Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 4 Luyện tập trang 207

Bài 32 trang 207 SGK Toán 12 nâng cao

Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính φ và φ theo các lũy thừa của  và 

Hướng dẫn giải:

Ta có: cos4φ + isin4φ = (cosφ + isinφ)4

=cos4φ+4(cos3φ)(isinφ)+6(cos2φ)(i2)sin2φ+4(cosφ)(i3sin3φ)+i4sin4φ=cos4φ6cos2φsin2φ+sin4φ+(4cos3φsinφ4cosφsin3φ)i.

Từ đó: 

cos4φ=cos4φ6cos2φsin2φ+sin4φsin4φ=4cos3φsinφ4cosφsin3φ


Bài 33 trang 207 SGK Toán 12 nâng cao

Tính (3i)6;(i1+i)2004;(5+3i312i3)21

Hướng dẫn giải:

(3i)6=[2cos(π6)+isin(π6)]6=26[cos(π)+isin(π)]=26

i1+i=1+i2=12(cosπ4+isinπ4) nên 

(i1+i)2004=121002(cos2004π4+isin2004π4)=121002(cosπ+isinπ)=121002

5+3i312i3=(5+3i3)(1+2i3)1+12=13+13i313=1+i3=2(12+32i)=2(cos2π3+isin2π3)

Do đó: (5+3i312i3)21=221(cos14π+isin14π)=221


Bài 34 trang 207 SGK Toán 12 nâng cao

Cho số phức w=12(1+i3). Tìm các số nguyên dương n để wn là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để wm là số ảo?

Hướng dẫn giải:

Ta có: w=1232i=cos4π3+isin4π3

Suy ra wn=cos4πn3+isin4πn3

wn là số thực sin4nπ3=04nπ3=kπ(kZ)

<=> 4n = 3k <=> n chia hết cho 3 (n nguyên dương)

wm (m nguyên dương) là số ảo cos4nπ3=04nπ3=π2+kπ(kZ)

<=> 8m = 6k + 3 (vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ).

Vậy không có số nguyên dương m để  wm là số ảo.


Bài 35 trang 207 SGK Toán 12 nâng cao

Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:

a) |z| = 3 và một acgumen của iz là 5π4

b) |z|=13 và một acgumen của z1+i là 3π4

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có i=cosπ2+isinπ2 nên acgumen của i là π2  Một acgumen của z=izi là 5π4π2=3π4
 Vậy z=3(cos3π4+isin3π4) từ đó dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là 3(cos3π8+isin3π8) và 3(cos3π8+isin3π8)=3(cos11π8+isin11π8)

Câu b:

Gọi φ là acgumen của z là -φ  là một acgumen của z

1+i=2(12+12i)=2(cosπ4+isinπ4) có một acgumen là π/4 nên một acgumen của z1+i là φπ4. Theo đề bài ta có: 
φπ4=3π4+k2π(kZ)φ=π2+k2π(kZ) 

Vậy z=13(cosπ2+isinπ2) 

Dạng lượng giác của căn bậc hai của z là 13(cosπ4+isinπ4) và 13(cosπ4+isinπ4)=13(cos5π4+isin5π4)


Bài 36 trang 207 SGK Toán 12 nâng cao

Viết dạng lượng giác của các số phức sau:

a)1itanπ5b)tan5π8+ic)1cosφisinφ(φR,φk2π,kZ)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

1itanπ5=1isinπ5cosπ5=1cosπ5(cosπ5isinπ5)=1cosπ5[cos(cosπ5)]

Câu b:

tan5π8+i=1cos5π8(sin5π8icos5π8), (5π8<0)

=1cos3π8(cosπ8+isinπ8)=1cos3π8(cos7π8+isin7π8)

Câu c:

1cosφisinφ=2sin2φ22isinφ2cosφ2=2sinφ2[sinφ2icosφ2]

Khi sinφ2>0 thì 1cosφisinφ=(2sinφ2)[cos(φ2π2)+isin(φ2π2)] là dạng lượng giác cần tìm

Khi sinφ2<0 thì 1cosφisinφ=(2sinφ2)[cos(φ2+π2)+isin(φ2+π2)] là dạng lượng giác cần tìm

Khi sinφ2=0 thì 1cosφisinφ=0=0(cosα+isinα)(αR tùy ý )

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 4 Luyện tập trang 207 được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!

 

 

Tham khảo thêm

Bình luận

Thảo luận về Bài viết

Có Thể Bạn Quan Tâm ?