Chuyên đề Hình thang cân, đối xứng trục Toán 8

Chuyên đề

HÌNH THANG CÂN, ĐỐI XỨNG TRỤC

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau (h.14).

Trong hình thang cân :

- Hai cạnh bên bằng nhau ;

- Hai đường chéo bằng nhau.

- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Hai điểm A và A' gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng AA' (h.15).

Quy ước : Nếu d thì điểm đối xứng với B qua d chính là B. 

*Hai hình F và F' gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua d với một điểm thuộc hình kia và ngược lại.

Hai đoạn thẳng AB và A'B' đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu A đối xứng với A'; B đối xứng với B' qua d (h.16a).

Hai tam giác ABC và A'B'C' đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu A đối xứng với A'; B đối xứng với B'; C đối xứng với C' qua đường thẳng d (h.16b).

Hình 16

Định lí : Nếu hai đoạn thẳng (hai góc, hai tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.

Đường thẳng d là trục đối xứng của hình F nếu điểm đối xứng qua d của mỗi điểm thuộc hình F cũng thuộc hình F.

Đặc biệt : Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của một hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân (h.17).

- Hai đường thẳng a và a' đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu hai điểm của đường thẳng này đối xứng với hai điểm của đường thẳng kia qua đường thẳng d.

- Một hình có thể không có, có một, có nhiều hoặc vô số trục đối xứng.

- Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C) và A', B', C' lần lượt là ba điểm đối xứng của chúng qua đường thẳng d thì  ba điểm A', B', C' thẳng

hàng (B' nằm giữa A' và C) (h.18).

II. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho ABC vuông tại A có điểm H chuyển động trên BC. Gọi E, F lần lượt 1à điểm đối xứng của H qua AB ; AC.

a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng.

b) Chứng minh BEFC là hình thang.

c) Tìm vị trí của H trên BC để BEFC là hình thang vuông.

Giải (h.19)

a) Theo tính chất đối xứng trục, ta có :

\(\widehat {{\rm{A}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{; }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{3}}^{}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{4}}^{}}{\rm{.}}\) 

Mà \(\widehat {{\rm{EAF}}}{\rm{  = }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{3}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{4}}^{}} = 2.(\widehat {{\rm{A}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{3}}^{}}) = {180^0}\) => E, A, F thẳng hàng.

b) Theo tính chất đối xứng trục, ta có :

\(\widehat {{\rm{B}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{B}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{; }}\widehat {{\rm{C}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{C}}_{\rm{2}}^{}}\) 

Nên \(\widehat {{\rm{EBC}}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{FCB}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{B}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{B}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{C}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{C}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{  =  2}}{\rm{.(}}\widehat {{\rm{B}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{C}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{)  =  18}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}{\rm{.}}\) Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía nên BE // CF hay BCFE là hình thang.

c) Theo tính chất đối xứng : \(\widehat{\text{BEA}}\text{ = }\widehat{\text{BHA}}\)  

BEFC là hình thang vuông \(\text{= }\widehat{\text{BEA}}\text{ = 9}{{\text{0}}^{\text{0}}}\text{ = }\widehat{\text{BHA}}\text{ = 9}{{\text{0}}^{0}}\) hay AH là đường cao.

.......

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

III. Bài tập tự luyện

1. Bạn Việt nói "trong các đỉnh của hai tam giác đối xứng trục luôn có bốn đỉnh tạo thành các đỉnh của một hình thang cân". Bạn Nam nói "chưa chắc !"

Ai đúng, ai sai, tại sao ?

2. Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tia Ax và Ay sao

cho \(\widehat{\text{xAB}}\text{ = }\widehat{\text{yAC}}\text{ = }\frac{1}{2}\widehat{\text{BAC}}\). Trên tia Ax và Ay lấy hai điểm M và N thoả mãn AM = AN và \(\widehat{\text{ABM}}\text{  }\widehat{\text{ABC}}\). Trong tam giác dựng \(\Delta \)PBC sao cho \(\widehat{\text{PBC}}\text{ = }\widehat{\text{ABM}}\text{;}\) \(\widehat{\text{PCB}}\text{ = }\widehat{\text{ACN}}\). Chứng minh rằng P luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

3. Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm M bất kì thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng của M qua AB, F là điểm đối xứng của N qua AC.

a) Chứng minh rằng A là trung điểm của EF.

b) Xác định vị trí của M để EF có độ dài ngắn nhất.

4. Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên AB, AC lấy M và N sao cho AM + AN = AB. Chứng minh rằng trung điểm của AB, AC, MN thẳng hàng.

.......

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề Hình thang cân, đối xứng trục Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.