Đề thi HSG Toán 11 năm 2020 Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn

MÔN TOÁN 11

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (6,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) $(\sqrt{3}\sin 2x+1)(2\sin x-1)+\sin 3x-\cos 2x-\mathrm{s}\text{inx}=0$

b) $\{\begin{array}{l}20\sqrt{6-x}-17\sqrt{5-y}=3x\sqrt{6-x}-3y\sqrt{5-y}\\ (x^3+3y+8)\sqrt{2x^2+5\mathrm{x}}=3x^3+5y^2+12x\end{array}$

Câu 2 (5,0 điểm)

            a) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 45.

            b) Cho dãy số (u_n)  xác định bởi $\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}=\frac{(n+1)u_n}{n}+3\left(n^3+2n^2+2n+1\right)\begin{array}{cc},& n\in N\ast \end{array}\end{array}$

Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

Câu 3 ( 5,0 điểm) 

a) Cho tứ diện ABCD, trên hai cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho $\frac{AM}{M\text{D}}=\frac{CN}{NB}=\frac{1}{2}$. Hai điểm E, F lần lượt thuộc BM và DN sao cho $EF//AC$. Tính tỉ số $\frac{EF}{AC}$.

b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với $AD//BC$ và $AD=2BC$. Gọi O là giao điểm của AC và BD, điểm M thay đổi nằm trong hình thang sao cho OM không song song với cạnh nào của hình thang. Qua M dựng đường thẳng song song với SO cắt các mp(SAB), (SBC), (SCD) và (SDA) lần lượt tại các điểm E, F, G và H. 

Chứng minh rằng: $MF+2(ME+MG)+4MH=9SO$.

Câu 4 (2,0 điểm)  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có $M(3;-1)$ là trung điểm cạnh BC, đường thẳng AC đi qua điểm $E(1;3)$. Điểm $D(4;-2)$đối xứng với A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, điểm C thuộc đường thẳng d: $x+2y-3=0$ và có hoành độ dương.  Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Câu 5 (2,0 điểm) Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn $\text{a + b + c}\ne \text{0}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^3+b^3+ac(a-c)+bc(b-c)-5\text{a}bc}{{(a+b+c)}^3}$  .

Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

Câu 3 ( 5,0 điểm) 

a) Cho tứ diện ABCD, trên hai cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho $\frac{AM}{M\text{D}}=\frac{CN}{NB}=\frac{1}{2}$. Hai điểm E, F lần lượt thuộc BM và DN sao cho $EF//AC$. Tính tỉ số $\frac{EF}{AC}$.

b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với $AD//BC$ và $AD=2BC$. Gọi O là giao điểm của AC và BD, điểm M thay đổi nằm trong hình thang sao cho OM không song song với cạnh nào của hình thang. Qua M dựng đường thẳng song song với SO cắt các mp(SAB), (SBC), (SCD) và (SDA) lần lượt tại các điểm E, F, G và H. 

Chứng minh rằng: $MF+2(ME+MG)+4MH=9SO$.

Câu 4 (2,0 điểm)  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có $M(3;-1)$ là trung điểm cạnh BC, đường thẳng AC đi qua điểm $E(1;3)$. Điểm $D(4;-2)$đối xứng với A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, điểm C thuộc đường thẳng d: $x+2y-3=0$ và có hoành độ dương.  Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Câu 5 (2,0 điểm) Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn $\text{a + b + c}\ne \text{0}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^3+b^3+ac(a-c)+bc(b-c)-5\text{a}bc}{{(a+b+c)}^3}$  . 

---Để xem đầy nội dung Đề thi HSG Toán 11 năm 2020 Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn, các em vui lòng đăng nhập vào trang Chúng tôi để xem online hoặc tải về máy tính---

Trên đây là trích một phần nội dung Đề thi HSG Toán 11 năm 2020 Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn. Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới