Đề thi HSG Toán 9 cấp thành phố năm 2017 Phòng GD&ĐT TP Thanh Hoá có đáp án

Bài 1: (5,0 điểm)

Cho biểu thức: $P=\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{2}.$ Với $x\ge 0,x\ne 1.$

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x để $P=\frac{2}{7}$

c) So sánh: $P^2$  và 2P.

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Tìm $x,y\in \mathrm{Z}$ thoả mãn: $2y^{2}x+x+y+1=x^2+2y^2+xy$

b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn điều kiện:

${\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.$ Chứng minh rằng: $a^3+b^3+c^3$ chia hết cho 3.

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình sau: $\sqrt{4x^2+20x+25}+\sqrt{x^2+6x+9}=10x-20$

b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: $x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0.$

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: $A=x+y+1.$

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tuỳ ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF.

a) Chứng minh: CM vuông góc với EF.

b) Chứng minh: $NB.DE=a^2$ và B, D, M thẳng hàng.

c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD.

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$

Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 thành phố Thanh Hoá:

Bài 1:

a) Điều kiện: $x\ge 0,x\ne 1.$

$P=\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{2}$

$=\left(\frac{x+2}{{(\sqrt{x})}^3-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{2}$

$=\frac{x+2+\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)-(x+\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}:\frac{\sqrt{x}-1}{2}$

$=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}.\frac{2}{\sqrt{x}-1}$

$=\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}$

b) Với $x\ge 0,x\ne 1.$ Ta có:

$P=\frac{2}{7}$

$\iff \frac{2}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{2}{7}$

$\iff x+\sqrt{x}+1=7\iff x+\sqrt{x}-6=0$

$\iff (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+3)=0$

Vì $\sqrt{x}+3>0$ nên $\sqrt{x}-2=0\iff x=4$ (t/m)

Vậy $P=\frac{2}{7}$khi x = 4.

c) Vì $x\ge 0\Rightarrow x+\sqrt{x}+1\ge 1$

$\begin{array}{l}\iff 0<\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}\le 2\iff 0<P\le 2\\ \iff P(P-2)\le 0\iff P^2-2P\le 0\\ \iff P^2\le 2P\end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi $P=2\iff x=0$

Vậy $P^2\le 2P$

Bài 2:

a) $2y^{2}x+x+y+1=x^2+2y^2+xy$

$\iff 2y^{2}x+x+y+1-x^2-2y^2-xy=0$

$\iff (x-1)(2y^2-y-x)=-1$

Vì $x,y\in \mathrm{Z}$ nên $x-1\in U(-1)=\left\{1;-1\right\}$

+ Nếu $x-1=1\Rightarrow x=2$

Khi đó $2y^2-y-2=-1$

$\iff y=1(t/m)$ hoặc $y=\frac{-1}{2}\notin \mathrm{Z}$ (loại)

+ Nếu $x-1=-1\Rightarrow x=0$

Khi đó $2y^2-y=1$

$\iff y=1(t/m)$ hoặc $y=\frac{-1}{2}\notin \mathrm{Z}$ (loại)

Vậy $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array};\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}$

b) Từ giả thiết
${\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

$\iff 2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=0$

Vì $a,b,c\ne 0$ nên $a+b+c=0$

$\begin{array}{l}\Rightarrow a+b=-c\\ \Rightarrow (a+b{)}^3=(-c{)}^3\\ \Rightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3\\ \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\end{array}$

Vậy $a^3+b^3+c^3⋮3$ với $a,b,c\in Z$

Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức

$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.

⇒ Trên đây là trích dẫn một phần lời giải Đề thi HSG Toán 9 cấp thành phố năm 2017 có đáp án Phòng GD&ĐT TP Thanh Hoá. Để xem đầy đủ và chi tiết đáp án các em vui lòng đăng nhập web Chúng tôi.net chọn tải về hoặc xem Online.