Chuyên đề Phương pháp diện tích Toán 8

Chuyên đề

PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH

Ta đã biết một số công thức tính diện tích của đa giác như công thức tính diện tích hình tam giác, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi,... Khi biết độ dài của một số yếu tố, ta có thể tính được diện tích của những hình ấy. Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của hai hình chẳng hạn biết hai tam giác có diện tích bằng nhau và có hai đáy bằng nhau thì suy ra được các chiều cao tương ứng bằng nhau. Như vậy các công thức tính diện tích cho ta các quan hộ về độ dài của các đoạn thẳng.

Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau:

Xác định quan hệ diện tích giữa các hình.

Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài.

Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh. 

- Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích tam giác.

- Sử dụng tính chất : Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng bằng tỉ số hai diện tích. Ngược lại, nếu hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số hai chiều cao tương ứng bằng tỉ số hai diện tích.

- Sử dụng tính chất: Nếu một tam giác và một hình bình hành cócùngđáy và cùng chiều cao (ứng với đáy đó) thì diện tích tam giác bằng nửa diện tích hình bình hành.

*Ngoài ra có thể chứng minh hai bài toán cơ bản sau bằng tỉ số diện tích để vận dụng.

Cho tam giác ABC. Trên AB, AC lấy M, N. Chứng minh rằng :

\(\frac{\text{S}_{\text{AMN}}^{{}}}{\text{S}_{\text{ABC}}^{{}}}\text{ = }\frac{\text{AM}\text{.AN}}{\text{AB}\text{.AC}}\)

Cho tam giác ABC và MNP có \(\widehat{\text{A}}\text{ = }\widehat{\text{M}}\). Chứng minh rằng:

\(\frac{\text{S}_{\text{MNP}}^{{}}}{\text{S}_{\text{ABC}}^{{}}}\text{ = }\frac{\text{MN}\text{.NP}}{\text{AB}\text{.AC}}\text{.}\)

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC thoả mãn a > b. Chứng minh rằng :\(\text{a + h}_{\text{a}}^{{}}\text{ }\ge \text{ b + h}_{\text{b}}^{{}}\).

Giải.

Ta có \(\text{h}_{\text{a}}^{{}}\text{ }\le \text{ b}\) nên \(\text{2S = ah}_{\text{a}}^{{}}\text{ }\le \text{ ab}\text{.}\)

Xét :\(\text{a + h}_{\text{a}}^{{}}\text{ - }\left( \text{b + h}_{\text{b}}^{{}} \right)\text{ = a + 2}\frac{\text{S}}{\text{a}}\text{ - 2}\frac{\text{S}}{\text{b}}\text{ = }\left( \text{a - b} \right)\text{(1-}\frac{\text{2S}}{\text{ab}}\text{)}\) 

Mà a \(\ge \) b và 2S \(\le \) ab nên \(\left( \text{a - b} \right)\text{(1-}\frac{\text{2S}}{\text{ab}}\text{) }{{\ge }^{{}}}0\)

Vậy \(\text{a + h}_{\text{a }}^{{}}\ge \text{ b + h}_{\text{b}}^{{}}\).

Đẳng thức chỉ xảy ra khi a = b hoặc 2S = ab

Nhận xét. Từ bài toán trên, ta có thể làm được bài toán sau :

Nếu \(\text{a + h}_{\text{a}}^{{}}\text{ = b + h}_{\text{b}}^{{}}\) thì tam giác ABC là cân hoặc vuông.

Nếu \(\text{a + h}_{\text{a}}^{{}}\text{ = b + h}_{\text{b}}^{{}}\text{ = c + h}_{\text{c}}^{{}}\) thì tam giác ABC là đều.

........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

1. Cho tam giác ABC. Trên AB lấy điểm D sao cho BD = 3.DA. Trên CB lấy điểm E sao cho BE = 4.EC. Gọi F là giao điểm của AE và CD. Chứng minh rằng FD = FC.

2. Cho tam giác ABC đều, điểm O tùy ý nằm trong tam giác. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ O tới các cạnh của tam giác không phụ thuộc vào vị trí điểm O.

3. Cho \(\Delta \)ABC có ba cạnh là a, b, c và độ dài ba đường cao tương ứng là \(\text{h}_{\text{a}}^{{}}\text{; h}_{\text{b}}^{{}}\text{; h}_{\text{c}}^{{}}\). Từ điểm O bất kì trong tam giác vẽ các đoạn thẳng có độ dài x, y, z vuông góc với a, b, c. Chứng minh : \(\frac{x}{\text{h}_{\text{a}}^{{}}}\text{+}\frac{y}{\text{h}_{\text{b}}^{{}}}\text{+}\frac{z}{\text{h}_{\text{c}}^{{}}}=1.\)

4. Cho \(\Delta \)ABC có ba góc nhọn. Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Tính giá trị biểu thức :  \(\text{p = }\frac{\text{AH}}{\text{AD}}\text{ + }\frac{\text{BH}}{\text{BE}}\text{ + }\frac{\text{CH}}{\text{CF}}\text{.}\) 

5. Cho \(\Delta \)ABC và điểm M nằm trong tam giác. Các đường thẳng  AM, BM, CM cắt cạnh đối diện của \(\Delta \)ABC tại D, E, F. Chứng minh \(\frac{\text{AM}}{\text{AD}}\text{+}\frac{\text{BM}}{\text{BE}}\text{+}\frac{\text{CM}}{\text{CF}}\text{=2}\text{.}\) 

........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề Phương pháp diện tích Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.