Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 2 Bài 8 Hệ phương trình mũ và logarit

Giải các hệ phương trình

a) $\{\begin{array}{l}x+y=20\\ lo{g}_{4}x+lo{g}_{4}y=1+lo{g}_{4}9\end{array}$ 

b) $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ 4^{-2x}+4^{-2y}=0,5\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Điều kiện: x > 0; y > 0

$\{\begin{array}{l}x+y=20\\ lo{g}_{4}x+lo{g}_{4}y=1+lo{g}_{4}9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+y=20\\ lo{g}_{4}xy=lo{g}_{4}36\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+y=20\\ xy=36\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=18\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{l}x=18\\ y=2\end{array}$

Vậy S = {(2; 18); (18; 2)}

Câu b:

Từ phương trình thứ nhất suy ra y = 1 – x, thay vào phương trình thứ hai ta được: 

$4^{-2x}+4^{-2\left(1-x\right)}=0,5\iff 4^{-2x}+4^{-2+2x}=\frac{1}{2}$

Đặt t = 4^x (t > 0) ta được:

$\begin{array}{l}\frac{1}{t}+\frac{t}{16}=\frac{1}{2}\iff 16+t^2=8t\iff (t-4{)}^2=0\iff t=4\\ \iff 4^{2x}=4\iff 2x=1\iff x=\frac{1}{2}\end{array}$

Với $x=\frac{1}{2}$ ta có: $y=1-x=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Vậy $S=\left\{\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\right\}$

---

Giải hệ phương trình:

$\begin{array}{l}a)\{\begin{array}{c}\{3^{-x}{.2}^y=1152\\ lo{g}_{\sqrt{5}}(x+y)=2\end{array}\\ b)\{\begin{array}{c}{x}^2-y^2=2\\ lo{g}_2(x+y)-lo{g}_3(x-y)=1\end{array}\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Điều kiện: x + y > 0.
Từ phương trình thứ hai suy ra: $x+y={\left(\sqrt{5}\right)}^2=5\Rightarrow y=5-x$ thay vào phương trình thứ nhất ta được:

$3^{-x}{.2}^{(5-x)}=1152\iff 6^{-x}.32=1152\iff 6^{-x}=36\iff x=-2$

Với x = −2 ta có y = 5 – (−2) = 7 
Vậy S = {(−2; 7)}

Câu b:

Điều kiện

$\{\begin{array}{l}x+y>0\\ x-y>0\end{array}$

Đặt ${\log }_2\left(x+y\right),{\log }_2\left(x-y\right)$

Ta được hệ 

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}u+v=1\\ u-v{\log }_{3}2=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}u=1\\ v=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}{\log }_2\left(x+y\right)=1\\ {\log }_2\left(x-y\right)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x+y=2\\ x-y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\end{array}$

Vậy $S=\left\{\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)\right\}$

---

Giải các phương trình

$\begin{array}{l}a)lo{g}_2(3-x)+lo{g}_2(1-x)=3\\ b)lo{g}_2(9-2^x)={10}^{log(3-x)}\\ c)7^{logx}-5^{logx+1}={3.5}^{\log x-1}-{13.7}^{\log x-1}\\ d)6^x+6^{x+1}=2^x+2^{x+1}+2^{x+2}\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Điều kiện: x > 1

$\begin{array}{l}lo{g}_2(3-x)+lo{g}_2(1-x)=3\iff lo{g}_2(3-x)(1-x)=3\\ \iff (3-x)(1-x)=8\iff x^2-4x-5=0\iff [\begin{array}{c}x=-1\\ x=5\left(L\right)\end{array}\end{array}$

Vậy S = {-1}

Câu b:

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}3-x>0\\ 9-2^x>0\end{array}\iff x<3$

$\begin{array}{l}lo{g}_2(9-2^x)={10}^{log(3-x)}\iff lo{g}_2(9-2^x)=3-x\iff 9-2^x=2^{3-x}\\ \iff 9-2^x=\frac{8}{2^x}\iff 4^x={9.2}^x-8=0\iff [\begin{array}{c}{2}^x=1\\ 2^x=8\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=3\left(L\right)\end{array}\end{array}$

Vậy S = {0}

Câu c:

Điều kiện: x > 0

$\begin{array}{l}\iff {20.7}^{lgx-1}={28.5}^{lgx-1}\\ \iff {\left(\frac{7}{8}\right)}^{lgx-1}=\frac{7}{8}\\ \iff lgx-1=1\iff lgx=2\iff x=100\end{array}$

