Đề thi HSG Toán 9 năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Phù Ninh có đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: 4,0 điểm (mỗi câu đúng được 0, 5 điểm)

Thí sinh chọn đáp án đúng và viết kết quả vào tờ giấy thi

Câu 1: Với $\sqrt{{(1-3x)}^2}=4$, ta có:

A, $x=-1$                                                           B, $x=-\frac{5}{3}$

C, $x_1=1;x_2=-\frac{5}{3}$                                             D, $x_1=-1;x_2=\frac{5}{3}$

Câu 2: Biểu thức $\sqrt{\frac{x^2}{y}},(y>0)$ bằng biểu thức nào sau đây:

A, $\frac{x}{y}$                                                      B, $\frac{\left|x\right|}{y}$

C, $\frac{\left|x\right|}{\sqrt{y}}$                                                D, $-\frac{\left|x\right|}{y}$

Câu 3: Rút gọn biểu thức: $\frac{-12}{1-a}\sqrt{\frac{a^2-2a+1}{4}}$ với a>1, được kết quả là:

A, 6            B, -6                     C, 6(1-a)                       D, Một kết quả khác

Câu 4: Rút gọn biểu thức $\frac{1-a^2}{48}\sqrt{\frac{36}{{(a-1)}^2}}$ với a<1, được kết quả là:

A, $\frac{1}{8}$                                        B,$-\frac{1}{8}$                  

C, $\frac{1}{8}(1+a)$                              D,$\frac{1}{8}(1-a^2)$

Câu 5: Rút gọn biểu thức $E=\frac{a-b}{\sqrt{a}}\sqrt{\frac{a.b}{{(a-b)}^2}}$với 0 < a < b, được kết quả là:

A, $E=\sqrt{b}$                              B, $E=-\sqrt{b}$

C, $E=-a\sqrt{b}$                         D, $E=a\sqrt{b}$

Câu 6: Cho biểu thức $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}.$ Điều kiện xác định của biểu thức là:

A, $x>4$                    B, $x>0$ và $x\ne 4$

C, $x\ge 0$                  D, $x\ge 0$ và $x\ne 4$

Câu 7: Cho hình vẽ bên có cạnh huyền dài 3cm, góc nhọn ${65}^0$. Độ dài cạnh góc vuông kề với góc ${65}^0$ gần bằng giá trị nào sau đây.

A, 1cm                 B, 2cm                 C, 1,2cm              D, 1,27cm.

Câu 8: Cho tam giác ABC có $\hat{\mathrm{A}}={90}^0$, AH vuông góc với BC, sinB = 0,6. Kết quả nào sau đây là sai:

A, $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{C}=\frac{AH}{AC}$                     

B, $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{C}=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\widehat{HAC}$

C, $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{C}=0,6$                                        

D,$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{C}=\frac{CH}{AC}$
 

II. PHẦN TỰ LUẬN: (16,0điểm)

Bài 1: (2,0 điểm)

Chứng minh rằng có dạng $n^6-n^4+2n^3+2n^2$ trong đó $n\in \mathrm{N}$ và n>1 không phải là số chính phương.

Bài 2: (4,0 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M=\frac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-4}}{xy}$

Bài 3: (4,0 điểm)

Chứng minh rằng nếu $\frac{x^2-yz}{x(1-yz)}=\frac{y^2-xz}{y(1-xz)}$ với $x\ne y,yz\ne 1xz\ne 1,x\ne 0,y\ne 0,z\ne 0$ thì $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC; OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M, MB cắt CH tại K.

a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O; R).

c) Chứng minh K là trung điểm của CH

d) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.

Hướng dẫn giải:

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: 4,0 điểm (mỗi câu đúng được 0, 5 điểm)

II. PHẦN TỰ LUẬN: (16,0điểm)

Bài 1:

$n^6-n^4+2n^3+2n^2=n^2.\left(n^4-n^2+2n+2\right)$.

$=n^2.\left[n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]$

$=n^2.\left[\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)\right]$

$=n^2\left(n+1\right).\left[\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)\right]$

$=n^2\left(n+1\right){}^2.\left(n^2-2n+2\right)$

Với $n\in \mathrm{N},n>1$ thì $n^2-2n+2=(n-1{)}^2+1>(n-1{)}^2$

Và $n^2-2n+2=n^2-2(n-1)<n^2$

Vậy $(n-1{)}^2<n^2-2n+2<n^2\Rightarrow n^2-2n+2$ không phải là một số chính phương.

Trên đây là nội dung đề thi và đoạn trích hướng dẫn giải đề thi HSG lớp 9 môn Toán năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Phù Ninh. Để xem toàn bộ nội dung lời giải các em vui lòng đăng nhập vào Chúng tôi.net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.