Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2017 Phòng GD&ĐT Phú Lộc có đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN PHÚ LỘC

 
   

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP  HUYỆN

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn thi: Toán – Lớp 9

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

 

 

Câu 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{{3x + \sqrt {9x}  - 3}}{{x +  \sqrt x  - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - 2} \right):\frac{1}{{x - 1}}\).

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.

2) Rút gọn biểu thức A.

3) Tìm giá trị của x để \(\frac{2}{A}\) là số tự nhiên.

Câu 2: (4,0 điểm)

 1) Giải phương trình: \({x^2} - 10x + 27 = \sqrt {6 - x}  + \sqrt {x - 4} \)

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

Câu 3: (4,0 điểm)

Cho hai đường thẳng: \(y = x + 3 ({d_1});y = 3x + 7 ({d_2})\)

1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của \(({d_1})\) và \(({d_2})\) với trục Oy. Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

2) Gọi J là giao điểm của \(({d_1})\) và \(({d_2})\) . Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam giác đó.

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là đểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.

1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?

2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng: \(\frac{{HM}}{{HK}} = \frac{{MK}}{{MC}} = \frac{{CD}}{{4R}}\)

3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B).

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

\(\frac{{c + ab}}{{a + b}} + \frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ac}}{{a + c}} \ge 2\)


Đáp án đề thi HSG Toán 9 huyện Phú Lộc:

Câu 1: (4,0 điểm)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)

\(A = \left( {\frac{{3x + \sqrt {9x}  - 3}}{{x +  \sqrt x  - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - 2} \right):\frac{1}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{x + 3\sqrt x  + 2}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 2)}}.(x - 1)\)

\( = \frac{{(\sqrt x  + 1)(\sqrt x  + 2)}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 2)}}.(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 1) = {(\sqrt x  + 1)^2}\)

Với điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(A = {(\sqrt x  + 1)^2}\)

Vì \(A = {(\sqrt x  + 1)^2} \ge 1\) với mọi \(x \ge 0\) nên \(0 \le \frac{2}{{{{(\sqrt x  + 1)}^2}}} \le 2\)

Do đó:  \(\frac{2}{A} = \frac{2}{{{{(\sqrt x  + 1)}^2}}} \in {\rm N}\) khi \({(\sqrt x  + 1)^2} = 1\)hoặc \({(\sqrt x  + 1)^2} = 2\)

Mà \(\sqrt x  + 1 > 0\) nên \(\sqrt x  + 1 = 1\) hoặc  \(\sqrt x  + 1 = \sqrt 2 \)

Do đó: x = 0 hoặc \(x = {(\sqrt 2  - 1)^2} = 3 - 2\sqrt 2 \)

Vậy \(\frac{2}{A}\) là số tự nhiên khi x = 0 hoặc \(x = 3 - 2\sqrt 2 .\)

 

⇒ Trên đây là một phần trích đáp án và toàn bộ nội dung Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2017 Phòng GD&ĐT Phú Lộc. Để xem tiếp các đáp án còn lại các em có thể xem Online hoặc tải về máy tính bằng cách đăng nhập vào web Chúng tôi.Net.

Tham khảo thêm

Bình luận

Có Thể Bạn Quan Tâm ?