Đề thi HSG Toán 9 năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Phù Ninh có đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: 4,0 điểm (mỗi câu đúng được 0, 5 điểm)

Thí sinh chọn đáp án đúng và viết kết quả vào tờ giấy thi

Câu 1: Với \(\sqrt {{{(1 - 3x)}^2}}  = 4\), ta có:

A, \(x =  - 1\)                                                           B, \(x =  - \frac{5}{3}\)

C, \({x_1} = 1;{x_2} =  - \frac{5}{3}\)                                             D, \({x_1} =  - 1;{x_2} = \frac{5}{3}\)

Câu 2: Biểu thức \(\sqrt {\frac{{{x^2}}}{y}} ,(y > 0)\) bằng biểu thức nào sau đây:

A, \(\frac{x}{y}\)                                                      B, \(\frac{{\left| x \right|}}{y}\)

C, \(\frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt y }}\)                                                D, \( - \frac{{\left| x \right|}}{y}\)

Câu 3: Rút gọn biểu thức: \(\frac{{ - 12}}{{1 - a}}\sqrt {\frac{{{a^2} - 2a + 1}}{4}} \) với a>1, được kết quả là:

A, 6            B, -6                     C, 6(1-a)                       D, Một kết quả khác

Câu 4: Rút gọn biểu thức \(\frac{{1 - {a^2}}}{{48}}\sqrt {\frac{{36}}{{{{(a - 1)}^2}}}} \) với a<1, được kết quả là:

A, \(\frac{1}{8}\)                                        B,\( - \frac{1}{8}\)                  

C, \(\frac{1}{8}(1 + a)\)                              D,\(\frac{1}{8}(1 - {a^2})\)

Câu 5: Rút gọn biểu thức \(E = \frac{{a - b}}{{\sqrt a }}\sqrt {\frac{{a.b}}{{{{(a - b)}^2}}}} \)với 0 < a < b, được kết quả là:

A, \(E = \sqrt b \)                              B, \(E =  - \sqrt b \)

C, \(E =  - a\sqrt b \)                         D, \(E = a\sqrt b \)

Câu 6: Cho biểu thức \(\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}.\) Điều kiện xác định của biểu thức là:

A, \(x > 4\)                    B, \(x > 0\) và \(x \ne 4\)

C, \(x \ge 0\)                  D, \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\)

Câu 7: Cho hình vẽ bên có cạnh huyền dài 3cm, góc nhọn \({65^0}\). Độ dài cạnh góc vuông kề với góc \({65^0}\) gần bằng giá trị nào sau đây.

A, 1cm                 B, 2cm                 C, 1,2cm              D, 1,27cm.

Câu 8: Cho tam giác ABC có \(\widehat {\rm{A}} = {90^0}\), AH vuông góc với BC, sinB = 0,6. Kết quả nào sau đây là sai:

A, \({\rm{cosC = }}\frac{{AH}}{{AC}}\)                     

B, \({\rm{cosC = sin}}\widehat {HAC}\)

C, \({\rm{cosC = 0,6}}\)                                        

D,\({\rm{cosC = }}\frac{{CH}}{{AC}}\)
 

II. PHẦN TỰ LUẬN: (16,0điểm)

Bài 1: (2,0 điểm)

Chứng minh rằng có dạng \({n^6} - {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2}\) trong đó \(n \in {\rm N}\) và n>1 không phải là số chính phương.

Bài 2: (4,0 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = \frac{{y\sqrt {x - 1}  + x\sqrt {y - 4} }}{{xy}}\)

Bài 3: (4,0 điểm)

Chứng minh rằng nếu \(\frac{{{x^2} - yz}}{{x(1 - yz)}} = \frac{{{y^2} - xz}}{{y(1 - xz)}}\) với \(x \ne y,yz \ne 1xz \ne 1,x \ne 0,y \ne 0,z \ne 0\) thì \(x + y + z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC; OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M, MB cắt CH tại K.

a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O; R).

c) Chứng minh K là trung điểm của CH

d) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.


Hướng dẫn giải:

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: 4,0 điểm (mỗi câu đúng được 0, 5 điểm)

Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

Đáp án

D

C

A

C

A

D

D

A

 

II. PHẦN TỰ LUẬN: (16,0điểm)

Bài 1:

\({n^6}-{n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} = {n^2}{\rm{ }}.\left( {{n^4}-{n^2} + 2n + 2} \right)\).

\( = {n^2}{\rm{ }}.\left[ {{n^2}\left( {n - 1} \right)\left( {n + {\rm{ }}1} \right) + 2\left( {n + {\rm{ }}1} \right)} \right]\)

\( = {n^2}.\left[ {\left( {n + {\rm{ }}1} \right)\left( {{n^3}{\rm{ }}-{n^2}{\rm{ }} + 2} \right)} \right]\)

\( = {n^2}\left( {n + {\rm{ }}1} \right).\left[ {\left( {{n^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)-\left( {{n^2}{\rm{ }} - 1} \right)} \right]\)

\(= {n^2}\left( {n + 1} \right){}^2{\rm{ }}.\left( {{n^2}-2n + 2} \right)\)

Với \(n \in {\rm N},n > 1\) thì \({n^2} - 2n + 2 = {(n - 1)^2} + 1 > {(n - 1)^2}\)

Và \({n^2} - 2n + 2 = {n^2} - 2(n - 1) < {n^2}\)

Vậy \({(n - 1)^2} < {n^2} - 2n + 2 < {n^2} \Rightarrow {n^2} - 2n + 2\) không phải là một số chính phương.

Trên đây là nội dung đề thi và đoạn trích hướng dẫn giải đề thi HSG lớp 9 môn Toán năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Phù Ninh. Để xem toàn bộ nội dung lời giải các em vui lòng đăng nhập vào Chúng tôi.net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.

Tham khảo thêm

Bình luận

Có Thể Bạn Quan Tâm ?