Ôn thi HSG Toán lớp 9 phần Số học

ÔN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHẦN SỐ HỌC

Các em có thể tải về hoặc xem Online để xem toàn bộ nội dung các câu hỏi của tài liệu Ôn thi học sinh giỏi lớp 9 phần Số học.

Câu 1: So sánh $\sqrt{{2017}^2-1}-\sqrt{{2016}^2-1}$ và $\frac{2.2016}{\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1}}.$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\sqrt{{2015}^2-1}-\sqrt{{2014}^2-1}=\frac{(\sqrt{{2017}^2-1}-\sqrt{{2016}^2-1})(\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1})}{\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1}}$

$=\frac{({2015}^2-1)-({2014}^2-1)}{\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1}}=\frac{{2017}^2-{2016}^2}{\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1}}=\frac{(2017-2016)(2017+2016)}{\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1}}$

$=\frac{2017+2016}{\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1}}>\frac{2.2016}{\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1}}$

Vậy $\sqrt{{2017}^2-1}-\sqrt{{2016}^2-1}$  >  $\frac{2.2016}{\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1}}$

 Câu 2:  Biết $\sqrt{5}$ là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn:

$\frac{2}{a+b\sqrt{5}}-\frac{3}{a-b\sqrt{5}}=-9-20\sqrt{5}.$

Hướng dẫn giải:

ĐK: $\mathrm{a}\ne \pm b\sqrt{5}$ (*)

 $\begin{array}{l}\frac{2}{a+b\sqrt{5}}-\frac{3}{a-b\sqrt{5}}=-9-20\sqrt{5}\\ \iff 2(a-b\sqrt{5})-3(a+b\sqrt{5})=-(9+20\sqrt{5})(a+b\sqrt{5})(a-b\sqrt{5})\end{array}$

$\iff 9a^2-45b^2-a=\sqrt{5}(-20a^2+100b^2+5b)$ (*)

Ta thấy (*) có dạng $A=B\sqrt{5}$ trong đó A, B $\in Q$, nếu $B\ne 0thi\sqrt{5}=\frac{A}{B}\in I$ vô lí vậy B = 0 ⇒ A= 0.

Do đó (*)$\iff \{\begin{array}{l}9a^2-45b^2-a=0\\ -20a^2+100b^2+5b=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}9a^2-45b^2-a=0\\ -9a^2+45b^2+\frac{9}{4}b=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}9a^2-45b^2-a=0\\ a=\frac{9}{4}b\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{9}{4}b\\ b^2-4b=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=9\\ b=4\end{array}hoac\{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\end{array}$ (không t/m ĐK (*)).

Vậy a = 9; b = 4

Câu 3: Chứng minh rằng  n³ - n chia hết cho 6 với mọi n $\in$ Z.

Hướng dẫn giải:

P= n³ - n = n(n² -1)

= n(n+1)(n-1)

Ta có n(n+1) $⋮$ 2 ⇒ P$⋮$ 2

       n(n+1)(n-1) $⋮$ 3 ⇒ P$⋮$ 3

Mà (2,3) = 1 ⇒  P$⋮$ 6

Câu 4:  Tìm số tự nhiên n sao cho n chỉ thỏa mãn hai trong ba tính chất sau:

1. $n+8$ là số chính phương.
2. $n-3$ là số chính phương.
3. $n$ chia hết cho 9.

Hướng dẫn giải:

Giả sử tìm được n thỏa tc3 ta đi chứng minh n không thỏa tính chất 1; 2.

$n⋮9\Rightarrow n⋮3\Rightarrow n+8$ chia cho 3 dư 2,

mà một số chính phương chỉ chia cho 3 dư 0 hoặc 1(*)

$\Rightarrow$$n+8$ không phải là số chính phương.  vậy n không thỏa tc1

$n⋮9\Rightarrow n⋮3\Rightarrow n-3⋮3$

 $n⋮9$ mà 3 không chia hết cho 9 $\Rightarrow n-3$ không chia hết cho 9

Mà mọi số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9(**)

nên $n-3$ không là số chính phương vậy n không thỏa tc2.$$

n không thỏa tc 1,2 nên trái giả thiết.

(hs cần chứng minh (*) và (**) nếu không chứng minh thì trừ

0,25 đ cho cả hai phần này)

Ta đi tìm n thỏa mãn tc 1,2 (cho hs 0,75đ nếu làm được phần này mà không lập luận phần trên)

Đặt $\{\begin{array}{l}n+8=p^2\\ n-3=k^2\end{array}$ (p; k $\in$ N) $\Rightarrow p^2-k^2=11$$\Rightarrow (p-k)(p+k)=11$

Do p,k$\in$N $\Rightarrow p+k\in N;p-k\in Z;p+k>p-k$;

Kết hợp với (1) $\Rightarrow$$\{\begin{array}{l}p+k=11\\ p-k=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}p=6\\ k=5\end{array}$

Câu 5:  Giả sử N = 1.3.5.7…2007.

Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương.

Hướng dẫn giải:

2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – 1

Có 2N $⋮$ 3 $\Rightarrow$ 2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2  (k $\in$N)

$\Rightarrow$ 2N-1 không là số chính phương.

Các em có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu tham khảo Toán 9 trên Chúng tôi.net.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kì thi!