Đề thi HSG Toán 9 năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Phú Lương có đáp án

UBND HUYỆN PHÚ LƯƠNG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2016 - 2017    

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 

Bài 1 (2,0 điểm).

   a) Giải phương trình: \(\frac{{\rm{1}}}{{x - 1}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\)

   b) Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố.

Bài 2 (1,0 điểm). 

Tìm GTNN của \(A = \frac{{{x^2}}}{{x + y}} + \frac{{{y^2}}}{{y + z}} + \frac{{{z^2}}}{{z + x}}\) biết x, y, z > 0 ,\(\sqrt {xy}  + \sqrt {yz}  + \sqrt {zx}  = 1.\)

Bài 3 (2,0 điểm).

    a) Giải phương trình sau: \(\sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} }  + \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} }  = 2\)

    b) Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 18\\{x^2}{y^2} + {x^2}y + x{y^2} + xy = 72\end{array} \right.\)

Bài 4  (4,0 điểm)

Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B). Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của \(\widehat {IAM}\) cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM  tại K.

  1. Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn.
  2. Chứng minh \(HF \bot BI\).
  3. Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để chu vi \(\Delta AMB\) đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R?

Bài 5 (1.0 điểm). Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng:

\(\left( {{2^x} + 1} \right)\left( {{2^x} + 2} \right)\left( {{2^x} + 3} \right)\left( {{2^x} + 4} \right) - {5^y} = 11879\).


Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 Phòng GD&ĐT Phú Lương:

Bài 1 (2,0 điểm)

a)  ĐK: \(x \ne 1\).

\(\frac{{\rm{1}}}{{x - 1}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x(x - 1)}}{{{x^3} - 1}}\)

 \( \Rightarrow {x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2{x^2} - 2x \Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0{\rm{        (*)}}\)

Giải phương trình (*) ta được: \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 1}}{4}\end{array} \right.\)

Kết hợp với ĐK ta có \(x = \frac{{ - 1}}{4}\) là nghiệm của phương trình.

b)

Ta có \({n^4} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}{n^4} + {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}4{n^2}-{\rm{ }}4{n^2}\)

\( = {\rm{ }}{\left( {{\rm{ }}{n^2} + {\rm{ }}2} \right)^2}-{\rm{ }}\left( {{\rm{ }}2n} \right)\)

\( = {\rm{ }}\left( {{\rm{ }}{n^2}-{\rm{ }}2n{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right).\left( {{\rm{ }}{n^2} + {\rm{ }}2n + {\rm{ }}2} \right)\)

Vì n là số tự nhiên nên \({n^2} + {\rm{ }}2n + {\rm{ }}2{\rm{ }} > {\rm{ }}1\) nên n2 - 2n + 2 = 1⇔ n = 1 

Bài 2 (1,0 điểm)

\(\frac{{{x^2}}}{{x + y}} + \frac{{{y^2}}}{{y + z}} + \frac{{{z^2}}}{{z + x}} \ge \frac{{x + y + z}}{2}\) .

Theo bất đẳng thức Cauchy :

\(\frac{{x + y}}{2} \ge \sqrt {xy} ;\frac{{y + z}}{2} \ge \sqrt {yz} ;\frac{{z + x}}{2} \ge \sqrt {zx} \) nên \(\frac{{x + y + z}}{2} \ge \frac{{\sqrt {xy}  + \sqrt {yz}  + \sqrt {zx} }}{2} = \frac{1}{2}\)

\(\min A = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}.\)
 

Trên đây là một phần trích dẫn của Đề thi HSG Toán 9 năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Phú Lương. Để xem được nội dung đầy đủ và đáp án, các em vui lòng đăng nhập website Chúng tôi.Net, bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.

Tham khảo thêm

Bình luận

Có Thể Bạn Quan Tâm ?