Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Trực Ninh có đáp án

Bài 1 (4,0 điểm).

1) Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt 5  + 3}}{{\sqrt 2  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2  - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}\)

2) Cho\(A = \frac{{{x^2} - \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 1}}\)

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B

Bài 2 (4,0 điểm). Giải phương trình

1) Giải phương trình :\(\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} }  + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} }  = \frac{{x + 3}}{2}\)

2) Giải phương trình: \(\sqrt {2{x^2} + 5x + 12}  + \sqrt {2{x^2} + 3x + 2}  = x + 5\).

Bài 3  (3,0 điểm).

1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên.

     2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình\({x^2} - 25 = y(y + 6)\)

Bài 4 (7,0 điểm)

       Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của DH.

a) Chứng minh \(\widehat {CIJ} = \widehat {CBH}\)

b) Chứng minh \(\Delta \)CJH đồng dạng với \(\Delta \)HIB

c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC²

d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5 (2,0 điểm). Cho \(a,b,c > 0\). Chứng minh rằng \(\sqrt {\frac{a}{{b + c}}}  + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}}  + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}}  > 2\).

Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 cấp huyện Trực Ninh:

Bài 1:

1.  Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt 5  + 3}}{{\sqrt 2  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2  - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}\)

\(A = \frac{{\sqrt 5  + 3}}{{\sqrt 2  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2  - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}\) \( = \frac{{\sqrt 2 (\sqrt 5  + 3)}}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{\sqrt 2 (3 - \sqrt 5 )}}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}\)

\(A = \frac{{\sqrt 2 (\sqrt 5  + 3)}}{{2 + \sqrt {{{(\sqrt 5  + 1)}^2}} }} + \frac{{\sqrt 2 (3 - \sqrt 5 )}}{{2 - \sqrt {{{(\sqrt 5  - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 (\sqrt 5  + 3)}}{{\sqrt 5  + 3}} + \frac{{\sqrt 2 (3 - \sqrt 5 )}}{{3 - \sqrt 5 }}\)

\(A = 2\sqrt 2 \)

2. \(A = \frac{{{x^2} - \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 1}}\)

a) ĐKXĐ: \(x \ge 0\)

\(A = \frac{{{x^2} - \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt {{x^3}}  - 1} \right)}}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt {{x^3}}  + 1} \right)}}{{x - \sqrt x  + 1}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}{{x - \sqrt x  + 1}}\)

\( = \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) - \sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) = x - \sqrt x  - x - \sqrt x  =  - 2\sqrt x \)

. b)  \(B{\rm{ }} = {\rm{ }}A{\rm{ }} + {\rm{ }}x{\rm{ }}--{\rm{ }}1 =  - 2\sqrt x  + x - 1 = x - 2\sqrt x  - 1 = {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} - 2 \ge  - 2\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) ( TM ĐKXĐ)

Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1
 

Trên đây là một phần trích đáp án chi tiết của Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2016-2017 có đáp án Phòng GD&ĐT Trực Ninh. Để xem tiếp nội dung các em vui lòng đăng nhập vào website Chúng tôi.Net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.