| PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÚ LỘC ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi: Toán – Lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
|
Câu 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{{3x + \sqrt {9x} - 3}}{{x + \sqrt x - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - 2} \right):\frac{1}{{x - 1}}\).
1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
2) Rút gọn biểu thức A.
3) Tìm giá trị của x để \(\frac{2}{A}\) là số tự nhiên.
Câu 2: (4,0 điểm)
1) Giải phương trình: \({x^2} - 10x + 27 = \sqrt {6 - x} + \sqrt {x - 4} \)
2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)
Câu 3: (4,0 điểm)
Cho hai đường thẳng: \(y = x + 3 ({d_1});y = 3x + 7 ({d_2})\)
1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của \(({d_1})\) và \(({d_2})\) với trục Oy. Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
2) Gọi J là giao điểm của \(({d_1})\) và \(({d_2})\) . Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam giác đó.
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là đểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.
1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?
2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng: \(\frac{{HM}}{{HK}} = \frac{{MK}}{{MC}} = \frac{{CD}}{{4R}}\)
3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B).
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{{c + ab}}{{a + b}} + \frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ac}}{{a + c}} \ge 2\)
Đáp án đề thi HSG Toán 9 huyện Phú Lộc:
Câu 1: (4,0 điểm)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)
\(A = \left( {\frac{{3x + \sqrt {9x} - 3}}{{x + \sqrt x - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - 2} \right):\frac{1}{{x - 1}}\)
\( = \frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 2)}}.(x - 1)\)
\( = \frac{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x + 2)}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 2)}}.(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1) = {(\sqrt x + 1)^2}\)
Với điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)
Ta có: \(A = {(\sqrt x + 1)^2}\)
Vì \(A = {(\sqrt x + 1)^2} \ge 1\) với mọi \(x \ge 0\) nên \(0 \le \frac{2}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}} \le 2\)
Do đó: \(\frac{2}{A} = \frac{2}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}} \in {\rm N}\) khi \({(\sqrt x + 1)^2} = 1\)hoặc \({(\sqrt x + 1)^2} = 2\)
Mà \(\sqrt x + 1 > 0\) nên \(\sqrt x + 1 = 1\) hoặc \(\sqrt x + 1 = \sqrt 2 \)
Do đó: x = 0 hoặc \(x = {(\sqrt 2 - 1)^2} = 3 - 2\sqrt 2 \)
Vậy \(\frac{2}{A}\) là số tự nhiên khi x = 0 hoặc \(x = 3 - 2\sqrt 2 .\)
⇒ Trên đây là một phần trích đáp án và toàn bộ nội dung Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2017 Phòng GD&ĐT Phú Lộc. Để xem tiếp các đáp án còn lại các em có thể xem Online hoặc tải về máy tính bằng cách đăng nhập vào web Chúng tôi.Net.
