Chuyên đề Đường trung bình của tam giác, của hình thang Toán 8

Chuyên đề

ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG

a) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác (h.6).

b) Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang (h.7).       

a) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

b) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai cạnh đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.    

a) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

b) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Trong hình thang có hai cạnh bên không song song, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo thì song song với hai đáy và bằng một nửa hiệu hai đáy.

Trong hình 8 :

MN // AB // CD; \({\rm{MN  = }}\frac{{{\rm{CD  -  AB}}}}{{\rm{2}}}\) 

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có \(\widehat {\rm{A}}{\rm{  =  80^\circ }}\) (AB > AC). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tính số đo góc BEF.

Giải (h.9)

Gọi O là trung điểm của CD.

Suy ra EO là đường trung bình của tam giác ACD ; FO là đường trung bình của tam giác BCD, suy ra EO//AC ; EO = \(\frac{1}{2}\)AC ;

FO//BD ; FO = \(\frac{1}{2}\)BD mà AC = BD => EO = FO

=> \(\Delta \)OEF cân => \(\widehat{\text{OEF}}\text{ = }\widehat{\text{OFE}}\)

FO // AB => \(\widehat{\text{OFE}}\text{ = }\widehat{\text{BEF}}\) (so le trong) \(\text{=}{{\text{}}^{{}}}\widehat{\text{BEF}}\text{ = }\widehat{\text{OEF}}\)

EO // AC => \(\widehat{\text{BEO}}\text{ = }\widehat{\text{BAC}}\text{ = 8}{{\text{0}}^{\text{0}}}^{{}}\text{=}{{\text{}}^{{}}}\widehat{\text{BEF}}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{2}}\widehat{\text{BEO}}\text{ = 4}{{\text{0}}^{\text{0}}}\text{.}\) 

Nhận xét

• Khó khăn của bài toán là việc vận dụng giả thiết BD = AC và các trung điểm E, F. Vì vậy việc tạo nên điểm phụ là yếu tố tất yếu để liên kết các giả thiết với nhau.

• Bài toán này có thể giải theo các cách khác :

Cách 2. Gọi I là trung điểm của AB, ta chứng minh \(\Delta \)EFI cân tại I và \(\widehat{\text{BIF}}\text{ = 80 }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }\text{.}\) Từ đó suy ra góc BEF.

Cách 3. Trên tia CE lấy điểm H sao cho E là trung điểm của HC. Ta chứng minh được \(\Delta \)BDH cân tại D và \(\widehat{\text{DBH}}\text{ = 40 }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }\text{.}\) Từ đó suy ra góc BEF.

Cách 4. Trên tia DF lấy điểm K sao cho F là trung điểm của DK. Ta chứng minh được \(\Delta \)ACK cân tại C và \(\widehat{\text{BAK}}\text{ = 40 }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }\text{.}\) Từ đó suy ra góc BEF.

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

1. Cho tứ giác ABCD có AC và BD vuông góc với nhau. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Kẻ EH vuông góc với CD tại H ; kẻ FK vuông góc với BC tại K. Chứng minh rằng AC ; EH và FK đồng quy.

2. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy các điểm D ; E sao cho AD = BE <\(\frac{\text{AB}}{\text{2}}\).

Qua D và E kẻ các đường thẳng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng BC = DM + EN.

3. Cho hình thang ABCD (AB// CD), trung điểm E của BD và trung điểm F của AC. Gọi G là giao điểm của đường thẳng qua E vuông góc với AD và đường thẳng qua F vuông góc với BC. So sánh độ dài các đoạn thẳng GD và GC.

4. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB < CD. Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng MN = \(\frac{1}{2}\)(CD - AB).

........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề Đường trung bình của tam giác, của hình thang Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.