Chuyên đề Biến đổi các biểu thức hữu tỉ Toán 8

Chuyên đề

BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ

Nhờ các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.

Khi làm tính trên các phân thức ta chỉ việc thực hiện theo các quy tắc của các phép toán, không cần quan tâm đến giá trị của biến. Nhưng khi giải những bài toán liên quan đến giá trị của phân thức ta phải tìm điều kiện để giá trị của phân thức được xác định, đó là điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0.

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức: \(\frac{{\rm{2}}}{{\rm{y}}}{\rm{  -  (}}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - xy}}}}{\rm{  +  }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{xy}}}}{\rm{  +  }}\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{xy - }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{\rm{)}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{x - y}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - xy + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{\rm{.}}\)

Giải.

\(\frac{{\rm{2}}}{{\rm{y}}}{\rm{  -  (}}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - xy}}}}{\rm{  +  }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{xy}}}}{\rm{  +  }}\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{xy - }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{\rm{)}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{x - y}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - xy + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{\rm{.}}\) 

\(\begin{array}{l}
\frac{{\rm{2}}}{{\rm{y}}}{\rm{  -  (}}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - xy}}}}{\rm{  +  }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{xy}}}}{\rm{  +  }}\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{xy - }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{\rm{)}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{x - y}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - xy + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}\\
{\rm{ =  }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{y}}}{\rm{  -  [}}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{x(x - y)}}}}{\rm{  +  }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{xy}}}}{\rm{  +  }}\frac{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{y(x - y)}}}}{\rm{]}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{x - y}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - xy + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}\\
{\rm{ =  }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{y}}}{\rm{  -  }}\frac{{{\rm{(x + y)(}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - xy + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}}}{{{\rm{xy}}}}{\rm{.}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - xy + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{\rm{  =  }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{y}}}{\rm{  -  }}\frac{{{\rm{x + y}}}}{{{\rm{xy}}}}{\rm{  =  }}\frac{{{\rm{ 2x - x - y}}}}{{{\rm{xy}}}}{\rm{  =  }}\frac{{{\rm{x - y}}}}{{{\rm{xy}}}}
\end{array}\) 

Ví dụ 2. Rút gọn rồi tính giá tị của biếu thức A với \({\rm{x  =  }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{; y  =  }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{.}}\) 

Giải.

ĐKXĐ: y \(\ne \) 0; x\(\ne \) ±y; x \(\ne \)2y; x \(\ne \)3y.

\(\begin{array}{l}
{\rm{A  =  }}\frac{{{\rm{4}}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{  -  }}{{\left( {{\rm{x  -  y}}} \right)}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}\left( {{\rm{x  -  y}}} \right)}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{y}}\left( {{\rm{y  -  x}}} \right)}}{{{\rm{x  -  3y}}}}{\rm{  +  }}\frac{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x  -  2y}}} \right){\rm{  -  2}}\left( {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{  -  xy}}} \right)}}{{{\rm{2}}\left( {{\rm{x\; - \;2y}}} \right)}}{\rm{ : }}\frac{{{\rm{y}}\left( {{\rm{x  +  y}}} \right)}}{{{\rm{2}}\left( {{\rm{x\; - \;2y}}} \right)}}\\
{\rm{    =  }}\frac{{\left( {{\rm{2y  +  x  -  y}}} \right)\left( {{\rm{2y  -  x  +  y}}} \right)}}{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}\left( {{\rm{x  -  y}}} \right)}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{y}}\left( {{\rm{y  -  x}}} \right)}}{{{\rm{x  -  3y}}}}{\rm{  +  }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{  -  2xy  -  2}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{  +  2xy}}}}{{{\rm{2}}\left( {{\rm{x\; - \;2y}}} \right)}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{2}}\left( {{\rm{x  - 2y}}} \right)}}{{{\rm{y(x + y)}}}}\\
{\rm{    =  }}\frac{{{\rm{(x + y)(3y - x)}}{\rm{.y(x - y)}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}\left( {{\rm{x  -  y}}} \right){\rm{.(3y - x)}}}}{\rm{  +  }}\frac{{{\rm{ - }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{.2(x - 2y)}}}}{{{\rm{2(x - 2y)(x + y)}}}}\\
{\rm{    =  }}\frac{{\left( {{\rm{x  +  y}}} \right)}}{{\rm{y}}}{\rm{  -  }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{y(x + y)}}}}{\rm{  =  }}\frac{{{{{\rm{(x + y)}}}^{\rm{2}}}{\rm{ - }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{y(x + y)}}}}{\rm{  =  }}\frac{{{\rm{2xy + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{y(x + y)}}}}{\rm{  =  }}\frac{{{\rm{y(2x + y)}}}}{{{\rm{y(x + y)}}}}{\rm{  =  }}\frac{{{\rm{2x + y}}}}{{{\rm{x + y}}}}
\end{array}\) 