Vậy S = {100}

Câu d:

Ta có: 

$\begin{array}{l}{6}^x+6^{x+1}=2^x+2^{x+1}+2^{x+2}\\ \iff 6^x(1+6)=2^x(1+2+2^2)\\ \iff 3^x=1\iff x=0\end{array}$

Vậy S = {0}

---

Giải các phương trình

\(\begin{array}{l}

a){\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\log _3}\left( {{3^x} - 1} \right).{\log _3}\left( {{3^{x + 1}} - 3} \right) = 12\
b)lo{g_{x - 1}}4 = 1 + lo{g_2}(x - 1)\
c){\mkern 1mu} {\kern 1pt} 5\sqrt {{{\log }_2}\left( { - x} \right)}  = {\log _2}\sqrt {{x^2}} \
d){3^{lo{g_4} + \frac{1}{2}}} + {3^{lo{g_4} - \frac{1}{2}}} = \sqrt x 
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Điều kiện: x > 0

Ta có: $lo{g}_3\left(3^x-1\right).lo{g}_3\left(3^{x+1}-3\right)=12$

$\begin{array}{l}\iff lo{g}_3\left(3^x-1\right).lo{g}_{3}3\left(3^x-1\right)=12\\ \iff lo{g}_3\left(3^x-1\right)\left[1+lo{g}_3\left(3^x-1\right)\right]=12\\ \iff {\log }_3^2\left(3^x-1\right)+lo{g}_3\left(3^x-1\right)-12=0\\ \iff [\begin{array}{c}lo{g}_3(3^x-1)=-4\\ lo{g}_3(3^x-1)=3\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=lo{g}_3\frac{82}{81}\\ x=lo{g}_{3}28\end{array}\end{array}$

Vậy $S=\left\{lo{g}_{3}28;lo{g}_{3}82-4\right\}$

Câu b:

Điều kiện: x > 1; x≠2

Ta có: ${\log }_{x-1}4=\frac{1}{{\log }_4\left(x-1\right)}=\frac{2}{{\log }_2\left(x-1\right)}$

Đặt $t=lo{g}_2(x-1)$

Ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{2}{t}=1+t\iff t^2+t-2=0\\ \iff [\begin{array}{c}t=1\\ t=-2\end{array}\iff [\begin{array}{c}lo{g}_2(x-1)=1\\ lo{g}_2(x-1)=-2\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=3\\ x=\frac{5}{4}\end{array}\end{array}$

Vậy $S=\left\{3;\frac{5}{4}\right\}$

Câu c:

Điều kiện: $lo{g}_2(-x)\ge 0\iff -x\ge 1\iff x\le -1$

$\begin{array}{l}5\sqrt{{\log }_2\left(-x\right)}={\log }_2\sqrt{x^2}\iff 5\sqrt{{\log }_2\left(-x\right)}={\log }_2\left(-x\right)\\ \iff 5\sqrt{t}=t,\left(t={\log }_2\left(-x\right)\ge 0\right)\\ \iff 25t=t^2\iff [\begin{array}{c}t=0\\ t=25\end{array}\iff [\begin{array}{c}lo{g}_2(-x)=0\\ lo{g}_2(-x)=25\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=-1\\ x=-2^{25}\end{array}\end{array}$

Vậy $S=\{-1;-2^{25}\}$

Câu d:

Điều kiện: x > 0

Ta có: $\sqrt{x}=\sqrt{4^{lo{g}_{4}x}}=2^{lo{g}_{4}x}$

Do đó: 

$\begin{array}{l}{3}^{\frac{1}{2}+{\log }_{4}x}+3^{{\log }_{4}x-\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\iff \left(\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)3^{{\log }_{4}x}=2^{{\log }_{4}x}\\ \iff \frac{4}{\sqrt{3}}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{lo{g}_{4}x}\iff lo{g}_{4}x=lo{g}_{\frac{2}{3}}\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \iff x=4^{lo{g}_{\frac{2}{3}}\frac{4}{\sqrt{3}}}\end{array}$

Vậy $S=\left\{4^{lo{g}_{\frac{2}{3}}\frac{4}{\sqrt{3}}}\right\}$

---

Giải phương trình:

$\begin{array}{l}a)4^{\frac{-1}{x}}+6^{\frac{-1}{x}}=9^{\frac{-1}{x}}\\ b)4^{lnx+1}-6l{n}^x-{2.3}^{ln{x}^2+2}=0\\ c)3\sqrt{lo{g}_{2}x}-lo{g}_{2}8x+1=0\\ d)lo{g}_{\frac{1}{2}}^2(4x)+lo{g}_2\frac{x^2}{8}=8\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Điều kiện: x ≠ 0

