| PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM ĐỀ THI CHÍNH THỨC | ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN THI: TOÁN - LỚP 9 Ngày thi: 6/10/2016 Thời gian làm bài:150 phút |
Câu 1 (4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức \(A = \left( {{\textstyle{{\sqrt x + 1} \over {\sqrt {xy} + 1}}} + {\textstyle{{\sqrt {xy} + \sqrt x } \over {1 - \sqrt {xy} }}} + 1} \right):\left( {1 - {\textstyle{{\sqrt {xy} + \sqrt x } \over {\sqrt {xy} - 1}}} - {\textstyle{{\sqrt x + 1} \over {\sqrt {xy} + 1}}}} \right)\)với .
2) Cho \(x = \frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right).\sqrt(3){{10 + 6\sqrt 3 }}}}{{\sqrt {21 + 4\sqrt 5 } + 3}}\), tính giá trị biểu thức \(P = {\left( {{x^2} + 4x - 2} \right)^{2017}}.\)
Câu 2 (5,0 điểm)
1) Cho \(x = \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 - 1}}\) là một nghiệm của phương trình: \(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Với a, b là các số hữu tỉ. Tìm a và b.
2) Cho P là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh \({P^{20}}-{\rm{ }}1\)chia hết cho 100.
3) Cho là độ dài của 3 cạnh một tam giác, chứng minh rằng: \({a^4} + {b^4} + {c^4} < 2{a^2}{b^2} + 2{a^2}{c^2} + 2{b^2}{c^2}\)
Câu 3 (4,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên x sao cho \({x^3}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\) là số chính phương.
2) Giải phương trình: \(\sqrt {{x^2} + 3x} + 2\sqrt {x + 2} = 2x + \sqrt {x + \frac{6}{x} + 5} {\rm{ }}\)
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho hình thoi ABCD có AB = BD = a. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N, trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho AN + DK = 2a. Gọi giao điểm của CN với BD và AD thứ tự là I và M. Tia BM cắt ND tại P.
1) Chứng minh IC.CN = IN.CM.
2) Chứng minh DM.BN = a2 từ đó tính số đo góc BPD.
3) Tìm vị trí điểm N và K để diện tích tứ giác ADKN lớn nhất.
Câu 5 ( điểm)
Cho \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c{\rm{ }} > {\rm{ }}0\) và \(a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}3\). Chứng minh rằng \({a^5} + {\rm{ }}{b^5} + {\rm{ }}{c^5} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 6.\)
Hướng dẫn giải đề thi HSG cấp huyện Toán 9:
Câu 1:
1)
với \(x,y > 0,xy \ne 1\)
\(A = \frac{{(\sqrt x + 1)(1 - \sqrt {xy} ) + (\sqrt {xy} + \sqrt x )(\sqrt {xy} + 1) + (\sqrt {xy} + 1)(1 - \sqrt {xy} )}}{{(\sqrt {xy} + 1)(1 - \sqrt {xy} )}}\)
\( = \frac{{(\sqrt {xy} + 1)(1 - \sqrt {xy} ) + (\sqrt {xy} + \sqrt x )(\sqrt {xy} + 1) - (\sqrt x + 1)(1 - \sqrt {xy} )}}{{(\sqrt {xy} + 1)(1 - \sqrt {xy} )}}\)
\( = \frac{{(\sqrt x + 1)(1 - \sqrt {xy} ) + (\sqrt {xy} + \sqrt x )(\sqrt {xy} + 1) + (\sqrt {xy} + 1)(1 - \sqrt {xy} )}}{{(\sqrt {xy} + 1)(1 - \sqrt {xy} ) + (\sqrt {xy} + \sqrt x )(\sqrt {xy} + 1) - (\sqrt x + 1)(1 - \sqrt {xy} )}}\)
\( = \frac{{1 + \sqrt x }}{{x\sqrt y + \sqrt {xy} }} = \frac{1}{{\sqrt {xy} }}\)
2)
\(x = \frac{{(\sqrt x - 1).\sqrt[3]{{{{(\sqrt 3 + 1)}^3}}}}}{{\sqrt {{{(\sqrt {20 + 1} )}^2}} + 3}} = \frac{{(\sqrt {3 - 1} )(\sqrt {3 + 1} }}{{\sqrt {20} + 4}}\)
\( = \frac{2}{{2(\sqrt 5 + 2)}} = \sqrt 5 - 2.\)
\( \Rightarrow {x^2} + 4x - 1 = 0 \Rightarrow P = - 1\)
Trên đây là trích một phần nội dung lời giải của đề thi HSG cấp huyện Toán lớp 9 Phòng GD&ĐT Lục Nam. Để xem toàn bộ nội dung đề thi đầy đủ và đáp án chi tiết, các em vui lòng đăng nhập web Chúng tôi chọn xem Online hoặc tải về máy tính.
