Bồi dưỡng HSG chuyên đề Tính chất chia hết đối với đa thức Toán 8

BỒI DƯỠNG HSG CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHẤT CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC

I.  Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia

1. Đa thức chia có dạng x – a (a là hằng)

a) Định lí Bơdu (Bezout, 1730 – 1783):

Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của f(x) tại x = a

Ta có: f(x) = (x – a). Q(x) + r

Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = a, ta có

f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r

Ta suy ra: f(x) chia hết cho x – a \(\Leftrightarrow \) f(a) = 0

b) f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1

c) f(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì chia hết cho x + 1

Ví dụ : Không làm phép chia, hãy xét xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia hết cho

B = x + 1, C = x – 3 không

Kết quả:

A chia hết cho B, không chia hết cho C

2. Đa thức chia có bậc hai trở lên

Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng của các đa thức chia hết cho đa thức chia và dư

Cách 2: Xét giá trị riêng: gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b thì

f(x) = g(x). Q(x) + ax + b

Ví dụ 1: Tìm dư của phép chia  x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1

Cách 1: Ta biết rằng x2n – 1 chia hết cho x2 – 1 nên ta tách:

x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + 1

= x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 chia cho x2 – 1 dư  3x + 1

Cách 2:

Gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b, Ta có:

x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b với mọi x

Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = 1, ta có 4 = a + b (1)

với x = - 1 ta có  - 2 = - a + b (2)

Từ (1) và (2) suy ra a = 3, b =1 nên ta được dư là 3x + 1

Ghi nhớ:

an – bn chia hết cho a – b (a \(\ne \) -b)

an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a \(\ne \) -b)

Ví dụ 2: Tìm dư của các phép chia

a)  x41 chia cho x2 + 1   

b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1

c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho  x2 + 1

Giải

a) x41 = x41 – x + x = x(x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x41 dư x nên chia cho

x2  + 1 dư x

b) x27 + x9 + x3 + x =  (x27 – x) + (x9 – x) + (x3 – x) + 4x

= x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – 1 dư  4x

c) x99 + x55 + x11 + x + 7 = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7

chia cho x2 + 1 dư  – 2x + 7

II. Sơ đồ HORNƠ

1. Sơ đồ

Để tìm kết quả của phép chia f(x) cho x – a

(a là hằng số), ta sử dụng sơ đồ hornơ


Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3,

đa thức chia là x – a ta được thương là

b0x2 + b1x + b2, dư r thì ta có

Ví dụ:

Đa thức bị chia: x3  -5x2 + 8x – 4, đa thức chia x – 2

Ta có sơ đồ

 

1

- 5

8

- 4

2

1

2. 1 + (- 5) = -3

2.(- 3) + 8 = 2

r = 2. 2 +(- 4) = 0

Vậy: x3  -5x2 + 8x – 4 = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 là phép chia hết

2. Áp dụng sơ đồ Hornơ để tính giá trị của đa thức tại x = a

Giá trị của f(x) tại x = a là số dư của phép chia f(x) cho x – a

Ví dụ

Tính giá trị của A = x3 + 3x2 – 4 tại x = 2010

Ta có sơ đồ:

 

1

3

0

-4

a = 2010

1

2010.1+3 = 2013

2010.2013 + 0

= 4046130

  2010.4046130 – 4

= 8132721296

Vậy: A(2010) = 8132721296

III. Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác

1. Phương pháp

1. Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có một thừa số là đa thức chia

2. Cách 2: biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia

3. Cách 3: Biến đổi tương đương f(x) \(\vdots\) g(x) <=> f(x) \(\vdots\) g(x) \(\vdots\) g(x)

4. cách 4: Chứng tỏ mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia

2. Ví dụ

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng:  x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1

Ta có: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1)

Ta lại có: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1)

chia hết cho x2n + xn + 1

Vậy: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng:  x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi m, n \(\in \) N

Ta có:   x3m + 1 + x3n + 2 + 1 = x3m + 1  - x + x3n + 2 – x2 + x2 +  x + 1

= x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 +  x + 1)

Vì  x3m – 1 và x3n – 1 chia hết cho x3 – 1 nên chia hết cho x2 + x + 1

Vậy: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi m, n \(\in \) N

Ví dụ 3:  Chứng minh rằng 

f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1

Ta có:  f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + ... + x11 – x  + 1 – 1