Chia hai vế phương trình cho $4^{\frac{-1}{x}}$  ta được $1+{\left(\frac{3}{2}\right)}^{{}^{\frac{-1}{x}}}={\left(\frac{9}{4}\right)}^{{}^{\frac{-1}{x}}}$

Đặt $t={\left(\frac{3}{2}\right)}^{{}^{\frac{-1}{x}}},\left(t>0\right)$ ta có phương trình:

$t^2-t-1=0\iff [\begin{array}{l}t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ t=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\left(L\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^{-\frac{1}{x}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\iff -\frac{1}{x}={\log }_{\frac{2}{3}}\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ \iff \frac{1}{x}={\log }_{\frac{2}{3}}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{-1}={\log }_{\frac{2}{3}}\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ \iff x={\log }_{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\frac{3}{2}\end{array}$

Vậy $S=\left\{{\log }_{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\frac{3}{2}\right\}$

Câu b:

Điều kiện: x > 0

\(\begin{array}{l}
{4^{lnx + 1}} - 6l{n^x} - {2.3^{ln{x^2} + 2}} = 0 \Leftrightarrow {4.4^{lnx}} - {6^{lnx}} - {18.9^{lnx}} = 0\

\end{array}\)

Chia hai vế của phương trình cho 4^lnx , ta được:

$4-{\left(\frac{3}{2}\right)}^{lnx}-18{\left(\frac{9}{4}\right)}^{lnx}=0$

Đặt $t={\left(\frac{3}{2}\right)}^{lnx},\left(t>0\right)$

$\begin{array}{l}18t^2+t-4=0\iff [\begin{array}{c}t=49\\ t=-\frac{1}{2}\left(L\right)\end{array}\\ t=\frac{4}{9}\iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^{lnx}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{-2}\iff lnx=-2\iff x=e^{-2}\end{array}$

Vậy $S=\left\{e^{-2}\right\}$

Câu c:

Điều kiện: $lo{g}_{2}x\ge 0\iff x\ge 1$

Đặt $t=\sqrt{{\log }_{2}x}\left(t\ge 0\right)\Rightarrow {\log }_{2}x=t^2$

$\begin{array}{l}3\sqrt{{\log }_{2}x}-{\log }_{2}8x+1=0\\ \iff 3\sqrt{{\log }_{2}x}-3-{\log }_{2}x+1=0\end{array}$

Ta có phương trình: $3t-2-t^2=0$

$\begin{array}{l}\iff t^2-3t+2=0\\ \iff [\begin{array}{c}t=1\\ t=2\end{array}\iff [\begin{array}{c}\sqrt{{\log }_{2}x}=1\\ \sqrt{{\log }_{2}x}=2\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}{\log }_{2}x=1\\ {\log }_{2}x=4\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=2\\ x=16\end{array}\end{array}$

Vậy S = {2; 16}

Câu d:

Điều kiện: x > 0. Với điều kiện ta có:     

$\begin{array}{l}lo{g}_{\frac{1}{2}}^2(4x)=(lo{g}_{\frac{1}{2}}4+lo{g}_{\frac{1}{2}}x)2=(-2-lo{g}_{2}x{)}^2=(2+lo{g}_{2}x{)}^2\\ lo{g}_2\frac{x^2}{8}=lo{g}_2{x}^2-lo{g}_{2}8=2lo{g}_{2}x-3\end{array}$ 

Ta có phương trình $(lo{g}_{2}x+2{)}^2+2lo{g}_{2}x-3=8$

Đặt $t=lo{g}_{2}x$ ta được ${\left(t+2\right)}^2+2t-11=0$

$\begin{array}{l}{t}^2+6t-7=0\iff [\begin{array}{c}t=1\\ t=-7\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}lo{g}_{2}x=1\\ lo{g}_{2}x=-7\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=2\\ x=2^{-7}\end{array}\end{array}$

Vậy $S=\{2;2^{-7}\}$

---

Giải phương trình:

$\begin{array}{l}a)2^{{\sin }^{2}x}+{4.2}^{{\cos }^{2}x}=6\\ b)4^{3+2\cos 2x}-{7.4}^{1+\cos 2x}=4^{\frac{1}{2}}\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

