| PHÒNG GD VÀ ĐT THÀNH PHỐ THANH HOÁ ĐỀ THI CHÍNH THỨC | ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: TOÁN - Lớp 9 (Thời gian làm bài: 150 phút) |
Bài 1: (5,0 điểm)
Cho biểu thức: \(P = \left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right):\frac{{\sqrt x - 1}}{2}.\) Với \(x \ge 0,x \ne 1.\)
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để \(P = \frac{2}{7}\)
c) So sánh: \({P^2}\) và 2P.
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Tìm \(x,y \in {\rm Z}\) thoả mãn: \(2{y^2}x + x + y + 1 = {x^2} + 2{y^2} + xy\)
b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn điều kiện:
\({\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}.\) Chứng minh rằng: \({a^3} + {b^3} + {c^3}\) chia hết cho 3.
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình sau: \(\sqrt {4{x^2} + 20x + 25} + \sqrt {{x^2} + 6x + 9} = 10x - 20\)
b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: \({x^2} + 2{y^2} + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A = x + y + 1.\)
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tuỳ ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF.
a) Chứng minh: CM vuông góc với EF.
b) Chứng minh: \(NB.DE = {a^2}\) và B, D, M thẳng hàng.
c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD.
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} < \sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \)
Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 thành phố Thanh Hoá:
Bài 1:
a) Điều kiện: \(x \ge 0,x \ne 1.\)
\(P = \left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right):\frac{{\sqrt x - 1}}{2}\)
\( = \left( {\frac{{x + 2}}{{{{(\sqrt x )}^3} - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x - 1}}{2}\)
\( = \frac{{x + 2 + \sqrt x (\sqrt x - 1) - (x + \sqrt x + 1)}}{{(\sqrt x - 1)(x + \sqrt x + 1)}}:\frac{{\sqrt x - 1}}{2}\)
\( = \frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{(\sqrt x - 1)(x + \sqrt x + 1)}}.\frac{2}{{\sqrt x - 1}}\)
\( = \frac{2}{{x + \sqrt x + 1}}\)
b) Với \(x \ge 0,x \ne 1.\) Ta có:
\(P = \frac{2}{7}\)
\( \Leftrightarrow \frac{2}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{2}{7}\)
\( \Leftrightarrow x + \sqrt x + 1 = 7 \Leftrightarrow x + \sqrt x - 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow (\sqrt x - 2)(\sqrt x + 3) = 0\)
Vì \(\sqrt x + 3 > 0\) nên \(\sqrt x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4\) (t/m)
Vậy \(P = \frac{2}{7}\)khi x = 4.
c) Vì \(x \ge 0 \Rightarrow x + \sqrt x + 1 \ge 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 < \frac{2}{{x + \sqrt x + 1}} \le 2 \Leftrightarrow 0 < P \le 2\\ \Leftrightarrow P(P - 2) \le 0 \Leftrightarrow {P^2} - 2P \le 0\\ \Leftrightarrow {P^2} \le 2P\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(P = 2 \Leftrightarrow x = 0\)
Vậy \({P^2} \le 2P\)
Bài 2:
a) \(2{y^2}x + x + y + 1 = {x^2} + 2{y^2} + xy\)
\( \Leftrightarrow 2{y^2}x + x + y + 1 - {x^2} - 2{y^2} - xy = 0\)
\( \Leftrightarrow (x - 1)(2{y^2} - y - x) = - 1\)
Vì \(x,y \in {\rm Z}\) nên \(x - 1 \in U( - 1) = \left\{ {1; - 1} \right\}\)
+ Nếu \(x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2\)
Khi đó \(2{y^2} - y - 2 = - 1\)
\( \Leftrightarrow y = 1(t/m)\) hoặc \(y = \frac{{ - 1}}{2} \notin {\rm Z}\) (loại)
+ Nếu \(x - 1 = - 1 \Rightarrow x = 0\)
Khi đó \(2{y^2} - y = 1\)
\( \Leftrightarrow y = 1(t/m)\) hoặc \(y = \frac{{ - 1}}{2} \notin {\rm Z}\) (loại)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\)
b) Từ giả thiết
\({\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\)
\( \Leftrightarrow 2\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}} \right) = 0\)
Vì \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \ne 0\) nên \(a + b + c = 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow a + b = - c\\ \Rightarrow {(a + b)^3} = {( - c)^3}\\ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + 3ab(a + b) = - {c^3}\\ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\end{array}\)
Vậy \({a^3} + {b^3} + {c^3} \vdots 3\) với \(a,b,c \in Z\)
Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức
\({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx)\) mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.
⇒ Trên đây là trích dẫn một phần lời giải Đề thi HSG Toán 9 cấp thành phố năm 2017 có đáp án Phòng GD&ĐT TP Thanh Hoá. Để xem đầy đủ và chi tiết đáp án các em vui lòng đăng nhập web Chúng tôi.net chọn tải về hoặc xem Online.
