Bồi dưỡng HSG chuyên đề Chữ số tận cùng Toán 8

Chuyên đề bồi dưỡng HSG

CHỮ SỐ TẬN CÙNG

a) Tính chất 1:

+ Các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 5; 6 khi nâng lên luỹ thừa bậc bất kỳ nào thì chữ số tận cùng không thay đổi

+ Các số có chữ số tận cùng là 4; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng không thay đổi

+ Các số có chữ số tận cùng là 3; 7; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n \(\in\)N) thì chữ số tận cùng là 1

+ Các số có chữ số tận cùng là 2; 4; 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n \(\in\)N) thì chữ số tận cùng là 6

b) Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kỳ khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 1 (n \(\in\)N) thì chữ số tận cùng không thay đổi

c) Tính chất 3:

+ Các số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n \(\in\)N) thì chữ số tận cùng là 7; Các số có chữ số tận cùng là  7 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n \(\in\) N) thì chữ số tận cùng là 3

+ Các số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n \(\in\)N) thì chữ số tận cùng là 8; Các số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n \(\in\)N) thì chữ số tận cùng là 2

+ Các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n\(\in\)N) thì chữ số tận cùng là không đổi

+ Tìm chữ số tận cùng của x = a^m thì ta xét chữ số tận cùng của a:

- Nếu chữ số tận cùng của a là các chữ số: 0; 1; 5; 6 thì chữ số tận cùng của x là 0; 1; 5; 6

- Nếu chữ số tận cùng của a là các chữ số: 3; 7; 9 thì :

* Vì a^m = a^{4n + r} = a⁴ⁿ . a^r

Nếu r là 0; 1; 2; 3 thì chữ số tận cùng của x là chữ số tận cùng của a^r

Nếu r là 2; 4; 8 thì chữ số tận cùng của x là chữ số tận cùng của 6.a^r

Bài 1:

Tìm chữ số tận cùng của

a) 243⁶ ; 167²⁰¹⁰

b) \({{\left( {{7}^{9}} \right)}^{9}}\); \({{\left( \text{1}{{\text{4}}^{\text{14}}} \right)}^{14}}\); \({{\left[ {{\left( {{4}^{5}} \right)}^{6}} \right]}^{7}}\) 

Giải

a) 243⁶ = 243^{4 + 2} = 243⁴. 243²

243² có chữ số tận cùng là 9 nên chữ số tận cùng của 243⁶ là 9

Ta có 2010 = 4.502 + 2 nên 167²⁰¹⁰ = 167^{4. 502 + 2} = 167^4.502.167²

167^4.502 có chữ số tận cùng là 6; 167² có chữ số tận cùng là 9 nên chữ số tận cùng của 167²⁰¹⁰ là chữ số tận cùng của tích 6.9 là 4

b) Ta có:

+) 9⁹ -  1 = (9 – 1)(9⁸ + 9⁷ + .......+ 9 + 1) = 4k (k \(\in \)N) \(\Rightarrow \) 9⁹ = 4k + 1\(\Rightarrow \)\({{\left( {{7}^{9}} \right)}^{9}}\) = 7^{4k + 1}

= 7^4k.7 nên có chữ số tận cùng là 7

14¹⁴ = (12 + 2)¹⁴ = 12¹⁴ + 12.14¹³.2 + ....+ 12.12.2¹³ + 2¹⁴ chia hết cho 4, vì các hạng tử  trước 2¹⁴ đều có nhân tử 12 nên chia hết cho 4; hạng tử 2¹⁴ = 4⁷ chia hết cho 4 hay

14¹⁴ = 4k \(\Rightarrow \)\({{\left( \text{1}{{\text{4}}^{\text{14}}} \right)}^{14}}\) = 14^4k có chữ số tận cùng là 6

+) 5⁶ có chữ số tận cùng là 5 nên \({{\left( {{5}^{6}} \right)}^{7}}\)= 5.(2k + 1) \(\Rightarrow \) 5.(2k + 1) – 1 = 4 q (k, q \(\in \)N)

\(\Rightarrow \) 5.(2k + 1) = 4q + 1 \(\Rightarrow \) \({{\left[ {{\left( {{4}^{5}} \right)}^{6}} \right]}^{7}}\)= 4^{4q + 1} = 4^4q . 4 có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng tích 6. 4 là 4

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của

A = 2¹ + 3⁵ + 4⁹ + 5¹³ +...... + 2004⁸⁰⁰⁹

Giải

a) Luỹ thừa của mọi số hạng của A chia 4 thì dư 1(Các số hạng của A có dạng n^{4(n – 2) + 1}

(n \(\in\) {2; 3; ...; 2004} ) nên mọi số hạng của A và luỹ thừa của nó có chữ số tận cùng giống nhau (Tính chất 2) nên chữ số tận cùng của A là chữ số tận cùng của tổng các số hạng

Từ 2 đến 2004 có 2003 số hạng trong đó có 2000 : 10 = 200 số hạng có chữ số tận cùng bằng 0,Tổng các chữ số tận cùng của A là

(2 + 3 + ...+ 9) + 199.(1 + 2 + ... + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 9009 có chữ số tận cùng là 9

Vây A có chữ số tận cùng là 9

Bài 3: Tìm

a) Hai chữ số tận cùng của 3⁹⁹⁹; \({{\left( {{7}^{7}} \right)}^{7}}\)

b) Ba chữ số tận cùng của 3¹⁰⁰

c) Bốn chữ số tận cùng của 5¹⁹⁹⁴

Giải

a) 3⁹⁹⁹ = 3.3⁹⁹⁸ =3. 9⁴⁹⁹ =  3.(10 – 1)⁴⁹⁹ = 3.(10⁴⁹⁹ – 499.10⁴⁹⁸ + ...+499.10 – 1)

   = 3.[BS(100) + 4989] = ...67

7⁷ = (8 – 1)⁷ = BS(8) – 1 = 4k + 3 \(\Rightarrow \) \({{\left( {{7}^{7}} \right)}^{7}}\) = 7^{4k + 3} = 7³. 7^4k = 343.(...01)^4k = ...43

b) 3¹⁰⁰ = 9⁵⁰ = (10 – 1)⁵⁰ = 10⁵⁰ – 50. 10⁴⁹ + ...+ \(\frac{\text{50}\text{.49}}{\text{2}}\). 10² – 50.10 + 1

= 10⁵⁰ – 50. 10⁴⁹ + ...+ \(\frac{\text{49}}{\text{2}}\). 5000 – 500 + 1 = BS(1000) + 1 = ...001

Chú ý:

+ Nếu n là số lẻ không chi hết cho 5 thì ba chữ số tận cùng của n¹⁰⁰ là 001

+ Nếu một số tự nhiên n không chia hết cho 5 thì  n¹⁰⁰ chia cho 125 dư 1

HD C/m: n = 5k + 1; n = 5k + 2

+ Nếu n là số lẻ không chia hết cho 5 thì n¹⁰¹ và n có ba chữ số tận cùng như nhau

c) Cách 1: 5⁴ = 625

Ta thấy số (...0625)ⁿ  = ...0625

5¹⁹⁹⁴ = 5^{4k + 2} = 25.(5⁴)^k = 25.(0625)^k = 25.(...0625) = ...5625

Cách 2: Tìm số dư khi chia 5¹⁹⁹⁴ cho 10000 = 2⁴. 5⁴

Ta thấy 5^4k – 1 chia hết cho 5⁴ – 1 = (5² – 1)(5² + 1) chia hết cho 16

Ta có: 5¹⁹⁹⁴ = 5⁶. (5¹⁹⁸⁸ – 1) + 5⁶

Do 5⁶ chia hết cho 5⁴, còn 5¹⁹⁸⁸ – 1 chia hết cho 16 nên 5⁶(5¹⁹⁸⁸ – 1) chia hết cho 10000

Ta có 5⁶ = 15625

Vậy bốn chữ số tận cùng của 5¹⁹⁹⁴ là 5625

Chú ý: Nếu viết 5¹⁹⁹⁴  = 5². (5¹⁹⁹² – 1) + 5²

Ta có: 5¹⁹⁹² – 1 chia hết cho 16; nhưng 5² không  chia hết cho 5⁴

Như vậy trong bài toán này ta cần viết  5¹⁹⁹⁴ dưới dạng 5ⁿ(5^{1994 – n} – 1) + 5ⁿ ; n \(\ge \) 4 và 1994 – n chia hết cho 4

Bài 1:

Chứng minh rằng: Tổng sau không là số chính phương

a) A = 19^k + 5^k + 1995^k + 1996^k ( k\(\in\) N, k chẵn)

b) B = 2004^2004k + 2001

Giải

a) Ta có:

19^k có chữ số tận cùng là 1

5^k có chữ số tận cùng là 5

1995^k có chữ số tận cùng là 5

1996^k có chữ số tận cùng là 6

Nên A có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của tổng các chữ số tận cùng của tổng

1 + 5 + 5 + 6 = 17, có chữ số tận cùng là 7 nên không thể là số chính phương

b) Ta có :k chẵn nên k = 2n (n \(\in \)N)

 2004^2004k  =  (2004⁴)^501k  = (2004⁴)¹⁰⁰²ⁿ  = (...6)¹⁰⁰²ⁿ  là luỹ thừa bậc chẵn của số có chữ số tận cùng là 6 nên có chữ số tận cùng là 6 nên B = 2004^2004k + 2001 có chữ số tận cùng là 7, do đó B không là số chính phương

Bài 2:

Tìm số dư khi chia các biểu thức sau cho 5

a) A = 2¹ + 3⁵ + 4⁹ +...+ 2003⁸⁰⁰⁵

b) B = 2³ + 3⁷ +4¹¹ +...+ 2005⁸⁰⁰⁷

Giải

a) Chữ số tận cùng của A là chữ số tận cùng của tổng

(2 + 3 +... + 9) + 199.(1 + 2 + ... + 9) + 1 + 2 + 3 = 9005

Chữ số tận cùng của A là 5 nên chia A cho 5 dư 0

b)Tương tự, chữ số tận cùng của B là chữ số tận cùng của tổng

(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + ...+ 9) + 8 + 7 + 4 + 5 = 9024

B có chữ số tận cùng là 4 nên B chia 5 dư 4

*Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của: 3¹⁰² ; \({{\left( {{7}^{3}} \right)}^{5}}\); 3²⁰ + 2³⁰ + 7¹⁵ - 8¹⁶

Bài 2:  Tìm hai, ba chữ số tận cùng của:  3⁵⁵⁵ ; \({{\left( {{2}^{7}} \right)}^{9}}\)

Bài 3: Tìm số dư khi chia các số sau cho 2; cho 5:

a) 3⁸; 14¹⁵ + 15¹⁴

b) 2009²⁰¹⁰ – 2008²⁰⁰⁹

Trên đây là nội dung tài liệu Bồi dưỡng HSG chuyên đề Chữ số tận cùng Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.