Bài 1 trang 75 SGK Toán 12 nâng cao
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Với số thực a và các số nguyên m, n, ta có: \({a^m}.{a^n} = {a^{m.n}};\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\)
b) Với hai số thực a, b cùng khác 0 và số nguyên n, ta có:
\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}.{b^n};{\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\)
c) Với hai số thực a, b thỏa mãn 0 < a < b và số nguyên n, ta có an < bn
d) Với số thực a khác 0 và hai số nguyên m, n, ta có: Nếu m > n thì am > an
Hướng dẫn giải:
a) Sai.
b) Đúng.
c) Sai. Ví dụ a0 = b0
d) Sai (ví dụ 3 > 2 nhưng \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\)
Bài 2 trang 75 SGK Toán 12 nâng cao
Xét khẳng định: “Với số thực a và hai số hữu tỉ r, s, ta có \({\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{rs}}\)
Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên đúng?
(A) a bất kì (B) a ≠ 0
(C) a > 0 (D) a < 1.
Hướng dẫn giải:
Trả lời: (C) đúng
Bài 3 trang 76 SGK Toán 12 nâng cao
Viết các số sau dưới dạng số nguyên hay phân số tối giản:
\({7^{ - 1}}.14;\frac{4}{{{3^{ - 2}}}};{\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ - 2}};\frac{{{{\left( { - 18} \right)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}}\)
Hướng dẫn giải:
\(\begin{array}{l}
{7^{ - 1}}.14 = \frac{{14}}{7} = 2\\
\frac{4}{{{3^{ - 2}}}} = {4.3^2} = 36\\
{\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ - 2}} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{{25}}{{16}}\\
\frac{{{{\left( { - 18} \right)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}} = \frac{{{{18}^2}.5}}{{{5^2}{{.3}^3}}} = \frac{{{2^2}{{.5.3}^4}}}{{{5^2}{{.3}^3}}} = \frac{{{2^3}.3}}{5} = \frac{{12}}{5}
\end{array}\)
Bài 4 trang 76 SGK Toán 12 nâng cao
Thực hiện phép tính:
a) \({81^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{\frac{{ - 3}}{5}}};\)
b) \(0,{001^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( { - 2} \right)^{ - 2}}{.64^{\frac{2}{3}}} - {8^{ - 1\frac{1}{3}}} + {\left( {{9^0}} \right)^2}\)
c) \({27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} - {25^{0,5}}\)
d) \({( - 0,5)^{ - 4}} - {625^{0,25}} - {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ - 1\frac{1}{2}}} + 19.{\left( { - 3} \right)^{ - 3}}\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
\(\begin{array}{l}
{81^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{\frac{{ - 3}}{5}}} = {({3^4})^{\frac{{ - 3}}{4}}} + {\left( {{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^3}} \right)^{ - \frac{1}{3}}} - {\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5}} \right)^{\frac{{ - 3}}{5}}}\\
= {(3)^{ - 3}} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ - 1}} - \left( {{{\frac{1}{2}}^{ - 3}}} \right) = \frac{1}{{27}} + 5 - 8 = \frac{1}{{27}} - 3 = \frac{{ - 80}}{{27}}
\end{array}\)
Câu b:
\(\begin{array}{l}
0,{001^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {\left( { - 2} \right)^{ - 2}}{.64^{\frac{2}{3}}} - {8^{ - 1\frac{1}{3}}} + {\left( {{9^0}} \right)^2} = {\left( {{{10}^{ - 3}}} \right)^{ - \frac{1}{3}}} - {2^{ - 2}}.{\left( {{2^6}} \right)^{\frac{2}{3}}} - {\left( {{2^3}} \right)^{ - \frac{4}{3}}} + 1\\
= 10 - {2^2} - {2^{ - 4}} + 1 = 7 - \frac{1}{{16}} = \frac{{111}}{{16}}
\end{array}\)
Câu c:
\({27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} - {25^{0,5}} = {({3^3})^{\frac{2}{3}}} + {({2^{ - 4}})^{ - \frac{3}{4}}} - {({5^2})^{\frac{1}{2}}} = {3^2} + {2^3} - 5 = 12\)
Câu d:
\(\begin{array}{l}
{( - 0,5)^{ - 4}} - {625^{0,25}} - {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ - 1\frac{1}{2}}} + 19.{\left( { - 3} \right)^{ - 3}} = {\left( {{{\left( { - 2} \right)}^{ - 1}}} \right)^{ - 4}} - {\left( {{5^4}} \right)^{\frac{1}{4}}} - {\left( {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right)^{ - \frac{3}{2}}} + \frac{{19}}{{ - 27}}\\
= {2^4} - 5 - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - 3}} - \frac{{19}}{{27}} = 11 - \frac{8}{{27}} - \frac{{19}}{{27}} = 10.