 Vì \({\rm{x  =  }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{; y  =  }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{.}}\) thỏa mãn ĐKXĐ, khi đó giá trị của biếu thức A là   

\({\rm{A  =  }}\frac{{{\rm{2}}{\rm{.( - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{) + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}}}{{{\rm{ - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}}}{\rm{  =  }}\frac{{{\rm{ - 1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}}}{{{\rm{ - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}}}{\rm{ = 4}}{\rm{.}}\) 

Ví dụ 3. Cho biểu thức :  \({\rm{B  =  }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{x + 1}}}}{\rm{  -  }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ - x}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}}}{\rm{.(}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2x + 1}}}}{\rm{  -  }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 1}}}}{\rm{)}}\) 

a) Rút  gọn B  ;          

b) Với giá trị nào của x thì B = 1 ?

Giải. ĐKXĐ : x\(\ne \) ± 1.

\(\begin{array}{l}
{\rm{a) B  =  }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{x + 1}}}}{\rm{  -  }}\frac{{{\rm{x(x - 1)(x + 1)}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{(x - 1) - (x + 1)}}}}{{{{{\rm{(x + 1)}}}^{\rm{2}}}{\rm{(x - 1)}}}}{\rm{  =  }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{x + 1}}}}{\rm{  -  }}\frac{{{\rm{ - 2x}}}}{{{\rm{(}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1)(x + 1)}}}}\\
{\rm{        =  }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1 + 2x}}}}{{{\rm{(}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 1)(x + 1)}}}}{\rm{  =  }}\frac{{{{{\rm{(x + 1)}}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{(}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1)(x + 1)}}}}{\rm{  =  }}\frac{{{\rm{x + 1}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}}}{\rm{.}}
\end{array}\) 

Vậy khi x = 0 thì B = 1.

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

1. Cho biểu thức

\({\rm{A  =  }}\frac{{\rm{1}}}{{{{{\rm{(x - y)}}}^{\rm{3}}}}}{\rm{(}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}}}{\rm{ - }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{3}}}}}{\rm{)  +  }}\frac{{\rm{3}}}{{{{{\rm{(x - y)}}}^{\rm{4}}}}}{\rm{(}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{\rm{)  +  }}\frac{{\rm{6}}}{{{{{\rm{(x - y)}}}^{\rm{5}}}}}{\rm{(}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}{\rm{ - }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{y}}}{\rm{)}}{\rm{.}}\)  

Chứng minh rằng A là lập phương của một biểu thức hữu tỉ.

2. Chứng minh rằng với những giá trị thích hợp của biến thì các biểu thức sau có giá trị là hằng số:

\(\begin{array}{l}
{\rm{a) A  =  (}}\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{x - y}}}}{\rm{ - }}\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{x + y}}}}{\rm{) : (}}\frac{{{\rm{x + y}}}}{{{\rm{x - y}}}}{\rm{ - }}\frac{{\rm{2}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{\rm{);}}\\
{\rm{b) B  =  }}\frac{{{{{\rm{(x + y)}}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{x}}}{\rm{.[}}\frac{{\rm{x}}}{{{{{\rm{(x + y)}}}^{\rm{2}}}}}{\rm{  -  }}\frac{{\rm{x}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{\rm{]  -  }}\frac{{{\rm{5x - 3y}}}}{{{\rm{y - x}}}}{\rm{.}}
\end{array}\) 

3. Chứng minh rằng với những giá trị thích hợp của biến thì các biểu thức sau có giá trị bằng nhau:

\(\begin{array}{l}
{\rm{M  =  }}\frac{{{{{\rm{(}}\frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}}{\rm{ + 1)}}}^{\rm{2}}}}}{{\frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}}{\rm{ - }}\frac{{\rm{y}}}{{\rm{x}}}}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{1 - }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{3}}}}}}}{{\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}}{\rm{ + 1}}}}{\rm{:}}\frac{{\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}}}{{{{\rm{y}}^{\rm{3}}}}}{\rm{ + 1}}}}{{\frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{y}}}{{\rm{x}}}{\rm{ - 1}}}}{\rm{;}}\\
{\rm{N  =  (}}\frac{{\rm{x}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 36}}}}{\rm{  -  }}\frac{{{\rm{x + 6}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 6x}}}}{\rm{) : }}\frac{{{\rm{2x + 6}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ - 6x}}}}{\rm{  -  }}\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{x + 6}}}}{\rm{.}}
\end{array}\)  

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề Biến đổi các biểu thức hữu tỉ Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.