Bồi dưỡng HSG chuyên đề Tính chất chia hết đối với đa thức Toán 8

BỒI DƯỠNG HSG CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHẤT CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC

a) Định lí Bơdu (Bezout, 1730 – 1783):

Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của f(x) tại x = a

Ta có: f(x) = (x – a). Q(x) + r

Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = a, ta có

f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r

Ta suy ra: f(x) chia hết cho x – a \(\Leftrightarrow \) f(a) = 0

b) f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1

c) f(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì chia hết cho x + 1

Ví dụ : Không làm phép chia, hãy xét xem A = x³ – 9x² + 6x + 16 chia hết cho

B = x + 1, C = x – 3 không

Kết quả:

A chia hết cho B, không chia hết cho C

Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng của các đa thức chia hết cho đa thức chia và dư

Cách 2: Xét giá trị riêng: gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b thì

f(x) = g(x). Q(x) + ax + b

Ví dụ 1: Tìm dư của phép chia  x⁷ + x⁵ + x³ + 1 cho x² – 1

Cách 1: Ta biết rằng x²ⁿ – 1 chia hết cho x² – 1 nên ta tách:

x⁷ + x⁵ + x³ + 1 = (x⁷ – x) + (x⁵ – x) +(x³ – x) + 3x + 1

= x(x⁶ – 1) + x(x⁴ – 1) + x(x² – 1) + 3x + 1 chia cho x² – 1 dư  3x + 1

Cách 2:

Gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b, Ta có:

x⁷ + x⁵ + x³ + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b với mọi x

Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = 1, ta có 4 = a + b (1)

với x = - 1 ta có  - 2 = - a + b (2)

Từ (1) và (2) suy ra a = 3, b =1 nên ta được dư là 3x + 1

Ghi nhớ:

aⁿ – bⁿ chia hết cho a – b (a \(\ne \) -b)

aⁿ + bⁿ ( n lẻ) chia hết cho a + b (a \(\ne \) -b)

Ví dụ 2: Tìm dư của các phép chia

a)  x⁴¹ chia cho x² + 1   

b) x²⁷ + x⁹ + x³ + x cho x² – 1

c) x⁹⁹ + x⁵⁵ + x¹¹ + x + 7 cho  x² + 1

Giải

a) x⁴¹ = x⁴¹ – x + x = x(x⁴⁰ – 1) + x = x[(x⁴)¹⁰ – 1] + x chia cho x⁴ _– 1 dư x nên chia cho

x²  + 1 dư x

b) x²⁷ + x⁹ + x³ + x =  (x²⁷ – x) + (x⁹ – x) + (x³ – x) + 4x

= x(x²⁶ – 1) + x(x⁸ – 1) + x(x² – 1) + 4x chia cho x² – 1 dư  4x

c) x⁹⁹ + x⁵⁵ + x¹¹ + x + 7 = x(x⁹⁸ + 1) + x(x⁵⁴ + 1) + x(x¹⁰ + 1) – 2x + 7

chia cho x² + 1 dư  – 2x + 7

Để tìm kết quả của phép chia f(x) cho x – a

(a là hằng số), ta sử dụng sơ đồ hornơ

Nếu đa thức bị chia là a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃,

đa thức chia là x – a ta được thương là

b₀x² + b₁x + b₂, dư r thì ta có

Ví dụ:

Đa thức bị chia: x³  -5x² + 8x – 4, đa thức chia x – 2

Ta có sơ đồ

	1	- 5	8	- 4
2	1	2. 1 + (- 5) = -3	2.(- 3) + 8 = 2	r = 2. 2 +(- 4) = 0

Vậy: x³  -5x² + 8x – 4 = (x – 2)(x² – 3x + 2) + 0 là phép chia hết

Giá trị của f(x) tại x = a là số dư của phép chia f(x) cho x – a

Ví dụ

Tính giá trị của A = x³ + 3x² – 4 tại x = 2010

Ta có sơ đồ:

	1	3	0	-4
a = 2010	1	2010.1+3 = 2013	2010.2013 + 0 = 4046130	2010.4046130 – 4 = 8132721296

Vậy: A(2010) = 8132721296

1. Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có một thừa số là đa thức chia

2. Cách 2: biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia

3. Cách 3: Biến đổi tương đương f(x) \(\vdots\) g(x) <=> f(x) \(\vdots\) g(x) \(\vdots\) g(x)

4. cách 4: Chứng tỏ mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng:  x⁸ⁿ + x⁴ⁿ + 1 chia hết cho x²ⁿ + xⁿ + 1

Ta có: x⁸ⁿ + x⁴ⁿ + 1 = x⁸ⁿ + 2x⁴ⁿ + 1 - x⁴ⁿ = (x⁴ⁿ + 1)² - x⁴ⁿ = (x⁴ⁿ + x²ⁿ + 1)( x⁴ⁿ - x²ⁿ + 1)

Ta lại có: x⁴ⁿ + x²ⁿ + 1 = x⁴ⁿ + 2x²ⁿ + 1 – x²ⁿ = (x²ⁿ + xⁿ + 1)( x²ⁿ - xⁿ + 1)

chia hết cho x²ⁿ + xⁿ + 1

Vậy: x⁸ⁿ + x⁴ⁿ + 1 chia hết cho x²ⁿ + xⁿ + 1

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng:  x^{3m + 1} + x^{3n + 2} + 1 chia hết cho x² + x + 1 với mọi m, n \(\in \) N

Ta có:   x^{3m + 1} + x^{3n + 2} + 1 = x^{3m + 1}  - x + x^{3n + 2} – x² + x² +  x + 1

= x(x^3m – 1) + x²(x³ⁿ – 1) + (x² +  x + 1)

Vì  x^3m – 1 và x³ⁿ – 1 chia hết cho x³ – 1 nên chia hết cho x² + x + 1

Vậy: x^{3m + 1} + x^{3n + 2} + 1 chia hết cho x² + x + 1 với mọi m, n \(\in \) N

Ví dụ 3:  Chứng minh rằng 

f(x) = x⁹⁹ + x⁸⁸ + x⁷⁷ + ... + x¹¹ + 1 chia hết cho g(x) = x⁹ + x⁸ + x⁷ + ....+ x + 1

Ta có:  f(x) – g(x) = x⁹⁹ – x⁹ + x⁸⁸ – x⁸ + x⁷⁷ – x⁷ + ... + x¹¹ – x  + 1 – 1

= x⁹(x⁹⁰ – 1) + x⁸(x⁸⁰ – 1) + ....+ x(x¹⁰ – 1) chia hết cho  x¹⁰ – 1

Mà x¹⁰ – 1 = (x – 1)(x⁹ + x⁸ + x⁷ +...+ x + 1) chia hết cho x⁹ + x⁸ + x⁷ +...+ x + 1

Suy ra f(x) – g(x) chia hết cho g(x) =  x⁹ + x⁸ + x⁷ +...+ x + 1

Nên  f(x) = x⁹⁹ + x⁸⁸ + x⁷⁷ + ... + x¹¹ + 1  chia hết cho g(x) =  x⁹ + x⁸ + x⁷ + ....+ x + 1

Ví dụ 4: CMR:  f(x) = (x² + x – 1)¹⁰ + (x² -  x + 1)¹⁰ – 2  chia hết cho g(x) = x² – x

Đa thức g(x) = x² – x = x(x – 1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1

Ta có f(0) = (-1)¹⁰ + 1¹⁰ – 2 = 0  \(\Rightarrow \) x = 0 là nghiệm của f(x) \(\Rightarrow \) f(x) chứa thừa số x

f(1) = (1² + 1 – 1)¹⁰ + (1² – 1 + 1)¹⁰ – 2 = 0 \(\Rightarrow \) x = 1 là nghiệm của f(x) f(x) chứa thừa số x – 1, mà các thừa số x và x – 1 không có nhân tử chung, do đó f(x) chia hết cho x(x – 1)

hay f(x) = (x² + x – 1)¹⁰ + (x² -  x + 1)¹⁰ – 2   chia hết cho g(x) = x² – x

Ví dụ 5: Chứng minh rằng

a) A = x² – x⁹ – x¹⁹⁴⁵ chia hết cho B = x² – x + 1

b) C = 8x⁹ – 9x⁸ + 1 chia hết cho D = (x – 1)²

c) C (x) = (x + 1)²ⁿ – x²ⁿ – 2x – 1 chia hết cho D(x)  = x(x + 1)(2x + 1)

Giải

a) A = x² – x⁹ – x¹⁹⁴⁵ = (x² – x + 1) – (x⁹ + 1) – (x¹⁹⁴⁵ – x)

Ta có: x² – x + 1 chia hết cho B = x² – x + 1

 x⁹ + 1 chia hết cho x³ + 1 nên chia hết cho  B = x² – x + 1

 x¹⁹⁴⁵ – x = x(x¹⁹⁴⁴ – 1) chia hết cho x³ + 1 (cùng có nghiệm là x = - 1)

nên chia hết cho B = x² – x + 1

Vậy A = x² – x⁹ – x¹⁹⁴⁵ chia hết cho B = x² – x + 1

b) C = 8x⁹ – 9x⁸ + 1 = 8x⁹ – 8  - 9x⁸ + 9 = 8(x⁹ – 1) – 9(x⁸ – 1)

= 8(x – 1)(x⁸ + x⁷ + ...+ 1) – 9(x – 1)(x⁷ + x⁶ + ...+ 1)

= (x – 1)(8x⁸ – x⁷ – x⁶ – x⁵ – x⁴ – x³ – x² – x – 1)

(8x⁸ – x⁷ – x⁶ – x⁵ – x⁴ – x³ – x² – x – 1) chia hết cho x – 1 vì có tổng hệ số bằng 0

suy ra  (x – 1)(8x⁸ – x⁷ – x⁶ – x⁵ – x⁴ – x³ – x² – x – 1) chia hết cho (x – 1)²

c) Đa thức chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) có ba nghiệm là x = 0, x = - 1, x = - \(\frac{1}{2}\)

Ta có:

C(0) = (0 + 1)²ⁿ – 0²ⁿ – 2.0  – 1 = 0 \(\Rightarrow \) x = 0 là nghiệm của C(x)

C(-1) = (-1 + 1)²ⁿ – (- 1)²ⁿ – 2.(- 1) – 1 = 0 \(\Rightarrow \) x = - 1  là nghiệm của C(x)

C(- \(\frac{1}{2}\)) = (-\(\frac{1}{2}\) + 1)²ⁿ – (-\(\frac{1}{2}\))²ⁿ – 2.(- \(\frac{1}{2}\)) – 1 = 0 \(\Rightarrow \) x = - \(\frac{1}{2}\)  là nghiệm của C(x)

Mọi nghiệm của đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia \(\Rightarrow \) đpcm

Ví dụ 6:

Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên. Biết f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không có nghiệm nguyên

Giả sử x = a là nghiệm nguyên của f(x) thì f(x) = (x – a). Q(x). Trong đó Q(x) là đa thức có hệ số nguyên, do đó f(0) = - a. Q(0), f(1) = (1 – a). Q(1)

Do f(0) là số lẻ nên a là số lẻ, f(1) là số lẻ nên 1 – a là số lẻ, mà 1 – a là hiệu của 2 số lẻ không thể là số lẻ, mâu thuẩn

Vậy f(x) không có nghiệm nguyên

*Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm số dư khi

a) x⁴³ chia cho x² + 1

b) x⁷⁷ + x⁵⁵ + x³³ + x¹¹ + x + 9 cho x² + 1

Bài 2: Tính giá trị của đa thức  x⁴ + 3x³ – 8  tại x = 2009

Bài 3: Chứng minh rằng

a) x⁵⁰ + x¹⁰ + 1 chia hết cho x²⁰ + x¹⁰ + 1

b) x¹⁰ – 10x + 9 chia hết cho x² – 2x + 1

c) x^{4n + 2} + 2x^{2n + 1} + 1 chia hết cho x² + 2x + 1

d) (x + 1)^{4n + 2} + (x – 1)^{4n + 2} chia hết cho x² + 1

e) (xⁿ – 1)(x^{n + 1} – 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1)²

Trên đây là nội dung tài liệu Bồi dưỡng HSG chuyên đề Tính chất chia hết đối với đa thức Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.