ÔN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHẦN SỐ HỌC
Các em có thể tải về hoặc xem Online để xem toàn bộ nội dung các câu hỏi của tài liệu Ôn thi học sinh giỏi lớp 9 phần Số học.
Câu 1: So sánh \(\sqrt {{{2017}^2} - 1} - \sqrt {{{2016}^2} - 1} \) và \(\frac{{2.2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1} + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}.\)
Hướng dẫn giải:
Ta có \(\sqrt {{{2015}^2} - 1} - \sqrt {{{2014}^2} - 1} = \frac{{(\sqrt {{{2017}^2} - 1} - \sqrt {{{2016}^2} - 1} )(\sqrt {{{2017}^2} - 1} + \sqrt {{{2016}^2} - 1} )}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1} + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)
\( = \frac{{({{2015}^2} - 1) - ({{2014}^2} - 1)}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1} + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }} = \frac{{{{2017}^2} - {{2016}^2}}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1} + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }} = \frac{{(2017 - 2016)(2017 + 2016)}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1} + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)
\( = \frac{{2017 + 2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1} + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }} > \frac{{2.2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1} + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)
Vậy \(\sqrt {{{2017}^2} - 1} - \sqrt {{{2016}^2} - 1} \) > \(\frac{{2.2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1} + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)
Câu 2: Biết \(\sqrt 5 \) là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn:
\(\frac{2}{{a + b\sqrt 5 }} - \frac{3}{{a - b\sqrt 5 }} = - 9 - 20\sqrt 5.\)
Hướng dẫn giải:
ĐK: \({\rm{ a}} \ne \pm b\sqrt 5 \) (*)
\(\begin{array}{l}\frac{2}{{a + b\sqrt 5 }} - \frac{3}{{a - b\sqrt 5 }} = - 9 - 20\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow 2(a - b\sqrt 5 ) - 3(a + b\sqrt 5 ) = - (9 + 20\sqrt 5 )(a + b\sqrt 5 )(a - b\sqrt 5 )\end{array}\)
\( \Leftrightarrow 9{a^2} - 45{b^2} - a = \sqrt 5 ( - 20{a^2} + 100{b^2} + 5b)\) (*)
Ta thấy (*) có dạng \(A = B\sqrt 5 \) trong đó A, B \( \in Q\), nếu \(B \ne 0\,thi\,\sqrt 5 = \frac{A}{B} \in I\) vô lí vậy B = 0 ⇒ A= 0.
Do đó (*)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 45{b^2} - a = 0\\ - 20{a^2} + 100{b^2} + 5b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 45{b^2} - a = 0\\ - 9{a^2} + 45{b^2} + \frac{9}{4}b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 45{b^2} - a = 0\\a = \frac{9}{4}b\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{4}b\\{b^2} - 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 4\end{array} \right.\,\,\,\,hoac \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\) (không t/m ĐK (*)).
Vậy a = 9; b = 4
Câu 3: Chứng minh rằng n3 - n chia hết cho 6 với mọi n \( \in \) Z.
Hướng dẫn giải:
P= n3 - n = n(n2 -1)
= n(n+1)(n-1)
Ta có n(n+1) \( \vdots \) 2 ⇒ P\( \vdots \) 2
n(n+1)(n-1) \( \vdots \) 3 ⇒ P\( \vdots \) 3
Mà (2,3) = 1 ⇒ P\( \vdots \) 6
Câu 4: Tìm số tự nhiên n sao cho n chỉ thỏa mãn hai trong ba tính chất sau:
- \(n + 8\) là số chính phương.
- \(n - 3\) là số chính phương.
- \(n\) chia hết cho 9.
Hướng dẫn giải:
Giả sử tìm được n thỏa tc3 ta đi chứng minh n không thỏa tính chất 1; 2.
\(n \vdots 9 \Rightarrow n \vdots 3 \Rightarrow n + 8\) chia cho 3 dư 2,
mà một số chính phương chỉ chia cho 3 dư 0 hoặc 1(*)
\( \Rightarrow \)\(n + 8\) không phải là số chính phương. vậy n không thỏa tc1
\(n \vdots 9 \Rightarrow n \vdots 3 \Rightarrow n - 3 \vdots 3\)
\(n \vdots 9\) mà 3 không chia hết cho 9 \( \Rightarrow n - 3\) không chia hết cho 9
Mà mọi số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9(**)
nên \(n - 3\) không là số chính phương vậy n không thỏa tc2.\(\)
n không thỏa tc 1,2 nên trái giả thiết.
(hs cần chứng minh (*) và (**) nếu không chứng minh thì trừ
0,25 đ cho cả hai phần này)
Ta đi tìm n thỏa mãn tc 1,2 (cho hs 0,75đ nếu làm được phần này mà không lập luận phần trên)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}n + 8 = {p^2}\\n - 3 = {k^2}\end{array} \right.\) (p; k \(\in \) N) \( \Rightarrow {p^2} - {k^2} = 11\)\( \Rightarrow (p - k)(p + k) = 11\)
Do p,k\( \in \)N \( \Rightarrow p + k \in N;p - k \in Z;p + k > p - k\);
Kết hợp với (1) \( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}p + k = 11\\p - k = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}p = 6 \\ k = 5\end{array} \right.\)
Câu 5: Giả sử N = 1.3.5.7…2007.
Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương.
Hướng dẫn giải:
2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – 1
Có 2N \(\vdots \) 3 \(\Rightarrow \) 2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k \(\in \)N)
\(\Rightarrow \) 2N-1 không là số chính phương.
Các em có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu tham khảo Toán 9 trên Chúng tôi.net.
Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kì thi!