\end{array}\)
Bài 5 trang 76 SGK Toán 12 nâng cao
Đơn giản biểu thức ( với a, b là những số dương)
a) \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}\)
b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{4}{3}}}}} - \frac{{{a^{ - \frac{1}{3}}} - {a^{\frac{5}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{ - \frac{1}{3}}}}}\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
\(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}} = \frac{{{a^3}{b^2}}}{{\sqrt[6]{{{a^{12}}{b^6}}}}} = \frac{{{a^3}{b^2}}}{{{a^2}b}} = ab\)
Câu b:
\(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{4}{3}}}}} - \frac{{{a^{ - \frac{1}{3}}} - {a^{\frac{5}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{ - \frac{1}{3}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {1 - {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {1 - a} \right)}} - \frac{{{a^{ - \frac{1}{3}}}\left( {1 - {a^2}} \right)}}{{{a^{ - \frac{1}{3}}}\left( {a + 1} \right)}} = \left( {1 + a} \right) - \left( {1 - a} \right) = 2a\)
Bài 6 trang 76 SGK Toán 12 nâng cao
So sánh các số
a) \(\sqrt 2 \) và \(\sqrt[3]{3}\)
b) \(\sqrt 3 + \sqrt[3]{{30}}\) và \(\sqrt[3]{{63}}\)
c) \(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} \) và \(\sqrt {10} + \sqrt[3]{{28}}\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Ta có: \({\left( {\sqrt 2 } \right)^6} = {2^3} = 8;{\left( {\sqrt[3]{3}} \right)^6} = {3^2} = 9\)
Do 9 > 8 nên ta có \({\left( {\sqrt 2 } \right)^6} < {\left( {\sqrt[3]{3}} \right)^6}\) nên \(\sqrt 2 \) < \(\sqrt[3]{3}\)
Câu b:
\(\sqrt 3 + \sqrt[3]{{30}} > 1 + \sqrt[3]{{27}} = 4 = \sqrt[3]{{64}} > \sqrt[3]{{63}}\)
Câu c:
\(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} < 2 + 4 = 3 + 3 < \sqrt {10} + \sqrt[3]{{28}}\)
Bài 7 trang 76 SGK Toán 12 nâng cao
Chứng minh \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = 2\)
Hướng dẫn giải:
Đặt \(x = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{x^3} = {\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}} \right)^3}\\
= 7 + 5\sqrt 2 + 7 - 5\sqrt 2 + 3.\sqrt[3]{{{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)}^2}}}.\sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} + 3.\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}.\sqrt[3]{{{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}^2}}}\\
= 14 - 3\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}} \right) = 14 - 3x
\end{array}\)
Từ đó suy ra: \({x^3} + 3x - 14 = 0(1)\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) (Vì \({x^2} + 2x + 7 > 0\)
Vậy \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = 2\)
Bài 8 trang 78 SGK Toán 12 nâng cao
Đơn giản biểu thức
a) \(\frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\)
b) \(\frac{{a - b}}{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}} - \frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\)
c) \(\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\)
d) \(\frac{{a - 1}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}}.\frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{a}}}{{\sqrt a + 1}}.{a^{\frac{1}{4}}} + 1\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
\(\begin{array}{l}
\frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} = \frac{{\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\\
= \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b}
\end{array}\)
Câu b:
\(\begin{array}{l}
\frac{{a - b}}{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}} - \frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^3} - {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^3}}}{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}} - \frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^3}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\\
= \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}} - \left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right) = 2\sqrt[3]{{ab}}
\end{array}\)
Câu c:
\(\begin{array}{l}
\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2} = \left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\\
