Bồi dưỡng HSG chuyên đề Chữ số tận cùng Toán 8

Chuyên đề bồi dưỡng HSG

CHỮ SỐ TẬN CÙNG

I. Kiến thức cần nhớ

1. Một số tính chất

a) Tính chất 1:

+ Các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 5; 6 khi nâng lên luỹ thừa bậc bất kỳ nào thì chữ số tận cùng không thay đổi

+ Các số có chữ số tận cùng là 4; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng không thay đổi

+ Các số có chữ số tận cùng là 3; 7; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n \(\in\)N) thì chữ số tận cùng là 1

+ Các số có chữ số tận cùng là 2; 4; 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n \(\in\)N) thì chữ số tận cùng là 6

b) Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kỳ khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 1 (n \(\in\)N) thì chữ số tận cùng không thay đổi

c) Tính chất 3:

+ Các số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n \(\in\)N) thì chữ số tận cùng là 7; Các số có chữ số tận cùng là  7 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n \(\in\) N) thì chữ số tận cùng là 3

+ Các số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n \(\in\)N) thì chữ số tận cùng là 8; Các số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n \(\in\)N) thì chữ số tận cùng là 2

+ Các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n\(\in\)N) thì chữ số tận cùng là không đổi

2. Một số phương pháp

+ Tìm chữ số tận cùng của x = am thì ta xét chữ số tận cùng của a:

- Nếu chữ số tận cùng của a là các chữ số: 0; 1; 5; 6 thì chữ số tận cùng của x là 0; 1; 5; 6

- Nếu chữ số tận cùng của a là các chữ số: 3; 7; 9 thì :

* Vì am = a4n + r = a4n . ar

Nếu r là 0; 1; 2; 3 thì chữ số tận cùng của x là chữ số tận cùng của ar

Nếu r là 2; 4; 8 thì chữ số tận cùng của x là chữ số tận cùng của 6.ar

II. Một số ví dụ

Bài 1:

Tìm chữ số tận cùng của

a) 2436 ; 1672010

b) \({{\left( {{7}^{9}} \right)}^{9}}\); \({{\left( \text{1}{{\text{4}}^{\text{14}}} \right)}^{14}}\); \({{\left[ {{\left( {{4}^{5}} \right)}^{6}} \right]}^{7}}\) 

Giải

a) 2436 = 2434 + 2 = 2434. 2432

2432 có chữ số tận cùng là 9 nên chữ số tận cùng của 2436 là 9

Ta có 2010 = 4.502 + 2 nên 1672010 = 1674. 502 + 2 = 1674.502.1672

1674.502 có chữ số tận cùng là 6; 1672 có chữ số tận cùng là 9 nên chữ số tận cùng của 1672010 là chữ số tận cùng của tích 6.9 là 4

b) Ta có:

+) 99 -  1 = (9 – 1)(98 + 97 + .......+ 9 + 1) = 4k (k \(\in \)N) \(\Rightarrow \) 99 = 4k + 1\(\Rightarrow \)\({{\left( {{7}^{9}} \right)}^{9}}\) = 74k + 1

= 74k.7 nên có chữ số tận cùng là 7

1414 = (12 + 2)14 = 1214 + 12.1413.2 + ....+ 12.12.213 + 214 chia hết cho 4, vì các hạng tử  trước 214 đều có nhân tử 12 nên chia hết cho 4; hạng tử 214 = 47 chia hết cho 4 hay

1414 = 4k \(\Rightarrow \)\({{\left( \text{1}{{\text{4}}^{\text{14}}} \right)}^{14}}\) = 144k có chữ số tận cùng là 6

+) 56 có chữ số tận cùng là 5 nên \({{\left( {{5}^{6}} \right)}^{7}}\)= 5.(2k + 1) \(\Rightarrow \) 5.(2k + 1) – 1 = 4 q (k, q \(\in \)N)

\(\Rightarrow \) 5.(2k + 1) = 4q + 1 \(\Rightarrow \) \({{\left[ {{\left( {{4}^{5}} \right)}^{6}} \right]}^{7}}\)= 44q + 1 = 44q . 4 có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng tích 6. 4 là 4

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của

A = 21 + 35 + 49 + 513 +...... + 20048009

Giải

a) Luỹ thừa của mọi số hạng của A chia 4 thì dư 1(Các số hạng của A có dạng n4(n – 2) + 1

(n \(\in\) {2; 3; ...; 2004} ) nên mọi số hạng của A và luỹ thừa của nó có chữ số tận cùng giống nhau (Tính chất 2) nên chữ số tận cùng của A là chữ số tận cùng của tổng các số hạng

Từ 2 đến 2004 có 2003 số hạng trong đó có 2000 : 10 = 200 số hạng có chữ số tận cùng bằng 0,Tổng các chữ số tận cùng của A là

(2 + 3 + ...+ 9) + 199.(1 + 2 + ... + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 9009 có chữ số tận cùng là 9

Vây A có chữ số tận cùng là 9

Bài 3: Tìm

a) Hai chữ số tận cùng của 3999; \({{\left( {{7}^{7}} \right)}^{7}}\)

b) Ba chữ số tận cùng của 3100

c) Bốn chữ số tận cùng của 51994

Giải

a) 3999 = 3.3998 =3. 9499 =  3.(10 – 1)499 = 3.(10499 – 499.10498 + ...+499.10 – 1)

   = 3.[BS(100) + 4989] = ...67

77 = (8 – 1)7 = BS(8) – 1 = 4k + 3 \(\Rightarrow \) \({{\left( {{7}^{7}} \right)}^{7}}\) = 74k + 3 = 73. 74k = 343.(...01)4k = ...43

b) 3100 = 950 = (10 – 1)50 = 1050 – 50. 1049 + ...+ \(\frac{\text{50}\text{.49}}{\text{2}}\). 102 – 50.10 + 1

= 1050 – 50. 1049 + ...+ \(\frac{\text{49}}{\text{2}}\). 5000 – 500 + 1 = BS(1000) + 1 = ...001

Chú ý:

+ Nếu n là số lẻ không chi hết cho 5 thì ba chữ số tận cùng của n100 là 001

+ Nếu một số tự nhiên n không chia hết cho 5 thì  n100 chia cho 125 dư 1

HD C/m: n = 5k + 1; n = 5k + 2

+ Nếu n là số lẻ không chia hết cho 5 thì n101 và n có ba chữ số tận cùng như nhau

c) Cách 1: 54 = 625

Ta thấy số (...0625)n  = ...0625

51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(0625)k = 25.(...0625) = ...5625

Cách 2: Tìm số dư khi chia 51994 cho 10000 = 24. 54

Ta thấy 54k – 1 chia hết cho 54 – 1 = (52 – 1)(52 + 1) chia hết cho 16

Ta có: 51994 = 56. (51988 – 1) + 56

Do 56 chia hết cho 54, còn 51988 – 1 chia hết cho 16 nên 56(51988 – 1) chia hết cho 10000

Ta có 56 = 15625

Vậy bốn chữ số tận cùng của 51994 là 5625

Chú ý: Nếu viết 51994  = 52. (51992 – 1) + 52

Ta có: 51992 – 1 chia hết cho 16; nhưng 52 không  chia hết cho 54

Như vậy trong bài toán này ta cần viết  51994 dưới dạng 5n(51994 – n – 1) + 5n ; n \(\ge \) 4 và 1994 – n chia hết cho 4

III. Vận dụng vào các bài toán khác

Bài 1:

Chứng minh rằng: Tổng sau không là số chính phương

a) A = 19k + 5k + 1995k + 1996k ( k\(\in\) N, k chẵn)

b) B = 20042004k + 2001

Giải

a) Ta có:

19k có chữ số tận cùng là 1

5k có chữ số tận cùng là 5

1995k có chữ số tận cùng là 5

1996k có chữ số tận cùng là 6

Nên A có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của tổng các chữ số tận cùng của tổng

1 + 5 + 5 + 6 = 17, có chữ số tận cùng là 7 nên không thể là số chính phương

b) Ta có :k chẵn nên k = 2n (n \(\in \)N)

 20042004k  =  (20044)501k  = (20044)1002n  = (...6)1002n  là luỹ thừa bậc chẵn của số có chữ số tận cùng là 6 nên có chữ số tận cùng là 6 nên B = 20042004k + 2001 có chữ số tận cùng là 7, do đó B không là số chính phương

Bài 2:

Tìm số dư khi chia các biểu thức sau cho 5

a) A = 21 + 35 + 49 +...+ 20038005

b) B = 23 + 37 +411 +...+ 20058007

Giải

a) Chữ số tận cùng của A là chữ số tận cùng của tổng

(2 + 3 +... + 9) + 199.(1 + 2 + ... + 9) + 1 + 2 + 3 = 9005

Chữ số tận cùng của A là 5 nên chia A cho 5 dư 0

b)Tương tự, chữ số tận cùng của B là chữ số tận cùng của tổng

(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + ...+ 9) + 8 + 7 + 4 + 5 = 9024

B có chữ số tận cùng là 4 nên B chia 5 dư 4

*Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của: 3102 ; \({{\left( {{7}^{3}} \right)}^{5}}\); 320 + 230 + 715 - 816

Bài 2:  Tìm hai, ba chữ số tận cùng của:  3555 ; \({{\left( {{2}^{7}} \right)}^{9}}\)

Bài 3: Tìm số dư khi chia các số sau cho 2; cho 5:

a) 38; 1415 + 1514

b) 20092010 – 20082009

Trên đây là nội dung tài liệu Bồi dưỡng HSG chuyên đề Chữ số tận cùng Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

​Chúc các em học tập tốt!

Tham khảo thêm

Bình luận

Có Thể Bạn Quan Tâm ?