| PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA
ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) |
Bài 1: (3,0 điểm)
Cho biểu thức \(A = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} + 1}} + \frac{1}{2}.(\frac{1}{{1 + \sqrt {x + 2} }} + \frac{1}{{1 - \sqrt {x + 2} }})\)
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 2: (6,0 điểm)
a) Giải phương trình: \({x^2} + 2015x - 2014 = 2\sqrt {2017x - 2016} \).
b) Chứng minh rằng: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le - 2\) biết \({x^3} + {\rm{ }}{y^3} + {\rm{ }}3({x^2} + {y^2}){\rm{ }} + {\rm{ }}4(x + {\rm{ }}y){\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) và x.y > 0.
c) Cho x; y; z thỏa mãn \(\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right):\left( {\frac{1}{{x + y + z}}} \right) = 1\).
Tính giá trị của biểu thức \(B = \left( {{x^{21}} + {y^{21}}} \right)\left( {{y^{11}} + {z^{11}}} \right)\left( {{z^{2017}} + {x^{2017}}} \right)\).
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Với n chẵn (n\( \in \)N) chứng minh rằng: \(\left( {{{20}^n} + {\rm{ }}{{16}^n}--{\rm{ }}{3^n}-{\rm{ }}1} \right) \vdots 323\)
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: \((y + 2){x^{2017}} - {y^2} - 2y - 1 = 0\)
Bài 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Chứng minh SAHG = 2SAGO
b) Chứng minh\(\frac{{HD}}{{AD}} + \frac{{HE}}{{BE}} + \frac{{HF}}{{CF}} = 1\)
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. C và D là hai điểm nằm trên nửa đường tròn đó sao cho góc\(CAB = {45^0}\), góc\(DAB = {30^0}\). AC cắt BD tại M. Tính diện tích tam giác ABM theo R.
Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 cấp huyện phòng GD&ĐT Tư Nghĩa:
Câu 1:
a)
Điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa :\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\{x^3} + 1 \ne 0\\\sqrt {x + 2} \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x \ne - 1\end{array} \right.\)
b)
Rút gọn biểu thức A
\(A = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} + 1}} + \frac{1}{2}.(\frac{1}{{1 + \sqrt {x + 2} }} + \frac{1}{{1 - \sqrt {x + 2} }}) = \frac{{x({x^{}} - 2)}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}} + \frac{1}{2}.\frac{2}{{1 - (x + 2)}}\)
\( = \frac{{x({x^{}} - 2)}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{x({x^{}} - 2) - ({x^2} - x + 1)}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}}\)
\( = \frac{{ - (x + 1)}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}} = \frac{{ - 1}}{{{x^2} - x + 1}}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Ta có \(A = \frac{{ - 1}}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{{ - 1}}{{{{(x - \frac{1}{2})}^2} + \frac{3}{4}}}\)
Ta có A nhỏ nhất khi \({(x - \frac{1}{2})^2} + \frac{3}{4}\) đạt giá trị nhỏ nhất
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của là A là \(\frac{{ - 4}}{3}\) khi \(x - \frac{1}{2}\) = 0\( \Leftrightarrow \)\(x = \frac{1}{2}\)
Trên đây là một phần trích lời giải của Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2016-2017 có đáp án Phòng GD&ĐT Tư Nghĩa. Để xem tiếp nội dung các em vui lòng đăng nhập vào website Chúng tôi.Net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.
