Chuyên đề Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang Toán 8

Chuyên đề

DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA

DỰNG HÌNH THANG

Giải bài toán dựng hình bằng thước và compa là chỉ ra một số hữu hạn lần các   phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản rồi chứng tỏ rằng hình dựng được có đầy đủ các điều kiện mà bài toán đòi hỏi.

Dựng đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Dựng đường tròn (cung tròn) biết tâm và bán kính qua nó.

Dựng giao điểm của hai đường (hai đường thẳng ; hai đường tròn ; đường thẳng với đường tròn).

Các bài toán sau đây được gọi là các bài toán dựng hình cơ bản, trong khi làm bài ta không cần phải nhắc lại thứ tự các bước của phép dựng nữa.

a) Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước.

b) Dựng một góc bằng một góc cho trước.

c) Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước, dựng trung điểm của một đoạn thẳng cho trước.

d) Dựng tia phân giác của một góc cho trước.

e) Qua một điểm cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

f) Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, dựng đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.

g) Dựng tam giác biết ba cạnh hoặc hai cạnh và góc xen giữa hoặc biết một cạnh và hai góc kề.

h) Dựng một tam giác đều hoặc hình vuông khi biết một cạnh của nó.

i) Dựng hình chữ nhật khi biết hai cạnh kề.

Bài toán dựng hình đầy đủ gồm bốn bước.

- Phân tích : Giả sử hình đó đã dựng được, trước hết vẽ phác một hình gần giống hình cần dựng trên những nét lớn, khi cần thiết phải vẽ thêm những đường liên quan, nghiên cứu tỉ mỉ mối quan hệ phụ thụộc giữa các điều kiện trong hình, dựa vào đó quyết định dùng phương pháp nào để dựng hình cần tìm.

- Cách dựng : Nêu thứ tự từng bước dựng hình dựa vào các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản. Đồng thời thể hiện các bước dựng đó trên hình vẽ.

- Chứng minh : Dùng lập luận để chứng minh hình dựng được bằng phương pháp đã trình bày là hoàn toàn phù hợp với các điều kiện đã cho của bài toán.

- Biện luận : Phân tích mối quan hệ giữa các điều kiện đã cho và hình đã dựng được. Chỉ rõ trong trường hợp nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thoả mãn điều kiện của đề bài.

- Trong bước phân tích ta giả sử đã dựng được hình thoả mãn đề bài. Trên cơ sở đó xét xem bộ phận nào (đoạn thẳng, tam giác,...) dựng được ngay, bộ phận nào còn phải xác định thường được quy về việc xác định một điểm thoả mãn hai điều kiện, ứng với mỗi điều kiện, điểm phải tìm nằm trên một đường nào đó. Giao điểm của hai đường ấy là điểm cần tìm.

- Trong bước biện luận ta phải xét xem với điều kiện nào của các yếu tố đã cho thì dựng được hình và khi đó dựng được bao nhiêu hình.

- Nếu bài toán cho dựng hình về kích thước, không yêu cầu chỉ ra vị trí của hình phải dựng thì hai hình bằng nhau chỉ coi là một nghiệm hình.

Ví dụ 1. Dựng tam giác ABC biết AC = 7cm, đường cao AH = 5cm và trung tuyến AM = 6cm.

Giải (h.12)

Phân tích :

Giả sử tam giác ABC đã dựng được thoả mãn yêu cầu đề bài, có AC = 7cm, AH = 5cm, AM = 6cm.

Ta thấy

- Tam giác AHM dựng được vì biết ba yếu tố.

- Điểm C là giao điểm của đường thẳng HM với đường tròn tâm A, bán kính 7cm.

- Đỉnh B thuộc tia đối của tia MC sao cho MB = MC.

Cách dựng :

- Dựng tam giác AHM có; AH = 5cm, AM = 6cm.

- Vẽ cung tròn tâm A, bán kính 7cm cắt đường thẳng HM tại điểm C.

Trên tia đối của tia MC lấy điểm B sao cho MB = MC.

Nối AB, AC ta được tam giác ABC cần dựng.

