Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Thạch Hà có đáp án

 

PHÒNG GD&ĐT THẠCH HÀ

 

ĐỀ CHÍNH THỨC

 

 

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2016 – 2017

Môn thi: Toán 9

Thời gian làm bài 150 phút

 

Câu 1:

      a. Tính giá trị của đa thức \(f(x) = {({x^4} - 3x + 1)^{2016}}\) tại \(x = 9 - \frac{1}{{\sqrt {\frac{9}{4} - \sqrt 5 } }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{9}{4} + \sqrt 5 } }}\)

      b. So sánh \(\sqrt {{{2017}^2} - 1}  - \sqrt {{{2016}^2} - 1} \) và  \(\frac{{2.2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)

      c. Tính giá trị biểu thức: \(\sin x.\cos x + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cot x}} + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + \tan x}}\)  với  \({0^0} < x < {\rm{ }}{90^0}\)

      d.  Biết \(\sqrt 5 \) là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: \(\frac{2}{{a + b\sqrt 5 }} - \frac{3}{{a - b\sqrt 5 }} =  - 9 - 20\sqrt 5 \)

Câu 2: Giải các phương trình sau:

      a. \(\frac{3}{{x - 3}} - \frac{2}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{2} - \frac{{x - 3}}{3}\)

      b.  \({x^{\rm{2}}} - 5x + 8 = 2\sqrt {x - 2} \)

Câu 3:

      a. Cho đa thức \(P\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}a{x^3} + {\rm{ }}b{x^2} + {\rm{ }}cx{\rm{ }} + {\rm{ }}d\) với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5

     b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \({x^2}-{\rm{ }}xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

      c. Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 + 4n  là hợp số.

Câu 4:

  1. Chứng minh rằng  \[\frac{{{a^4} + {b^4}}}{2} \ge a{b^3} + {a^3}b - {a^2}{b^2}\]
  2. Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{a  +  b  +  1}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{b  +  c  +  1}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{c  +  a  +  1}}}}{\rm{ =  2}}\)

Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a).

Câu 5: Cho \(\Delta {\rm{ABC}}\) nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC lần lượt là E và F

  1. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC
  2. Giả sử HD = \(\frac{1}{3}\)AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3
  3. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK. Chứng minh rằng: 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng.

Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 Phòng GD&ĐT Thạch Hà:

Câu 1:

a)

\(x = 9 - \sqrt {{{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5  - 2}}} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5  + 2}}} \right)}^2}} \)

\( = 9 - \frac{2}{{\sqrt 5  - 2}} + \frac{2}{{\sqrt 5  + 2}} = 9 - \frac{{2\sqrt 5  + 4 - 2\sqrt 5  + 4}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - {2^2}}} = 9 - 8 = 1\)

\(f(x) = f(1) = 1\)

b)

Ta có \(\sqrt {{{2015}^2} - 1}  - \sqrt {{{2014}^2} - 1}  = \frac{{(\sqrt {{{2017}^2} - 1}  - \sqrt {{{2016}^2} - 1} )(\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} )}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)

\( = \frac{{({{2015}^2} - 1) - ({{2014}^2} - 1)}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }} = \frac{{{{2017}^2} - {{2016}^2}}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }} = \frac{{(2017 - 2016)(2017 + 2016)}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)

\( = \frac{{2017 + 2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }} > \frac{{2.2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)

Vậy \(\sqrt {{{2017}^2} - 1}  - \sqrt {{{2016}^2} - 1}  > \frac{{2.2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)  

c)

\(\sin x.\cos x + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \frac{{\cos x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}}} + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}\)

\( = \sin x.\cos x + \frac{{{{\sin }^3}x}}{{1 + {\mathop{\rm c}\nolimits} {\rm{os}}x}} + \frac{{{{\cos }^3}x}}{{{\rm{1 + sinx}}}}\)

\( = \sin x.\cos x + \frac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm c}\nolimits} {\rm{os}}x}} = \sin x.\cos x + \frac{{\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.\cos x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm c}\nolimits} {\rm{os}}x}}\)

\( = \sin x.\cos x + 1 - \sin x.\cos x = 1\)

d)

ĐK: \({\rm{ a}} \ne  \pm b\sqrt 5 \) (*)

\(\begin{array}{l}\frac{2}{{a + b\sqrt 5 }} - \frac{3}{{a - b\sqrt 5 }} =  - 9 - 20\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow 2(a - b\sqrt 5 ) - 3(a + b\sqrt 5 ) =  - (9 + 20\sqrt 5 )(a + b\sqrt 5 )(a - b\sqrt 5 )\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 9{a^2} - 45{b^2} - a = \sqrt 5 ( - 20{a^2} + 100{b^2} + 5b)  (*)\)

Ta thấy (*) có dạng \(A = B\sqrt 5 \) trong đó A, B \( \in Q\), nếu \(B \ne 0\,thi\,\sqrt 5  = \frac{A}{B} \in I\) vô lí vậy B = 0 ⇒ A= 0.

Do đó (*)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 45{b^2} - a = 0\\ - 20{a^2} + 100{b^2} + 5b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 45{b^2} - a = 0\\ - 9{a^2} + 45{b^2} + \frac{9}{4}b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 45{b^2} - a = 0\\a = \frac{9}{4}b\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{4}b\\{b^2} - 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 4\end{array} \right.\,\,\,\,hoac\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\) (không t/m ĐK (*)).

Vậy a = 9; b = 4

 

Trên đây là một phần trích lời giải của đề thi HSG Toán 9 Phòng GD&ĐT Thạch Hà. Để xem tiếp nội dung các em vui lòng đăng nhập vào website Chúng tôi.Net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.

Tham khảo thêm

Bình luận

Có Thể Bạn Quan Tâm ?