Chuyên đề Vẽ đường thẳng song song để tạo thành các cặp đoạn thẳng tỉ lệ Toán 8

Chuyên đề 

VẼ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ĐỂ TẠO THÀNH CÁC CẶP ĐOẠN THẲNG TỶ LỆ

Trong các bài tập vận dụng định lí Talét. Nhiều khi ta cần vẽ thêm đường là một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước. Đây là một cách vẽ đường phụ hay dùng, vì nhờ đó mà tạo thành được các cặp đoạn thẳng tỉ lệ

a) Định nghĩa

+ Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

+ Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD được kí hiệu là AB/CD.

+ Chú ý: Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào các chọn đơn vị đo

b) Ví dụ

Ví dụ:

Cho AB = 20 cm;CD = 40 cm thì AB/CD = 20/40 = 1/2.

Cho AB = 2 m; CD = 4 m thì AB/CD = 2/4 = 1/2.

Định lý Ta – lét:

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lai thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Tổng quát : Δ ABC, B'C'//BC; B' ∈ AB, C' ∈ AC

Ta có: 

1) Ví dụ 1:

 Trên các cạnh BC, CA, AB  của tam giác ABC, lấy tương ứng các điểm P, Q, R  sao cho ba đường thẳng AP, BQ, CR cắt nhau tại một điểm.

Chứng minh: \(\frac{\text{AR}}{\text{RB}}.\frac{\text{BP}}{\text{PC}}.\frac{\text{CQ}}{\text{QA}}=1\) (Định lí Cê – va)

Giải

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt các đường thẳng CR, BQ tại E, F. Gọi O là giao điểm của AP, BQ, CR

\(\Delta\)ARE \(\sim\) \(\Delta\)BRC \(\Rightarrow \) \(\frac{\text{AR}}{\text{RB}}\text{ = }\frac{\text{AE}}{\text{BC}}\) (a)

\(\Delta\)BOP \(\sim\) \(\Delta\)FOA \(\Rightarrow\) \(\frac{\text{BP}}{\text{FA}}\text{ = }\frac{\text{OP}}{\text{OA}}\) (1)

\(\Delta\)POC \(\sim\) \(\Delta\)AOE \(\Rightarrow \) \(\frac{\text{PC}}{\text{AE}}\text{ = }\frac{\text{PO}}{\text{AO}}=\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{\text{BP}}{\text{FA}}\text{ = }\frac{\text{PC}}{\text{AE}}\Rightarrow \frac{\text{BP}}{\text{PC}}=\frac{\text{FA}}{\text{AE}}\) (b)

\(\Delta\)AQF \(\sim\) \(\Delta\)CQB \(\Rightarrow \) \(\frac{\text{CQ}}{\text{AQ}}\text{ = }\frac{\text{BC}}{\text{FA}}\) (c)

Nhân (a), (b), (c) vế theo vế ta có: \(\frac{\text{AR}}{\text{RB}}.\frac{\text{BP}}{\text{PC}}.\frac{\text{CQ}}{\text{QA}}=\frac{\text{AE}}{\text{BC}}.\frac{\text{FA}}{\text{AE}}.\frac{\text{BC}}{\text{FA}}=1\)

* Đảo lại: Nếu  \(\frac{\text{AR}}{\text{RB}}.\frac{\text{BP}}{\text{PC}}.\frac{\text{CQ}}{\text{QA}}=1\) thì bai đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy

2) Ví dụ 2:

Một đường thăng bất kỳ cắt các cạnh( phần kéo dài của các cạnh) của tam giác ABC tại  P, Q, R.

Chứng minh rằng: \(\frac{\text{RB}\text{.QA}\text{.PC}}{\text{RA}\text{.CQ}\text{.BP}}=1\) (Định lí Mê-nê-la-uýt)

Giải:

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt PR tại E. Ta có

\(\Delta\)RAE \(\sim\) \(\Delta\)RBP \(\Rightarrow\)  \(\frac{\text{RB}}{\text{RA}}\text{ = }\frac{\text{BP}}{\text{AE}}\) (a)

\(\Delta\)AQE \(\sim\) \(\Delta\)CQP \(\Rightarrow\) \(\frac{\text{QA}}{\text{QC}}\text{ = }\frac{\text{AE}}{\text{CP}}\) (b)

Nhân vế theo vế các đẳng thức (a) và (b) ta có

\(\frac{\text{RB}}{\text{RA}}.\frac{\text{QA}}{\text{QC}}\text{= }\frac{\text{BP}}{\text{AE}}.\frac{\text{AE}}{\text{CP}}\) (1)

Nhân hai vế đẳng thức (1) với \(\frac{\text{PC}}{\text{BP}}\)  ta có: \(\frac{\text{RB}}{\text{RA}}\text{.}\frac{\text{PC}}{\text{BP}}\text{.}\frac{\text{QA}}{\text{QC}}\text{ = }\frac{\text{BP}}{\text{AE}}.\frac{\text{AE}}{\text{CP}}.\frac{\text{PC}}{\text{BP}}=1\)

Đảo lại: Nếu  \(\frac{\text{RB}\text{.QA}\text{.PC}}{\text{RA}\text{.CQ}\text{.BP}}=1\) thì ba điểm P, Q, R thẳng hàng

3) Ví dụ 3:

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua I song song với AC cắt AB ở K; đường thẳng qua I song song với AB cắt AC, AM theo thứ tự ở D, E. Chứng minh DE = BK

Giải

Qua M kẻ MN // IE (N\(\in \) AC).Ta có:

\(\frac{\text{DE}}{\text{MN}}\text{ = }\frac{\text{AE}}{\text{AN}}\Rightarrow \frac{\text{DE}}{\text{AE}}=\frac{\text{MN}}{\text{AN}}\) (1)

MN // IE, mà MB = MC \(\Rightarrow \) AN = CN (2)

Từ (1) và (2) suy ra  \(\frac{\text{DE}}{\text{AE}}=\frac{\text{MN}}{\text{CN}}\) (3)

Ta lại có \(\frac{\text{MN}}{\text{AB}}=\frac{\text{CN}}{\text{AC}}\Rightarrow \frac{\text{MN}}{\text{CN}}=\frac{\text{AB}}{\text{AC}}\) (4)

Từ (4) và (5) suy ra \(\frac{\text{DE}}{\text{AE}}=\frac{\text{AB}}{\text{AC}}\) (a)

Tương tự ta có: \(\frac{\text{BK}}{\text{KI}}=\frac{\text{AB}}{\text{AC}}\) (6)

Vì KI // AC, IE // AC nên tứ giác AKIE là hình bình hành nên KI = AE (7)

Từ (6) và (7) suy ra \(\frac{\text{BK}}{\text{KI}}=\frac{\text{BK}}{\text{AE}}=\frac{\text{AB}}{\text{AC}}\) (b)

Từ (a) và (b) suy ra  \(\frac{\text{DE}}{\text{AE}}=\frac{\text{BK}}{\text{AE}}\Rightarrow \) DE = BK

4) Ví dụ 4:

Đường thẳng qua trung điểm của cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD cắt các đường thẳng AD, BC theo thứ tự ở I, K. Chứng minh: IA . KC = ID. KB

 Giải

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD

Ta có AM = BM; DN = CN

Vẽ AE, BF lần lượt song song với CD

\(\Delta\)AME = \(\Delta\)BMF (g.c.g) \(\Rightarrow \)AE = BF

 Theo định lí Talét ta có:  \(\frac{\text{IA}}{\text{ID}}\text{ = }\frac{\text{AE}}{\text{DN}}=\frac{\text{BF}}{\text{CN}}\) (1)

Củng theo định lí Talét ta có: \(\frac{\text{KB}}{\text{KC}}\text{ = }\frac{\text{BF}}{\text{CN}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{\text{IA}}{\text{ID}}\text{ =}\frac{\text{KB}}{\text{KC}}\) \(\Rightarrow \) IA . KC = ID. KB

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề Vẽ đường thẳng song song để tạo thành các cặp đoạn thẳng tỉ lệ Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.