PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: 4,0 điểm (mỗi câu đúng được 0, 5 điểm)
Thí sinh chọn đáp án đúng và viết kết quả vào tờ giấy thi
Câu 1: Với \(\sqrt {{{(1 - 3x)}^2}} = 4\), ta có:
A, \(x = - 1\) B, \(x = - \frac{5}{3}\)
C, \({x_1} = 1;{x_2} = - \frac{5}{3}\) D, \({x_1} = - 1;{x_2} = \frac{5}{3}\)
Câu 2: Biểu thức \(\sqrt {\frac{{{x^2}}}{y}} ,(y > 0)\) bằng biểu thức nào sau đây:
A, \(\frac{x}{y}\) B, \(\frac{{\left| x \right|}}{y}\)
C, \(\frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt y }}\) D, \( - \frac{{\left| x \right|}}{y}\)
Câu 3: Rút gọn biểu thức: \(\frac{{ - 12}}{{1 - a}}\sqrt {\frac{{{a^2} - 2a + 1}}{4}} \) với a>1, được kết quả là:
A, 6 B, -6 C, 6(1-a) D, Một kết quả khác
Câu 4: Rút gọn biểu thức \(\frac{{1 - {a^2}}}{{48}}\sqrt {\frac{{36}}{{{{(a - 1)}^2}}}} \) với a<1, được kết quả là:
A, \(\frac{1}{8}\) B,\( - \frac{1}{8}\)
C, \(\frac{1}{8}(1 + a)\) D,\(\frac{1}{8}(1 - {a^2})\)
Câu 5: Rút gọn biểu thức \(E = \frac{{a - b}}{{\sqrt a }}\sqrt {\frac{{a.b}}{{{{(a - b)}^2}}}} \)với 0 < a < b, được kết quả là:
A, \(E = \sqrt b \) B, \(E = - \sqrt b \)
C, \(E = - a\sqrt b \) D, \(E = a\sqrt b \)
Câu 6: Cho biểu thức \(\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}.\) Điều kiện xác định của biểu thức là:
A, \(x > 4\) B, \(x > 0\) và \(x \ne 4\)
C, \(x \ge 0\) D, \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\)
Câu 7: Cho hình vẽ bên có cạnh huyền dài 3cm, góc nhọn \({65^0}\). Độ dài cạnh góc vuông kề với góc \({65^0}\) gần bằng giá trị nào sau đây.
A, 1cm B, 2cm C, 1,2cm D, 1,27cm.
Câu 8: Cho tam giác ABC có \(\widehat {\rm{A}} = {90^0}\), AH vuông góc với BC, sinB = 0,6. Kết quả nào sau đây là sai:
A, \({\rm{cosC = }}\frac{{AH}}{{AC}}\)
B, \({\rm{cosC = sin}}\widehat {HAC}\)
C, \({\rm{cosC = 0,6}}\)
D,\({\rm{cosC = }}\frac{{CH}}{{AC}}\)
II. PHẦN TỰ LUẬN: (16,0điểm)
Bài 1: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng có dạng \({n^6} - {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2}\) trong đó \(n \in {\rm N}\) và n>1 không phải là số chính phương.
Bài 2: (4,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = \frac{{y\sqrt {x - 1} + x\sqrt {y - 4} }}{{xy}}\)
Bài 3: (4,0 điểm)
Chứng minh rằng nếu \(\frac{{{x^2} - yz}}{{x(1 - yz)}} = \frac{{{y^2} - xz}}{{y(1 - xz)}}\) với \(x \ne y,yz \ne 1xz \ne 1,x \ne 0,y \ne 0,z \ne 0\) thì \(x + y + z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC; OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M, MB cắt CH tại K.
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O; R).
c) Chứng minh K là trung điểm của CH
d) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.
Hướng dẫn giải:
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: 4,0 điểm (mỗi câu đúng được 0, 5 điểm)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Đáp án | D | C | A | C | A | D | D | A |
II. PHẦN TỰ LUẬN: (16,0điểm)
Bài 1:
\({n^6}-{n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} = {n^2}{\rm{ }}.\left( {{n^4}-{n^2} + 2n + 2} \right)\).
\( = {n^2}{\rm{ }}.\left[ {{n^2}\left( {n - 1} \right)\left( {n + {\rm{ }}1} \right) + 2\left( {n + {\rm{ }}1} \right)} \right]\)
\( = {n^2}.\left[ {\left( {n + {\rm{ }}1} \right)\left( {{n^3}{\rm{ }}-{n^2}{\rm{ }} + 2} \right)} \right]\)
\( = {n^2}\left( {n + {\rm{ }}1} \right).\left[ {\left( {{n^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)-\left( {{n^2}{\rm{ }} - 1} \right)} \right]\)
\(= {n^2}\left( {n + 1} \right){}^2{\rm{ }}.\left( {{n^2}-2n + 2} \right)\)
Với \(n \in {\rm N},n > 1\) thì \({n^2} - 2n + 2 = {(n - 1)^2} + 1 > {(n - 1)^2}\)
Và \({n^2} - 2n + 2 = {n^2} - 2(n - 1) < {n^2}\)
Vậy \({(n - 1)^2} < {n^2} - 2n + 2 < {n^2} \Rightarrow {n^2} - 2n + 2\) không phải là một số chính phương.
Trên đây là nội dung đề thi và đoạn trích hướng dẫn giải đề thi HSG lớp 9 môn Toán năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Phù Ninh. Để xem toàn bộ nội dung lời giải các em vui lòng đăng nhập vào Chúng tôi.net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.
