Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Thạch Hà có đáp án

Câu 1:

      a. Tính giá trị của đa thức $f(x)=(x^4-3x+1{)}^{2016}$ tại $x=9-\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{4}-\sqrt{5}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{4}+\sqrt{5}}}$

      b. So sánh $\sqrt{{2017}^2-1}-\sqrt{{2016}^2-1}$ và  $\frac{2.2016}{\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1}}$

      c. Tính giá trị biểu thức: $\sin x.\cos x+\frac{{\sin }^{2}x}{1+\cot x}+\frac{{\cos }^{2}x}{1+\tan x}$  với  $0^0<x<{90}^0$

      d.  Biết $\sqrt{5}$ là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: $\frac{2}{a+b\sqrt{5}}-\frac{3}{a-b\sqrt{5}}=-9-20\sqrt{5}$

Câu 2: Giải các phương trình sau:

      a. $\frac{3}{x-3}-\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{2}-\frac{x-3}{3}$

      b.  $x^2-5x+8=2\sqrt{x-2}$

Câu 3:

      a. Cho đa thức $P\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5

     b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2-xy+y^2-4=0$

      c. Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n⁴ + 4ⁿ  là hợp số.

Câu 4:

1. Chứng minh rằng  $$\frac{a^4+b^4}{2}\ge a{b}^3+a^{3}b-a^2{b}^2$$
2. Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{\mathrm{a}+\mathrm{b}+1}+\frac{1}{\mathrm{b}+\mathrm{c}+1}+\frac{1}{\mathrm{c}+\mathrm{a}+1}=2$

Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a).

Câu 5: Cho $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC lần lượt là E và F

1. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC
2. Giả sử HD = $\frac{1}{3}$AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3
3. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK. Chứng minh rằng: 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng.

Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 Phòng GD&ĐT Thạch Hà:

Câu 1:

a)

$x=9-\sqrt{{\left(\frac{2}{\sqrt{5}-2}\right)}^2}+\sqrt{{\left(\frac{2}{\sqrt{5}+2}\right)}^2}$

$=9-\frac{2}{\sqrt{5}-2}+\frac{2}{\sqrt{5}+2}=9-\frac{2\sqrt{5}+4-2\sqrt{5}+4}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2^2}=9-8=1$

$f(x)=f(1)=1$

b)

Ta có $\sqrt{{2015}^2-1}-\sqrt{{2014}^2-1}=\frac{(\sqrt{{2017}^2-1}-\sqrt{{2016}^2-1})(\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1})}{\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1}}$

$=\frac{({2015}^2-1)-({2014}^2-1)}{\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1}}=\frac{{2017}^2-{2016}^2}{\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1}}=\frac{(2017-2016)(2017+2016)}{\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1}}$

$=\frac{2017+2016}{\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1}}>\frac{2.2016}{\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1}}$

Vậy $\sqrt{{2017}^2-1}-\sqrt{{2016}^2-1}>\frac{2.2016}{\sqrt{{2017}^2-1}+\sqrt{{2016}^2-1}}$  

c)

$\sin x.\cos x+\frac{{\sin }^{2}x}{1+\frac{\cos x}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}}+\frac{{\cos }^{2}x}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}$

$=\sin x.\cos x+\frac{{\sin }^{3}x}{1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x}+\frac{{\cos }^{3}x}{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}$

$=\sin x.\cos x+\frac{{\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x}=\sin x.\cos x+\frac{\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}+\cos x\right)\left({\sin }^{2}x-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}.\cos x+{\cos }^{2}x\right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x}$

$=\sin x.\cos x+1-\sin x.\cos x=1$

d)

ĐK: $\mathrm{a}\ne \pm b\sqrt{5}$ (*)

$\begin{array}{l}\frac{2}{a+b\sqrt{5}}-\frac{3}{a-b\sqrt{5}}=-9-20\sqrt{5}\\ \iff 2(a-b\sqrt{5})-3(a+b\sqrt{5})=-(9+20\sqrt{5})(a+b\sqrt{5})(a-b\sqrt{5})\end{array}$

$\iff 9a^2-45b^2-a=\sqrt{5}(-20a^2+100b^2+5b)(\ast )$

Ta thấy (*) có dạng $A=B\sqrt{5}$ trong đó A, B $\in Q$, nếu $B\ne 0thi\sqrt{5}=\frac{A}{B}\in I$ vô lí vậy B = 0 ⇒ A= 0.

Do đó (*)$\iff \{\begin{array}{l}9a^2-45b^2-a=0\\ -20a^2+100b^2+5b=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}9a^2-45b^2-a=0\\ -9a^2+45b^2+\frac{9}{4}b=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}9a^2-45b^2-a=0\\ a=\frac{9}{4}b\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{9}{4}b\\ b^2-4b=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=9\\ b=4\end{array}hoac\{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\end{array}$ (không t/m ĐK (*)).

Vậy a = 9; b = 4

Trên đây là một phần trích lời giải của đề thi HSG Toán 9 Phòng GD&ĐT Thạch Hà. Để xem tiếp nội dung các em vui lòng đăng nhập vào website Chúng tôi.Net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.