−1, trong đó p là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen (M.Mersenne, 1588-1648, người Pháp).

Ơ-le phát hiện M31 năm 1750.

Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp). Phát hiện M127 năm 1876.

M1398269 được phát hiện năm 1996.

Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số?

(Dễ thấy rằng chữ số của 2p−1$\mathrm{}$ bằng chữ số của 2p và để tính chữ số của M127 có thể lấy log2 ≈ 0,30 và để tính chữ số của M1398269 có thể lấy log2 ≈ 0,30103 (xem ví dụ 8)

Hướng dẫn giải:

\({M_{31}} = {2^{31}} - 1\) và số các chữ số của M31 khi viết trong hệ thập phân bằng số các chữ số của 231 nên số các chữ số của M31 là [31.log2]+1=[9,3]+1=10

Tương tự, số các chữ số của M127 = 2127 − 1 khi viết trong hệ thập phân là [127.log2]+1=[38,23]+1=39

Số các chữ số của M1398269 khi viết trong hệ thập phân là [1398269.log2]+1=420921

---

Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một quý với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi)

Hướng dẫn giải:

Số tiền cả vốn lẫn lãi người gửi sẽ có sau n quý là

\(S = 15{\left( {1 + 0,0165} \right)^n} = 15.1,{0165^n}\) (triệu đồng)

Từ đó: \(\log S = \log 15 + n\log 1,0165\) hay \(n = \frac{{logS - log15}}{{log1,0165}}\)

Để có được số tiền 20 triệu đồng thì phải sau một thời gian là

\(n = \frac{{log20 - log15}}{{log1,0165}} \approx 17,58\) (quý)

Vậy sau khoảng 4 năm 6 tháng (4 năm 2 quý), người gửi sẽ có ít nhất 20 triệu đồng từ số vốn 15 triệu đồng ban đầu (vì hết quý thứ hai, người gửi mới được nhận lãi của quý đó).

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 2 Bài 3 Lôgarit được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!