Đề thi HSG Toán 9 năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Phú Lương có đáp án

Bài 1 (2,0 điểm).

   a) Giải phương trình: $\frac{1}{x-1}-\frac{3x^2}{x^3-1}=\frac{2x}{x^2+x+1}$

   b) Tìm số tự nhiên n để n⁴ + 4 là số nguyên tố.

Bài 2 (1,0 điểm). 

Tìm GTNN của $A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}$ biết x, y, z > 0 ,$\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1.$

Bài 3 (2,0 điểm).

    a) Giải phương trình sau: $\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=2$

    b) Giải hệ phương trình sau: $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+x+y=18\\ x^2{y}^2+x^{2}y+x{y}^2+xy=72\end{array}$

Bài 4  (4,0 điểm)

Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B). Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của $\widehat{IAM}$ cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM  tại K.

1. Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh $HF\mathrm{\perp }BI$.
3. Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để chu vi $\mathrm{\Delta }AMB$ đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R?

Bài 5 (1.0 điểm). Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng:

$\left(2^x+1\right)\left(2^x+2\right)\left(2^x+3\right)\left(2^x+4\right)-5^y=11879$.

Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 Phòng GD&ĐT Phú Lương:

Bài 1 (2,0 điểm)

a)  ĐK: $x\ne 1$.

$\frac{1}{x-1}-\frac{3x^2}{x^3-1}=\frac{2x}{x^2+x+1}$

$\iff \frac{x^2+x+1}{x^3-1}-\frac{3x^2}{x^3-1}=\frac{2x(x-1)}{x^3-1}$

 $\Rightarrow x^2+x+1-3x^2=2x^2-2x\iff 4x^2-3x-1=0(\ast )$

Giải phương trình (*) ta được: $[\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{-1}{4}\end{array}$

Kết hợp với ĐK ta có $x=\frac{-1}{4}$ là nghiệm của phương trình.

b)

Ta có $n^4+4=n^4+4+4n^2-4n^2$

$={\left(n^2+2\right)}^2-\left(2n\right)$

$=\left(n^2-2n+2\right).\left(n^2+2n+2\right)$

Vì n là số tự nhiên nên $n^2+2n+2>1$ nên n² - 2n + 2 = 1⇔ n = 1 

Bài 2 (1,0 điểm)

$\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge \frac{x+y+z}{2}$ .

Theo bất đẳng thức Cauchy :

$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy};\frac{y+z}{2}\ge \sqrt{yz};\frac{z+x}{2}\ge \sqrt{zx}$ nên $\frac{x+y+z}{2}\ge \frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2}=\frac{1}{2}$

$minA=\frac{1}{2}\iff x=y=z=\frac{1}{3}.$
 

Trên đây là một phần trích dẫn của Đề thi HSG Toán 9 năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Phú Lương. Để xem được nội dung đầy đủ và đáp án, các em vui lòng đăng nhập website Chúng tôi.Net, bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.