Đề thi HSG Toán 9 năm 2017 Phòng GD&ĐT Vĩnh Lộc có đáp án

UBND HUYỆN VĨNH LỘC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016-2017

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

 

Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức \(P = \frac{{3x + \sqrt {9x}  - 3}}{{x + \sqrt x  - 2}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}}\)

a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.

b. Tìm x để P < 0

Bài 2: (4,0 điểm)

a. Giải phương trình: \({x^2} - 7x = 6\sqrt {x + 5}  - 30.\)

b. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng \((a + b).\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4\)

Bài 3: (4,0 điểm)

a. Tìm số tự nhiên n sao cho \(A = {n^2} + n + 6\) là số chính phương.

b. Cho các số dương x, y, z thoả mãn \({x^2} + {y^2} = {z^2}\). Chứng minh A = xy chia hết cho 12.

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA’, BB’, CC’.

a. Chứng minh \(\Delta ACC' \sim \Delta AB'B\)

b. Trên BB’ lấy M, trên CC’ lấy N sao cho \(\widehat {AMC} = \widehat {ANB} = {90^0}.\) Chứng minh rằng AM = AN.

c. Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng \({\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = 1 - \frac{{S'}}{S}\)

Bài 5: (2,0 điểm)

Cho x, y là các số dương thoả mãn \(x + y \ge \frac{{34}}{{35}}.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = 3x + 4y + \frac{2}{{5x}} + \frac{8}{{7y}}\)  


Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 huyện Vĩnh Lộc:

Câu a: (2,0 điểm)

Tìm được ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 0\)

Ta có:

\(\frac{{3x + \sqrt {9x}  - 3}}{{x + \sqrt x  - 2}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}}\)

\( = \frac{{3x + 3\sqrt x  - 3}}{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 1)}} - \frac{{(\sqrt x  + 1)(\sqrt x  - 1)}}{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 1)}} - \frac{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt x  + 2)}}{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 1)}}\)

\( = \frac{{3x + 3\sqrt x  - 3 - x + 1 - x + 4}}{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 1)}} = \frac{{x + 3\sqrt x  + 2}}{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 1)}}\)

\( = \frac{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  + 1)}}{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 1)}} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\)

Câu b: (2,0 điểm)

Ta có: P < 0

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} < 0\\ \Rightarrow \sqrt x  - 1 < 0 & (do & \sqrt x  + 1 > 0)\\ \Rightarrow \sqrt x  < 1\\ \Rightarrow x < 1\end{array}\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta được: với \(0 \le x < 1\) thì P < 0.

⇒ Trên đây là một phần trích lời giải và nội dung Đề thi HSG Toán 9 năm 2017 có đáp án Phòng GD&ĐT Vĩnh Lộc. Để xem toàn bộ nội dung lời giải chi tiết bằng cách đăng nhập vào web Chúng tôi.net để tải về máy tính hoặc xem Online.

Tham khảo thêm

Bình luận

Có Thể Bạn Quan Tâm ?