Chuyên đề Hình bình hành, đối xứng tâm Toán 8

Chuyên đề

HÌNH BÌNH HÀNH, ĐỐI XỨNG TÂM

ABCD là hình bình hành \({\rm{ <  =  > }}\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{AB//CD}}\\
{\rm{AD//BC}}
\end{array} \right.\)

Hình 21

Nếu ABCD là hình bình hành (h.21) thì:

a) Các cạnh đối bằng nhau : AB = CD, AD = BC ;

b) Các góc đối bằng nhau : A = C; B = D ;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường : OA = OC,OB = OD.

Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu có một trong các điều kiện sau :

a) Các cạnh đối song song (định nghĩa)

b) Các cạnh đối bằng nhau (đảo của tính chất 1)

c) Các góc đối bằng nhau (đảo của tính chất 2)

d) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (đảo của tính chất 3)

e) Hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

Hai hình bình hành có một đường chéo chung thì các đường chéo của chúng

đồng quy tại trung điểm của đường chéo chung.

Hai điểm A và A' gọi là đối xứng nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của

đoạn thẳng AA' (h.22).

Quy ước : Điểm đối xứng của O qua O cũng là O.

Hai hình F và F' gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua O với một điểm thuộc hình kia và ngược lại.

Định lí

a) Hai đoạn thẳng AB và A'B' đối xứng với nhau qua tâm O nếu A đối xứng với

A'; B đối xứng với B' qua O (h.23).

Hình 23

b) Hai tam giác ABC và A'B'C' đối xứng với nhau qua tâm O nếu A đối xứng với A' ; B đối xứng với B' ; C đối xứng với C' qua O (h.24).

Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình F nếu điểm đối xứng qua O của mỗi điểm

thuộc hình F cũng thuộc hình F.

Đặc biệt : Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo làm tâm đối xứng

của hình (h.25).

a) Nếu hai đoạn thẳng AB và A'B' đối xứng qua tâm O (O nằm ngoài đường

thẳng AB, A'B') thì AB // A'B' và AB = A'B (h.23).

b) Hai đường thẳng a và a' đối xứng với nhau qua tâm O nếu hai điểm của đường thẳng này đối xứng với hai điểm của đường thẳng kia qua O.

c) Một hình có thể không có, có một hoặc vô số tâm đối xứng.

d) Nếu ba điểm A, M, B thẳng hàng (M nằm giữa A và B) và A', M', B' lần

lượt là ba điểm đối xứng của chúng qua O thì ba điểm A',    M', B'  thẳng   hàng

(M' nằm giữa A' và B').

Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra phía ngoài hình bình hành các tam giác đều ABE, ADF.

a) Chứng minh rằng \(\Delta \)EFC đều.

b) Gọi M, N, K thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng BD, AF, AE. Tính số đo NMK.

Giải (h.26)

a) Đặt  \(\widehat {{\rm{ABC}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{ADC}}}{\rm{  =  }}\alpha {\rm{  =  >  }}\widehat {{\rm{CBE}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{FDC}}}{\rm{  =  }}\alpha {\rm{  +  6}}{{\rm{0}}^0}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\widehat {{\rm{EAF}}}{\rm{  =  360^\circ   -  }}\left( {{\rm{60^\circ   +  60^\circ   +  }}\widehat {{\rm{DAB}}}{\rm{ }}} \right)}\\
{{\rm{\;\;\;\;\;\;\;\; =  360^\circ   -  }}\left( {{\rm{120^\circ   +  180^\circ  -  }}\alpha } \right)}\\
{{\rm{\;\;\;\;\;\;\;\; =  }}\alpha {\rm{  +  60^\circ }}}\\
{{\rm{ =  >  }}\widehat {{\rm{EAF}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{FDC}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{CBE}}}{\rm{.}}}
\end{array}\)

Mà FA = FD = BC ; AE = EB = CD

=> \(\Delta \)FAE = \(\Delta \)FDC = \(\Delta \)CBE (c.g.c)

=> CE = CF = EF

 => \(\Delta \)CEF đều.

b) Ta có : MN ; MK ; NK lần lượt là đường trung bình của tam giác ACF ;

ACE ; AEF nên MN = \(\frac{1}{2}\)CF ; MK = \(\frac{1}{2}\)CE ; NK = \(\frac{1}{2}\)EF.

Suy ra MN = MK = NK => \(\Delta \)MNK đều =>  \(\widehat {{\rm{NMK}}}{\rm{  =  60^\circ }}{\rm{.}}\)

..........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E ; F ; G ; H theo thứ tự nằm trên cạnh AB, BC, CD, DA sao cho BE = DG ; BF = DH. Chứng minh rằng :

a) EFGH là hình bình hành.

b) Bốn đoạn AC, BD, EG và FH đồng quy.

2. Cho tứ giác ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn AF, GE, BF và DE. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.

3. Giả sử P là điểm bất kì nằm trong mặt phẳng của tam giác đều ABC cho trước. Trên các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A', B’ ; C’ ; sao cho PA', PB' và PC' theo thứ tự song song với AB, BC và CA.

a) Tìm mối liên hệ giữa độ dài các cạnh của tam giác A'B'C' với các khoảng cách từ P đến các đỉnh của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng có một điểm P duy nhất sao cho tam giác A'B'C' đều.

b) Chứng minh với mọi điểm P nằm trong tam giác ABC có :

\(\widehat{\text{BPC}}\text{ - }\widehat{\text{B }\!\!'\!\!\text{ A }\!\!'\!\!\text{ C }\!\!'\!\!\text{ }}\text{ = }\widehat{\text{CPA}}\text{ - }\widehat{\text{C }\!\!'\!\!\text{ B }\!\!'\!\!\text{ A }\!\!'\!\!\text{ }}\text{ = }\widehat{\text{APB}}\text{ - }\widehat{\text{A }\!\!'\!\!\text{ C }\!\!'\!\!\text{ B }\!\!'\!\!\text{ }}\text{ = }\alpha\) và giá trị của \(\alpha \) không phụ thuộc vào vị trí của P.

4. Cho \(\Delta \)ABC, M là một điểm nằm trong tam giác. Lần lượt vẽ các hình bình hành MBDC, MAED. Chứng minh rằng khi điểm M di động thì đường thẳng ME luôn đi qua một điểm cố định

........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề Hình bình hành, đối xứng tâm Toán 8​​​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.