= \left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} - 2\sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right):{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\\
= {\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2} = 1
\end{array}\)
Câu d:
\(\begin{array}{l}
\frac{{a - 1}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}}.\frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{a}}}{{\sqrt a + 1}}.{a^{\frac{1}{4}}} + 1 = \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\sqrt a .\left( {\sqrt[4]{a} + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}}.\sqrt[4]{a} + 1\\
= \sqrt a - 1 + 1 = \sqrt a
\end{array}\)
Bài 9 trang 78 SGK Toán 12 nâng cao
Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, chứng minh:
\(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b},\left( {a \ge 0,b \ge 0} \right)\), n nguyên dương
Hướng dẫn giải:
Theo tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, ta có:
\({\left( {\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}} \right)^n} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n}.{\left( {\sqrt[n]{b}} \right)^n} = ab\)
Do đó theo định nghĩa căn bậc n của một số, ta có \(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}\)
Bài 10 trang 78 SGK Toán 12 nâng cao
Chứng minh
a) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = 2\)
b) \(\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = 3\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Ta có: \(4 \pm 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \pm 2\sqrt 3 + 1 = {\left( {\sqrt 3 \pm 1} \right)^2}\)
nên \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = \left( {\sqrt 3 + 1} \right) - \left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 2\)
Câu b:
Đặt \(x = \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}\)
\(\begin{array}{l}
{x^3} = {\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)^3}\\
= 9 + \sqrt {80} + 9 - \sqrt {80} + \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}x\\
= 18 + 3\sqrt[3]{{81 - 80}}.x = 18 + 3x
\end{array}\)
Do đó \({x^3} - 3x - 18 = 0\left( * \right)\)
Mà \({x^3} - 3x - 18 = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right)\) nên từ phương trình đã cho suy ra x = 3 (vì \({x^2} + 3x + 6 > 0,\forall x\))
Vậy \(\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = 3\)
Bài 11 trang 78 SGK Toán 12 nâng cao
So sánh số
a) \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - \frac{5}{6}}}\) và \(\sqrt[3]{{{3^{ - 1}}\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}}\)
b) 3600 và 5400
c) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{5}{7}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}}\)
d) 730 và 440
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Ta có: \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - \frac{5}{6}}} = {3^{ - \frac{5}{{12}}}}\) và \(\sqrt[3]{{{3^{ - 1}}\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[3]{{{3^{ - 1}}\frac{1}{{{3^{\frac{1}{4}}}}}}} = \sqrt[3]{{{3^{ - 1}}{3^{\frac{{ - 1}}{4}}}}} = \sqrt[3]{{{3^{ - \frac{5}{4}}}}} = {3^{ - \frac{5}{{12}}}}\)
Vậy \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - \frac{5}{6}}}\) = \(\sqrt[3]{{{3^{ - 1}}\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}}\)
Câu b:
Ta có:
\({3^{600}} = {({3^3})^{200}} = {27^{200}}\) và \({5^{400}} = {({5^2})^{200}} = {25^{200}}\)
Vậy 3600 > 5400
Câu c:
Ta có:
\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{5}{7}}} = {2^{\frac{5}{7}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}} = {2^{\frac{1}{2}}}{.2^{\frac{3}{{14}}}} = {2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{{14}}}} = {2^{\frac{5}{7}}}\)
Vậy \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{5}{7}}}\) = \(\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}}\)
Câu d:
Ta có: \({7^{30}} = {\left( {{7^3}} \right)^{10}} = {343^{10}}\)
\({4^{40}} = {\left( {{4^4}} \right)^{10}} = {256^{10}}\)
Vậy 730 > 440
Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 2 Bài 1 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!