= x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + ....+ x(x10 – 1) chia hết cho  x10 – 1

Mà x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + x7 +...+ x + 1) chia hết cho x9 + x8 + x7 +...+ x + 1

Suy ra f(x) – g(x) chia hết cho g(x) =  x9 + x8 + x7 +...+ x + 1

Nên  f(x) = x99 + x88 + x77 + ... + x11 + 1  chia hết cho g(x) =  x9 + x8 + x7 + ....+ x + 1

Ví dụ 4: CMR:  f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 -  x + 1)10 – 2  chia hết cho g(x) = x2 – x

Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1

Ta có f(0) = (-1)10 + 110 – 2 = 0  \(\Rightarrow \) x = 0 là nghiệm của f(x) \(\Rightarrow \) f(x) chứa thừa số x

f(1) = (12 + 1 – 1)10 + (12 – 1 + 1)10 – 2 = 0 \(\Rightarrow \) x = 1 là nghiệm của f(x) f(x) chứa thừa số x – 1, mà các thừa số x và x – 1 không có nhân tử chung, do đó f(x) chia hết cho x(x – 1)

hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 -  x + 1)10 – 2   chia hết cho g(x) = x2 – x

Ví dụ 5: Chứng minh rằng

a) A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + 1

b) C = 8x9 – 9x8 + 1 chia hết cho D = (x – 1)2

c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 chia hết cho D(x)  = x(x + 1)(2x + 1)

Giải

a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x)

Ta có: x2 – x + 1 chia hết cho B = x2 – x + 1

 x9 + 1 chia hết cho x3 + 1 nên chia hết cho  B = x2 – x + 1

 x1945 – x = x(x1944 – 1) chia hết cho x3 + 1 (cùng có nghiệm là x = - 1)

nên chia hết cho B = x2 – x + 1

Vậy A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + 1

b) C = 8x9 – 9x8 + 1 = 8x9 – 8  - 9x8 + 9 = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1)

= 8(x – 1)(x8 + x7 + ...+ 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + ...+ 1)

= (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1)

(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho x – 1 vì có tổng hệ số bằng 0

suy ra  (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho (x – 1)2

c) Đa thức chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) có ba nghiệm là x = 0, x = - 1, x = - \(\frac{1}{2}\)

Ta có:

C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0  – 1 = 0 \(\Rightarrow \) x = 0 là nghiệm của C(x)

C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – 1 = 0 \(\Rightarrow \) x = - 1  là nghiệm của C(x)

C(- \(\frac{1}{2}\)) = (-\(\frac{1}{2}\) + 1)2n – (-\(\frac{1}{2}\))2n – 2.(- \(\frac{1}{2}\)) – 1 = 0 \(\Rightarrow \) x = - \(\frac{1}{2}\)  là nghiệm của C(x)

Mọi nghiệm của đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia \(\Rightarrow \) đpcm

Ví dụ 6:

Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên. Biết f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không có nghiệm nguyên

Giả sử x = a là nghiệm nguyên của f(x) thì f(x) = (x – a). Q(x). Trong đó Q(x) là đa thức có hệ số nguyên, do đó f(0) = - a. Q(0), f(1) = (1 – a). Q(1)

Do f(0) là số lẻ nên a là số lẻ, f(1) là số lẻ nên 1 – a là số lẻ, mà 1 – a là hiệu của 2 số lẻ không thể là số lẻ, mâu thuẩn

Vậy f(x) không có nghiệm nguyên

*Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm số dư khi

a) x43 chia cho x2 + 1

b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + 9 cho x2 + 1

Bài 2: Tính giá trị của đa thức  x4 + 3x3 – 8  tại x = 2009

Bài 3: Chứng minh rằng

a) x50 + x10 + 1 chia hết cho x20 + x10 + 1

b) x10 – 10x + 9 chia hết cho x2 – 2x + 1

c) x4n + 2 + 2x2n + 1 + 1 chia hết cho x2 + 2x + 1

d) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 chia hết cho x2 + 1

e) (xn – 1)(xn + 1 – 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1)2

Trên đây là nội dung tài liệu Bồi dưỡng HSG chuyên đề Tính chất chia hết đối với đa thức Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

​Chúc các em học tập tốt!

Tham khảo thêm

Bình luận

Có Thể Bạn Quan Tâm ?