Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 4 Luyện tập trang 207

Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính sin4φ và cos4φ theo các lũy thừa của sinφ và cosφ

Hướng dẫn giải:

Ta có: cos4φ + isin4φ = (cosφ + isinφ)4

\(\begin{array}{l}
 = co{s^4}\varphi  + 4(co{s^3}\varphi )(isin\varphi ) + 6(co{s^2}\varphi )({i^2})si{n^2}\varphi  + 4(cos\varphi )({i^3}si{n^3}\varphi ) + {i^4}si{n^4}\varphi \\
 = co{s^4}\varphi  - 6co{s^2}\varphi si{n^2}\varphi  + si{n^4}\varphi  + (4co{s^3}\varphi sin\varphi  - 4cos\varphi si{n^3}\varphi )i.
\end{array}\)

Từ đó: 

\(\begin{array}{l}
cos4\varphi  = co{s^4}\varphi  - 6co{s^2}\varphi si{n^2}\varphi  + si{n^4}\varphi \\
sin4\varphi  = 4co{s^3}\varphi sin\varphi  - 4cos\varphi si{n^3}\varphi 
\end{array}\)

Tính \({(\sqrt 3  - i)^6};{\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right)^{2004}};{\left( {\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 - 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}
{(\sqrt 3  - i)^6} = {\left[ {2cos\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + isin\left( { - \frac{\pi }{6}} \right)} \right]^6}\\
 = {2^6}[cos( - \pi ) + isin( - \pi )] =  - {2^6}
\end{array}\)

\(\frac{i}{{1 + i}} = \frac{{1 + i}}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {cos\frac{\pi }{4} + isin\frac{\pi }{4}} \right)\) nên 

\(\begin{array}{l}
{\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right)^{2004}} = \frac{1}{{{2^{1002}}}}\left( {cos\frac{{2004\pi }}{4} + isin\frac{{2004\pi }}{4}} \right)\\
 = \frac{1}{{{2^{1002}}}}(cos\pi  + isin\pi ) =  - \frac{1}{{{2^{1002}}}}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 - 2i\sqrt 3 }} = \frac{{\left( {5 + 3i\sqrt 3 } \right)\left( {1 + 2i\sqrt 3 } \right)}}{{1 + 12}} = \frac{{ - 13 + 13i\sqrt 3 }}{{13}} =  - 1 + i\sqrt 3 \\
 = 2\left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right)
\end{array}\)

Do đó: \({\left( {\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 - 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}} = {2^{21}}(cos14\pi  + isin14\pi ) = {2^{21}}\)

Cho số phức \(w =  - \frac{1}{2}\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\). Tìm các số nguyên dương n để wn là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để wm là số ảo?

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(w =  - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = cos\frac{{4\pi }}{3} + isin\frac{{4\pi }}{3}\)

Suy ra \({w^n} = cos\frac{{4\pi n}}{3} + isin\frac{{4\pi n}}{3}\)

wn là số thực \( \Leftrightarrow sin\frac{{4n\pi }}{3} = 0 \Leftrightarrow \frac{{4n\pi }}{3} = k\pi (k \in Z)\)

<=> 4n = 3k <=> n chia hết cho 3 (n nguyên dương)

wm (m nguyên dương) là số ảo \( \Leftrightarrow cos\frac{{4n\pi }}{3} = 0 \Leftrightarrow \frac{{4n\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in Z)\)

<=> 8m = 6k + 3 (vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ).

Vậy không có số nguyên dương m để  wm là số ảo.

Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:

a) |z| = 3 và một acgumen của iz là \(\frac{{5\pi }}{4}\)

b) \(|z| = \frac{1}{3}\) và một acgumen của \(\frac{{\overline z }}{{1 + i}}\) là \(\frac{{ - 3\pi }}{4}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(i = cos\frac{\pi }{2} + isin\frac{\pi }{2}\) nên acgumen của i là \(\frac{\pi }{2}\)  Một acgumen của \(z = \frac{{iz}}{i}\) là \(\frac{{5\pi }}{4} - \frac{\pi }{2} = \frac{{3\pi }}{4}\)
 Vậy \(z = 3\left( {cos\frac{{3\pi }}{4} + isin\frac{{3\pi }}{4}} \right)\) từ đó dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là \(\sqrt 3 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{8} + i\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right)\) và \( - \sqrt 3 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{8} + i\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right) = \sqrt 3 \left( {\cos \frac{{11\pi }}{8} + i\sin \frac{{11\pi }}{8}} \right)\)

Câu b:

Gọi φ là acgumen của z là -φ  là một acgumen của \(\overline z \)

\(1 + i = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 \left( {cos\frac{\pi }{4} + isin\frac{\pi }{4}} \right)\) có một acgumen là π/4 nên một acgumen của \(\frac{{\overline z }}{{1 + i}}\) là \( - \varphi  - \frac{\pi }{4}\). Theo đề bài ta có: 
\( - \varphi  - \frac{\pi }{4} =  - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi (k \in Z) \Rightarrow \varphi  = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in Z)\) 

Vậy \(z = \frac{1}{3}\left( {\cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}} \right)\) 

Dạng lượng giác của căn bậc hai của z là \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)\) và \( - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{{5\pi }}{4} + i\sin \frac{{5\pi }}{4}} \right)\)

Viết dạng lượng giác của các số phức sau:

\(\begin{array}{l}
a)1 - i\tan \frac{\pi }{5}\\
b)tan\frac{{5\pi }}{8} + i\\
c)1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi \left( {\varphi  \in R,\varphi  \ne k2\pi ,k \in Z} \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(1 - i\tan \frac{\pi }{5} = 1 - i\frac{{\sin \frac{\pi }{5}}}{{\cos \frac{\pi }{5}}} = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{5}}}\left( {\cos \frac{\pi }{5} - isin\frac{\pi }{5}} \right) = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{5}}}\left[ {cos\left( {\cos \frac{\pi }{5}} \right)} \right]\)

Câu b:

\(tan\frac{{5\pi }}{8} + i = \frac{{ - 1}}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}}\left( { - \sin \frac{{5\pi }}{8} - i\cos \frac{{5\pi }}{8}} \right)\), (\({\frac{{5\pi }}{8} < 0}\))

\( = \frac{1}{{\cos \frac{{3\pi }}{8}}}\left( { - co{\mathop{\rm s}\nolimits} \frac{\pi }{8} + isin\frac{\pi }{8}} \right) = \frac{1}{{\cos \frac{{3\pi }}{8}}}\left( {co{\mathop{\rm s}\nolimits} \frac{{7\pi }}{8} + isin\frac{{7\pi }}{8}} \right)\)

Câu c:

\(1 - cos\varphi  - isin\varphi  = 2si{n^2}\frac{\varphi }{2} - 2isin\frac{\varphi }{2}cos\frac{\varphi }{2} = 2sin\frac{\varphi }{2}\left[ {sin\frac{\varphi }{2} - icos\frac{\varphi }{2}} \right]\)

Khi \(sin\frac{\varphi }{2} > 0\) thì \({\kern 1pt} 1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi  = \left( {2\sin \frac{\varphi }{2}} \right)\left[ {\cos \left( {\frac{\varphi }{2} - \frac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{\varphi }{2} - \frac{\pi }{2}} \right)} \right]\) là dạng lượng giác cần tìm

Khi \(sin\frac{\varphi }{2} < 0\) thì \({\kern 1pt} 1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi  = \left( { - 2\sin \frac{\varphi }{2}} \right)\left[ {\cos \left( {\frac{\varphi }{2} + \frac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{\varphi }{2} + \frac{\pi }{2}} \right)} \right]\) là dạng lượng giác cần tìm

Khi \(sin\frac{\varphi }{2} = 0\) thì \({\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi  = 0 = 0\left( {\cos \alpha  + i\sin \alpha } \right){\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} (\alpha  \in R\) tùy ý )

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 4 Luyện tập trang 207 được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!