$\begin{array}{l}{2}^{{\sin }^{2}x}+{4.2}^{{\cos }^{2}x}=6\\ \iff 2^{1-{\cos }^{2}x}+{4.2}^{{\cos }^{2}x}=6\end{array}$

Đặt $t=2^{co{s}^{2}x}(1\le t\le 2)$

Ta có: 

$\begin{array}{l}\frac{2}{t}+4t=6\iff 4t^2-6t+2=0\iff [\begin{array}{c}t=1\\ t=\frac{1}{2}\left(L\right)\end{array}\\ \iff 2^{co{s}^{2}x}=1\iff \cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\end{array}$

Câu b:

Đặt $t=4^{t+\cos 2x}\left(t>0\right)$

Ta có: ${4.4}^{2(1+cos2x)}-{7.4}^{1+cos2x}=2$

$\begin{array}{l}\iff 2^{2+2cos2x}=2\iff 2+2cos2x=1\\ \iff cos2x=-\frac{1}{2}=cos\frac{2\pi }{3}\\ \iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+k\pi ,k\in Z\end{array}$

---

Giải phương trình:

$\begin{array}{l}a){\left(\frac{1}{3}\right)}^x=x+4\\ b){\left(sin\frac{\pi }{5}\right)}^x+{\left(cos\frac{\pi }{5}\right)}^x=1\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Rõ ràng x = −1 là nghiệm của phương trình

Với x < −1 ta có ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-x}>3>x+4$ phương trình không có nghiệm x < −1

Với x > −1 ta có ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3<x+4$ phương trình không có nghiệm x > −1

Vậy S = {-1}

Câu b:

Rõ ràng x = 2 là nghiệm của phương trình

Do $0<\sin \frac{\pi }{5}<1;0<co\mathrm{s}\frac{\pi }{5}<1$ nên 

Nếu x > 2 thì $\begin{array}{l}{\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)}^x<{\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)}^{2}v\text{`}a{\left(co\mathrm{s}\frac{\pi }{5}\right)}^x<{\left(co\mathrm{s}\frac{\pi }{5}\right)}^2\\ \Rightarrow {\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)}^x+{\left(co\mathrm{s}\frac{\pi }{5}\right)}^2<1\end{array}$

Nếu x > 2 thì $\begin{array}{l}{\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)}^x>{\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)}^{2}v\text{`}a{\left(co\mathrm{s}\frac{\pi }{5}\right)}^x>{\left(co\mathrm{s}\frac{\pi }{5}\right)}^2\\ \Rightarrow {\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)}^x+{\left(co\mathrm{s}\frac{\pi }{5}\right)}^2>1\end{array}$

Vậy S = {2}

---

Giải hệ phương trình:

$\begin{array}{l}a)\{\begin{array}{c}{3.2}^x+{2.3}^y=2,75\\ 2^x-3^y=-0,75\end{array}\\ b)\{\begin{array}{c}lo{g}_{5}x+lo{g}_{5}7.lo{g}_{7}y=1+lo{g}_{5}2\\ 3+lo{g}_{2}y=lo{g}_{2}5(1+3lo{g}_{5}x)\end{array}\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

 Đặt u = 2^x, v = 3^y (u > 0,v > 0)

Ta có hệ phương trình: 

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}3u+2v=2,75\\ u-v=-0,75\end{array}\iff \{\begin{array}{c}u=\frac{1}{4}\\ v=1\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}{2}^x=\frac{1}{4}\\ 3^y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=-2\\ y=0\end{array}\end{array}$

Vậy S = {(-2; 0)}

Câu b:

Điều kiện: x > 0 và y > 0. Khi đó ${\log }_{5}y={\log }_{5}7.{\log }_{7}y;lo{g}_{2}5.log5x=lo{g}_{2}x$ nên ta có thể biến đổi tương đương hệ đã cho thành:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}lo{g}_{5}x+lo{g}_{5}y=1+lo{g}_{5}2\\ 3+lo{g}_{2}y=lo{g}_{2}5+3lo{g}_{2}x\end{array}\iff \{\begin{array}{c}lo{g}_{5}xy=lo{g}_{5}10\\ lo{g}_{2}8y=lo{g}_{2}5x^3\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}xy=10\left(1\right)\\ 8y=5x^3\left(2\right)\end{array}\end{array}$

Thay $y=\frac{5x^3}{8}$ vào (1) được: $\frac{5x^4}{8}=10\iff x^4=16\iff x=2\left(v\text{`}ix>0\right)$

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 2 Bài 8 Hệ phương trình mũ và logarit được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!