Đề thi olympic Toán 11 năm 2020 Trường THPT Mỹ Đức A

Họ và tên thí sinh: ………………………………………..….. Số báo danh: …………

Câu 1. (5 điểm)

a) Giải phương trình lượng giác: \(\sin x+\sin 5x=2{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{4}-x \right)-2{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{4}+2x \right)\).

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y=2{{\sin }^{2}}x+3\sin x\cos x+5{{\cos }^{2}}x\).

Câu 2. (4 điểm)

a) Cho \(n\in \mathbb{N},n\ge 2\) hãy tính tổng S sau: \(S=2.1C_{n}^{2}+3.2C_{n}^{3}+4.3C_{n}^{4}+...+n\left( n-1 \right)C_{n}^{n}\).

b) Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn \(\left[ 1;20 \right].\) Tính xác suất để tổng các lập phương của ba số được viết ra chia hết cho 3.

Câu 3. (5 điểm)

a) Một tứ giác có bốn  góc tạo thành một cấp số nhân và số đo góc lớn nhất gấp 8 lần số đo góc nhỏ nhất. Tính số đo các góc của tứ giác.

b) Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\)  được xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_{n + 1}} = 2{u_n} + {3^n},{\mkern 1mu} \forall {\mkern 1mu} n \in {\mkern 1mu} {N^*}
\end{array} \right.\)

Tìm công thức của số hạng tổng quát \({{u}_{n}}\) theo \(n\) .

Câu 4. (5 điểm) Cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và hai đường thẳng chéo nhau \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) tại A, B. Gọi \(\Delta \) là đường thẳng thay đổi luôn song song với \(\left( \alpha  \right)\), cắt \({{d}_{1}}\) tại\(M,\) cắt \({{d}_{2}}\) tại \(N.\) Đường thẳng \(d\) qua \(N\) luôn song song với \({{d}_{1}}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) tại \({N}'\).

a) Tứ giác \(AMN{N}'\) là hình gì?

b) Tìm tập hợp các điểm \({N}'.\)

c) Gọi O là trung điểm của \(AB,\,I\) là trung điểm của \(MN.\) Chứng minh rằng OI là đường thẳng cố định khi M di động.

Câu 5. (1 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H biết:

\(H=\frac{{{x}^{2}}\left( y+z \right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{{{y}^{2}}\left( z+x \right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{{{z}^{2}}\left( x+y \right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}.\)

---Để xem đầy nội dung Đề thi olympic Toán 11 năm 2020 Trường THPT Mỹ Đức A, các em vui lòng đăng nhập vào trang Chúng tôi để xem online hoặc tải về máy tính---

Trên đây là trích một phần nội dung Đề thi olympic Toán 11 năm 2020 Trường THPT Mỹ Đức A. Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới