Chuyên đề Phép chia đa thức Toán 8

Chuyên đề

PHÉP CHIA ĐA THỨC

I. Kiến thức cần nhớ

Chia hệ số của A cho hệ số của B ;

Chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của cùng biến đó trong B ;

Nhân các kết quả với nhau.

 (A + B) : C = A : C + B : C

Cho A và B là hai đa thức tuỳ ý của cùng một biến (B \(\ne \) 0), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

Q gọi là đa thức thương và R gọi là dư trong phép chia A cho B.

Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.

a) Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia

Ví dụ :                                                                                             

\(\left( {{A}^{3}} + {{B}^{3}} \right): \left( A + B \right) = {{A}^{2}} - AB + {{B}^{2}}\) 

\(\left( {{A}^{3}} - {{B}^{3}} \right): \left( A - B \right) = {{A}^{2}} + AB + {{B}^{2}}\) 

\(\left( {{A}^{2}} - {{B}^{2}} \right): \left( A + B \right) = A - B\).

b)  Định lí Bê - du*

Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho (x - a) đúng bằng f(a).

Ví dụ : Nếu \(\text{f}\left( \text{x} \right)\text{ = 3}{{\text{x}}^{\text{4}}}\text{ - 5}{{\text{x}}^{\text{3}}}\text{ + 2}\) thì;

Số dư trong phép chia f(x) cho (x - 2) là f(2) = 1.0.

Số dư trong phép chia f(x) cho (x - 1) là f(1) = 0, nghĩa là f(x) chia hết cho (x - 1).,

c)  Hệ quả của định lí Bê-đu:

Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho (x - a). 

Người ta cũng chứng minh được rằng :

Nếu đa thức f(x) nhận n số nguyên khác nhau  \(\text{a}_{\text{1}}^{{}}\text{, a}_{\text{2}}^{{}}\text{, }...\text{ }\text{, a}_{\text{n}}^{{}}\) làm nghiệm thì f(x) chia hết cho \(\text{(x - a}_{\text{1}}^{{}}\text{)(x - a}_{\text{2}}^{{}}\text{) }...\text{ (x - a}_{\text{n}}^{{}}\text{)}\text{.}\) 

d) . Áp dụng hệ quả của định lí Bê-du vào việc phân tích đa thức thành nhân tử. Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì khi phân tích f(x) thành nhân tử, tích sẽ chứa nhân tử (x - a), nghĩa là f(x) = (x - a).q(x).

Mở rộng : Nếu f(x) nhận n số nguyên khác nhau \(\text{a}_{\text{1}}^{{}}\text{, a}_{\text{2}}^{{}}\text{, }...\text{ }\text{, a}_{\text{n}}^{{}}\) làm nghiệm thì khi phân tích f(x) thành nhân tử, tích sẽ chứa các nhân \(\text{(x - a}_{\text{1}}^{{}}\text{)(x - a}_{\text{2}}^{{}}\text{) }...\text{ (x - a}_{\text{n}}^{{}}\text{)}\) nghĩa là \(\text{f(x) = (x - a}_{\text{1}}^{{}}\text{)(x - a}_{\text{2}}^{{}}\text{) }...\text{ (x - a}_{\text{n}}^{{}}\text{)}\text{.q(x)}\text{.}\) 

Ví dụ 1. Cho \(\text{A = 8}{{\text{x}}^{\text{5}}}{{\text{y}}^{\text{n}}}\text{ - 12}{{\text{x}}^{\text{n+1}}}{{\text{y}}^{\text{4}}}\text{; B= 24}{{\text{x}}^{\text{n-1}}}{{\text{y}}^{\text{3}}}\) Xác định giá trị của n \(\in \) N* để A \(\vdots \) B.

Giải.  

 \(A \vdots B <  =  > \left\{ \begin{array}{l}
5 \ge n - 1\\
n + 1 \ge n - 1\\
n \ge 3
\end{array} \right. <  =  > \left\{ \begin{array}{l}
n \le 6\\
n \ge 3
\end{array} \right. <  =  > n \in {\rm{ }}\{ {\rm{ 3}}{\rm{, 4}}{\rm{, 5}}{\rm{, 6 }}\} {\rm{ }}\) 

Ví dụ 2. Xác định giá trị của a để đa thức

\(\text{A = 2}{{\text{x}}^{\text{3}}}\text{ - 54x + a}\) chia hết cho đa thức \(\text{B = }{{\left( \text{x + 3} \right)}^{\text{2}}}\text{.}\) 

Giải

Cách 1: Thực hiện phép chia rồi buộc đa thức dư bằng đa thức 0

Cách 2: Phương pháp đồng nhất hệ số :

Vì \(\text{2}{{\text{x}}^{\text{3}}}\text{ : }{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{ = 2x}\) nên thương là đa thức bậc nhất có dạng 2x + b.

Ta có \(\text{2}{{\text{x}}^{\text{3}}}\text{ - 54x + a = }\left( {{\text{x}}^{\text{2}}}\text{ + 6x + 9} \right)\left( \text{2x + b} \right)\) với mọi x

\(\text{2}{{\text{x}}^{\text{3}}}\text{ - 54x + a = 2}{{\text{x}}^{\text{3}}}\text{ + b}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{ + 12}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{ + 18x + 6bx + 9b}\) với mọi x

\(\text{2}{{\text{x}}^{\text{3}}}\text{ - 54x + a = 2}{{\text{x}}^{\text{3}}}\text{ + }\left( \text{b + 12} \right){{\text{x}}^{\text{2}}}\text{ + }\left( \text{6b + 18} \right)\text{x + 9b}\) với mọi x.

Suy ra:  

\(\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{b  +  12  =  0}}\\
{\rm{6b  +  18  =   - 54}}\\
{\rm{a  =  9b}}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{b  =   - 12}}\\
{\rm{a  =   - 108}}
\end{array} \right.{\rm{.}}\) 

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

1. Làm tính chia :       

a) \(\text{-}{{\text{x}}^{\text{4}}}{{\text{y}}^{\text{3}}}\text{ : -}{{\text{x}}^{\text{3}}}{{\text{y}}^{\text{3}}}\);                    b) \(\left( \text{21}{{\text{x}}^{\text{m}}}{{\text{y}}^{\text{3}}}\text{ - 14}{{\text{x}}^{\text{m}}}\text{+2}{{\text{y}}^{\text{2}}} \right)\text{ : }\left( \text{-7}{{\text{x}}^{\text{m}}}{{\text{y}}^{\text{2}}} \right)\), với m \(\in \) N

c) \(\left[ \text{20}{{\left( \text{x - y} \right)}^{\text{n+2}}}\text{ + 15}{{\left( \text{x - y} \right)}^{\text{n+1}}}\text{ - 10}\left( \text{x - y} \right) \right]\), với m \(\in \) N*.

2. Tìm n \(\in \) N* để :

a) Đơn thức \(\text{C = }\frac{1}{2}{{\text{x}}^{\text{2n}}}{{\text{y}}^{\text{5}}}\) chia hết cho đơn thức \(\text{D = -3}{{\text{x}}^{\text{n+2}}}{{\text{y}}^{\text{n+1}}}\).

b) Đa thức \(\text{M = 9}{{\text{x}}^{\text{8}}}{{\text{y}}^{\text{n+3}}}\text{ - 15}{{\text{x}}^{\text{n+1}}}{{\text{y}}^{\text{n}}}\) chia hết cho đơn thức \(\text{N = 6}{{\text{x}}^{\text{n}}}{{\text{y}}^{\text{6}}}\).

Cho biểu thức \(\text{P = }\left( \text{3}{{\text{x}}^{\text{3}}}{{\text{y}}^{\text{2}}}\text{ - 6}{{\text{x}}^{\text{2}}}{{\text{y}}^{\text{3}}} \right)\text{ : 3x}{{\text{y}}^{\text{2}}}\text{ + 10}{{\text{x}}^{\text{2}}}{{\text{y}}^{\text{5}}}\text{ : 5}{{\text{x}}^{\text{2}}}{{\text{y}}^{\text{3}}}\text{.}\) Chứng minh rằng P luôn luôn có giá trị dương với mọi giá tri x \(\ne \) 0, y \(\ne \) 0.

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề Phép chia đa thức Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.