Đề thi HSG Toán 11 năm 2020 Trường THPT Thanh Chương

Câu 1. (6,0 điểm).

a. Giải phương trình $\frac{1}{\cos x}+\frac{\sqrt{3}}{\sin x}=4$

b. Giải phương trình  $\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x(x\in \mathbb{R}).$

Câu 2. (4,0 điểm). 

a. Cho đa giác đều có 60 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 cạnh là đường chéo của đa giác đó?

b. Cho khai triển ${(x+1)}^n+{(x^2+1)}^{2n}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_{4n}{x}^{4n},$ với n là số tự nhiên, $n\ge 1$. Tìm n biết $a_1,a_2,a_3$ lập thành một cấp số cộng.

Câu 3. (2,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_1+u_2+...+u_n=n^2.u_n\end{array},n\in N,n\ge 2.$ Tìm công thức số hạng tổng quát $u_n$ và tính tổng $S=u_1+u_2+...+u_{2020}.$

Câu 4. (2,0 điểm). Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A(2;5)$ và H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC. Gọi I,  $J(2;-1)$ và $K(6;1)$ lần lượt là tâm đường nội tiếp của tam giác $ABC,ABH,ACH.$ Chứng minh I là trực tâm của tam giác $AJK$ và tìm tọa độ các đỉnh B, C.

Câu 5. (4,0 điểm). Cho tứ diện đều ABCD có trọng tâm G, cạnh AB=a; O là tâm của tam giác $BCD$ và M là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng $(BCD)$. Gọi H, K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên các mặt phẳng $(ACD),(ABD),(ABC)$.

a. Mặt phẳng (P) bất kỳ đi qua trọng tâm G, cắt các cạnh $AB,AC,AD$ lần lượt tại $B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }.$ Chứng minh $\frac{AB}{A{B}^{\prime }}+\frac{AC}{A{C}^{\prime }}+\frac{AD}{A{D}^{\prime }}=4$.

b. Chứng minh đường thẳng GM luôn đi qua trọng tâm E của tam giác HKL 

Câu 6. (2,0 điểm). Cho $x,y,z\ge 0$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$

---Để xem đầy nội dung Đề thi HSG Toán 11 năm 2020 Trường THPT Thanh Chương, các em vui lòng đăng nhập vào trang Chúng tôi để xem online hoặc tải về máy tính---

Trên đây là trích một phần nội dung Đề thi HSG Toán 11 năm 2020 Trường THPT Thanh Chương. Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới