Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 4 Bài 3 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

Bài 27 trang 205 SGK Toán 12 nâng cao

Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: z¯;z;1z¯;kz(kR) trong mỗi trường hợp sau:

a)z=r(cosφ+isinφ)(r>0)b)z=1+3i

Hướng dẫn giải:

Câu a:

z=r(cosφisinφ)=r(cos(φ)+isin(φ))z=r(cosφ+isinφ)=r(cos(π+φ)+isin(π+φ))1z=zz.z=1r(cosφ+isinφ)k.z=kr(cosφ+isinφ),k>0kz=kr(cos(π+φ)+isin(π+φ)),k<0

Câu b:

z=1+3i=2(12+32i)=2(cosπ3+isinπ3)

Áp dụng câu a, ta có: 

z=2(cos(π3)+isin(π3))

z=2(cos4π3+isin4π3);1z=12(cosπ3+isinπ3)kz=2k(cosπ3+isinπ3),k>0kz=2k(cos4π3+isin4π3),k<0


Bài 28 trang 205 SGK Toán 12 nâng cao

a)1i3;1+i;(1i3)(1+i);1i31+ib)2i(3i)c)12+2id)z=sinφ+icosφ(φR)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

1i3=2(1232i)=2(cos(π3)+isin(π3))1+i=2(12+12i)=2(cos(π4)+isin(π4)+isin(π4))(1i3)(1+i)=22(1232i)(12+12i)=22(cos(π3)+isin(π3))(cosπ4+isinπ4)=22[cos(π4π3)+isin(π4π3)]=22[cos(π12)+isin(π12)]1i31+i=2[cos(π3π4)+isin(π3π4)]=2[cos(7π12)+isin(7π12)]

Câu b:

2i=2(cosπ2+isinπ2)3i=2(3212i)=2[cos(π6)+isin(π6)]2i(3i)=4[cos(π2π6)+isin(π2π6)]=4[cos(π3)+isin(π3)]

Câu c:

2+2i=22(12+12i)=22[cosπ4+isinπ4]12+2i=122[cos(π4)+isin(π4)]

Câu d:

z=sinφ+icosφ=cos(π2φ)+isin(π2φ)(φR)


Bài 29 trang 206 SGK Toán 12 nâng cao

Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn (1 + i)19 và công thức Moa-vrơ để tính C190C192+C194...+C1916C1918

Hướng dẫn giải:

Theo nhị thức Niu-tơn ta có: 

(1+i)19=(C190+C192i2+C194+...+C1916i2+C1918i2)+(C191i+C193i3+...+C1919)

Phần thực ở VP là: C190C192+C194...+C1916C1918

Mặt khác: 

(1+i)19=[2(cosπ4+isinπ4)]19=(2)19(cos19π4+isin19π4)=(2)19(22+i22)=29+29iC190C192+C194...+C1916C1918=29=512


Bài 30 trang 206 SGK Toán 12 nâng cao

Gọi M, M’ là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số z=3+i;z=(33)+(1+33)i.

a) Tính zz

b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z’ với acgumen của z là một số đo của góc lượng giác (OM, OM′). Tính số đo đó.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

zz=[33+(1+33)i](3i)10=1+3i

Câu b:

Xét tia Ox thì ta có: sđ(OM,OM′) = sđ(Ox,OM′) − sđ(Ox,OM)

=φφ=acgumenzz (sai khác k2π)

(trong đó φ và φ′ theo thứ tự là acgumen của z và z’).

Từ đó do zz=1+3i có acgumen là π3+k2π(kZ) nên góc lượng giác (OM,OM′)(OM,OM′) có số đo π3+k2π(kZ)


Bài 31 trang 206 SGK Toán 12 nâng cao

Cho các số phức w=22(1+i) và ε=12(1+i3)

a) Chứng minh rằng zo=cosπ12+isinπ12,z1=zoε,z2=zoε2 là các nghiệm của phương trình z3 - w = 0

b) Biểu diễn hình học các số phức zo; z1; z2

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: \( = cos\frac{\pi }{4} + isin\frac{\pi }{4}\)

ε=cos2π3+isin2π3zo3=(cosπ12+isinπ12)3=cosπ4+isinπ4=wz13=(zoε)3=zo3.ε3=w(vìε3=1)z23=(zoε2)3=zo3.ε6=zo3=w

Câu b:

 Biểu diễn: Các điểm A, B, C lần lượt biểu diễn z0, z1, z2

Nhận xét: A,B,C tạo thành một tam giác đều.

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 4 Bài 3 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!

 

 

Tham khảo thêm

Bình luận

Thảo luận về Bài viết

Có Thể Bạn Quan Tâm ?