Chứng minh :        

- Theo cách dựng, ta có AH vuông góc với BC, AH = 5cm, AM = 6cm, AC = 7cm.

- Mặt khác M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến.

Vậy tam giác ABC thoả mãn các yêu cầu đề bài.

Biện luận :

- Do AM > AH nên tam giác AHM luôn dựng được.

- Do (A ; 7cm) cắt đường thẳng MH tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình.

Ví dụ 2. Đựng hình thang ABCD biết đáy AB = 2cm, đáy CD = 5cm, cạnh bên AD = 2cm, BC = 4cm.

Giải (h.13)

Phân tích :

Giả sử ABCD là hình thang phải dựng thoả mãn điều kiện. 

Kẻ AE // BC suy ra AE = BC = 4cm, AB = CE = 2cm => DE = 5 - 2 = 3 (cm).

- Tam giác ADE dựng được vì biết độ dài ba cạnh.

- Điểm C nằm trên tia DE và cách D một khoảng 5cm nên dựng được.

- Điểm B nằm trên tia Ax song song với CD và cách A một khoảng 2cm nên dựng được.

Cách dựng :

- Dựng tam giác ADE có AD = 2cm, AE = 4cm, DE = 3cm.

- Trên tia DE lấy điểm c sao cho DC = 5cm.

- Dựng tia Ax song song với DC (tia Ax và điểm C nằm trong cùng nửa mặt phẳng bờ AD).

- Dựng điểm B trên tia Ax sao cho AB = 2cm. Kẻ đoạn thẳng BC, ta được ABCD là hình thang cần dựng.

Chứng minh :

AB // CD nên ABCD là hình thang.

- Theo cách dựng AB = 2cm, AD = 2cm, CD = 5cm nên thoả mãn yêu cầu đề bài.

- Ta có EC = AB (= 2cm), EC // AB nên \(\Delta \)ABC = \(\Delta \)CEA (c.g.c) nên BC = EA = 4cm. Vậy ABCD là hình thang thoả mãn điều kiện để bài.

Biện luận :

Ta luôn dựng được một hình thang thoả mãn điều kiện của đề bài.

1. Dựng tam giác cân ABC biết AB = AC, AB + BC = 8cm, \(\widehat{\text{B}}\text{ = 70 }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }\).

2. Dựng tam giác vuông ABC biết \(\widehat{\text{A}}\text{ = 90 }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }\text{,}\)BC = 10cm, AB - AC = 2cm.

3. Dựng một tam giác cho biết một góc, đường cao thuộc một cạnh của góc đó và chu vi tam giác đó.

4. Dựng hình thang ABCD biết đáy AB = 3cm, đáy CD = 7cm, đường cao AH = 4cm và đường chéo BD = 6cm.

5. Dựng tứ giác ABCD biết AB = a, BC = b, CD = c, DA = d và góc A = \(\alpha \).

6. Dựng hình thang ABCD biết đáy AB = a, cạnh bên BC = d, đường chéo AC = m và đường trung bình MN = n.

7. Dựng tứ giác ABCD biết AB = 2cm, AD = 3cm, \(\widehat{\text{A}}\text{ = 80 }\!\!{}^\circ\!\!\text{  ; }\widehat{\text{B}}\text{ = 120 }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }\text{, }\widehat{\text{D}}\text{ =100 }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }\). 

8. Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết AB = 2cm, CD = 6 cm, \(\widehat{\text{C}}\text{ = 60 }\!\!{}^\circ\!\!\text{  ; }\widehat{\text{D}}\text{ = 45 }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }\text{.}\) 

9. Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết AB = 2cm, AC = 5 cm, BD = 3cm và \(\widehat{\text{AOB }}\text{= 120 }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }\)(O là giao điểm hai đường chéo AC và BD).

10. Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết:

a) BC = 2,5cm, CD = 4,5cm, AD = 3cm, \(\widehat{\text{D}}\text{ = 55 }\!\!{}^\circ\!\!\text{ }\text{.}\) 

b) AB = 2cm, CD = 4cm, AC = 3cm, BD = 3,5cm.

Trên đây là nội dung tài liệu Chuyên đề Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.