Đề thi HSG Toán 9 cấp thành phố năm 2017 Phòng GD&ĐT TP Thanh Hoá có đáp án

PHÒNG GD VÀ ĐT THÀNH PHỐ

THANH HOÁ

 
   

 ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn: TOÁN - Lớp 9

(Thời gian làm bài: 150 phút)

 

Bài 1: (5,0 điểm)

Cho biểu thức: \(P = \left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right):\frac{{\sqrt x  - 1}}{2}.\) Với \(x \ge 0,x \ne 1.\)

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x để \(P = \frac{2}{7}\)

c) So sánh: \({P^2}\)  và 2P.

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Tìm \(x,y \in {\rm Z}\) thoả mãn: \(2{y^2}x + x + y + 1 = {x^2} + 2{y^2} + xy\)

b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn điều kiện:

\({\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}.\) Chứng minh rằng: \({a^3} + {b^3} + {c^3}\) chia hết cho 3.

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình sau: \(\sqrt {4{x^2} + 20x + 25}  + \sqrt {{x^2} + 6x + 9}  = 10x - 20\)

b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: \({x^2} + 2{y^2} + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A = x + y + 1.\)

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tuỳ ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF.

a) Chứng minh: CM vuông góc với EF.

b) Chứng minh: \(NB.DE = {a^2}\) và B, D, M thẳng hàng.

c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD.

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} < \sqrt {\frac{a}{{b + c}}}  + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}}  + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \)


Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 thành phố Thanh Hoá:

 

Bài 1:

a) Điều kiện: \(x \ge 0,x \ne 1.\)

\(P = \left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right):\frac{{\sqrt x  - 1}}{2}\)

\( = \left( {\frac{{x + 2}}{{{{(\sqrt x )}^3} - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  - 1}}{2}\)

\( = \frac{{x + 2 + \sqrt x (\sqrt x  - 1) - (x + \sqrt x  + 1)}}{{(\sqrt x  - 1)(x + \sqrt x  + 1)}}:\frac{{\sqrt x  - 1}}{2}\)

\( = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{(\sqrt x  - 1)(x + \sqrt x  + 1)}}.\frac{2}{{\sqrt x  - 1}}\)

\( = \frac{2}{{x + \sqrt x  + 1}}\)

b) Với \(x \ge 0,x \ne 1.\) Ta có:

\(P = \frac{2}{7}\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{{x + \sqrt x  + 1}} = \frac{2}{7}\)

\( \Leftrightarrow x + \sqrt x  + 1 = 7 \Leftrightarrow x + \sqrt x  - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow (\sqrt x  - 2)(\sqrt x  + 3) = 0\)

Vì \(\sqrt x  + 3 > 0\) nên \(\sqrt x  - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4\) (t/m)

Vậy \(P = \frac{2}{7}\)khi x = 4.

c) Vì \(x \ge 0 \Rightarrow x + \sqrt x  + 1 \ge 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 < \frac{2}{{x + \sqrt x  + 1}} \le 2 \Leftrightarrow 0 < P \le 2\\ \Leftrightarrow P(P - 2) \le 0 \Leftrightarrow {P^2} - 2P \le 0\\ \Leftrightarrow {P^2} \le 2P\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(P = 2 \Leftrightarrow x = 0\)

Vậy \({P^2} \le 2P\)

Bài 2:

a) \(2{y^2}x + x + y + 1 = {x^2} + 2{y^2} + xy\)

\( \Leftrightarrow 2{y^2}x + x + y + 1 - {x^2} - 2{y^2} - xy = 0\)

\( \Leftrightarrow (x - 1)(2{y^2} - y - x) =  - 1\)

Vì \(x,y \in {\rm Z}\) nên \(x - 1 \in U( - 1) = \left\{ {1; - 1} \right\}\)

+ Nếu \(x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2\)

Khi đó \(2{y^2} - y - 2 =  - 1\)

\( \Leftrightarrow y = 1(t/m)\) hoặc \(y = \frac{{ - 1}}{2} \notin {\rm Z}\) (loại)

+ Nếu \(x - 1 =  - 1 \Rightarrow x = 0\)

Khi đó \(2{y^2} - y = 1\)

\( \Leftrightarrow y = 1(t/m)\) hoặc \(y = \frac{{ - 1}}{2} \notin {\rm Z}\) (loại)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\)

b) Từ giả thiết
\({\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}} \right) = 0\)

Vì \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \ne 0\) nên \(a + b + c = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a + b =  - c\\ \Rightarrow {(a + b)^3} = {( - c)^3}\\ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + 3ab(a + b) =  - {c^3}\\ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\end{array}\)

Vậy \({a^3} + {b^3} + {c^3} \vdots 3\) với \(a,b,c \in Z\)

Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức

\({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx)\) mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.

 

⇒ Trên đây là trích dẫn một phần lời giải Đề thi HSG Toán 9 cấp thành phố năm 2017 có đáp án Phòng GD&ĐT TP Thanh Hoá. Để xem đầy đủ và chi tiết đáp án các em vui lòng đăng nhập web Chúng tôi.net chọn tải về hoặc xem Online

 

Tham khảo thêm

Bình luận

Có Thể Bạn Quan Tâm ?