Đề thi HSG Toán 9 năm 2017 Phòng GD&ĐT Vĩnh Lộc có đáp án

UBND HUYỆN VĨNH LỘC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016-2017

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức $P=\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}$

a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.

b. Tìm x để P < 0

Bài 2: (4,0 điểm)

a. Giải phương trình: $x^2-7x=6\sqrt{x+5}-30.$

b. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng $(a+b).\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$

Bài 3: (4,0 điểm)

a. Tìm số tự nhiên n sao cho $A=n^2+n+6$ là số chính phương.

b. Cho các số dương x, y, z thoả mãn $x^2+y^2=z^2$. Chứng minh A = xy chia hết cho 12.

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA’, BB’, CC’.

a. Chứng minh $\mathrm{\Delta }AC{C}^{\prime }\sim \mathrm{\Delta }A{B}^{\prime }B$

b. Trên BB’ lấy M, trên CC’ lấy N sao cho $\widehat{AMC}=\widehat{ANB}={90}^0.$ Chứng minh rằng AM = AN.

c. Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng ${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C=1-\frac{S^{\prime }}{S}$

Bài 5: (2,0 điểm)

Cho x, y là các số dương thoả mãn $x+y\ge \frac{34}{35}.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=3x+4y+\frac{2}{5x}+\frac{8}{7y}$  

Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 huyện Vĩnh Lộc:

Câu a: (2,0 điểm)

Tìm được ĐKXĐ: $x\ge 0,x\ne 0$

Ta có:

$\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}$

$=\frac{3x+3\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)}-\frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)}-\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)}$

$=\frac{3x+3\sqrt{x}-3-x+1-x+4}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)}=\frac{x+3\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)}$

$=\frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$

Câu b: (2,0 điểm)

Ta có: P < 0

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}<0\\ \Rightarrow \sqrt{x}-1<0& (do& \sqrt{x}+1>0)\\ \Rightarrow \sqrt{x}<1\\ \Rightarrow x<1\end{array}$

Kết hợp với ĐKXĐ ta được: với $0\le x<1$ thì P < 0.

⇒ Trên đây là một phần trích lời giải và nội dung Đề thi HSG Toán 9 năm 2017 có đáp án Phòng GD&ĐT Vĩnh Lộc. Để xem toàn bộ nội dung lời giải chi tiết bằng cách đăng nhập vào web Chúng tôi.net để tải về máy tính hoặc xem Online.