Chuyên đề bài toán vay trả góp – góp vốn

Bài toán 1: Ông Ninh hàng tháng gửi vào ngân hàng Y một số tiền như nhau là a đồng,kì hạn1 tháng với lãi suất r% một tháng. Sau n tháng ông Ninh  nhận được số tiền vốn và lãi là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Cuối tháng thứ 1, ông Ninh có số tiền là: 

\({P_1} = a + a.r = a\left( {1 + r} \right)\)

Đầu tháng thứ 2, ông Ninh có số tiền là: 

\({P_1} + a = a\left( {1 + r} \right) + a = a + a\left( {1 + r} \right) = a\left[ {1 + \left( {1 + r} \right)} \right]\)

Cuối tháng thứ 2, ông Ninh có số tiền là:

\({P_2} = {P_1} + {P_1}.r = a + a\left( {1 + r} \right) + \left[ {a + a\left( {1 + r} \right)} \right].r = a\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} + \left( {1 + r} \right)} \right]\)

Đầu tháng thứ 3, ông Ninh có số tiền là:

\({P_2} + a = a\left[ {\left( {1 + r} \right) + {{\left( {1 + r} \right)}^2}} \right] + a = a\left[ {1 + \left( {1 + r} \right) + {{\left( {1 + r} \right)}^2}} \right]\)

Cuối tháng thứ 3, ông Ninh có số tiền là:

\({P_3} = {P_2} + {P_2}.r = a\left[ {1 + \left( {1 + r} \right) + {{\left( {1 + r} \right)}^2}} \right] + a\left[ {1 + \left( {1 + r} \right) + {{\left( {1 + r} \right)}^2}} \right].r = a\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^3} + {{\left( {1 + r} \right)}^2} + \left( {1 + r} \right)} \right]\)

 …………………

Cuối tháng thứ n, ông Ninh có số tiền là:

\({P_n} = a\left[ {\underbrace {{{\left( {1 + r} \right)}^n} + {{\left( {1 + r} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {1 + r} \right)}^{n - 2}} + .... + {{\left( {1 + r} \right)}^2} + \left( {1 + r} \right)}_{{S_n}}} \right]\)

\(\Leftrightarrow {P_n} = a\left( {1 + r} \right)\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}\,\left( 3 \right)\)

(Lưu ý các số hạng của tổng S_n là tổng của n số hạng đầu tiên của một  cấp số nhân với công bội là q = 1 + r và số hạng đầu là \({u_1} = 1 + r\) nên ta có \({S_n} = {u_1}\frac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}} = \left( {1 + r} \right)\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}\))

Ví dụ 1: Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng 3000.000 đồng, theo hình thức lãi kép,kì hạn1 tháng. Biết rằng lãi suất hàng tháng là 0,67% . Hỏi sau 2 năm người đó nhận được số tiền là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức (3) cho a = 3000.000 đồng, \(r = 0,67\% ,n = 2 \times 12 = 24\) tháng

Ta có: Sau 2 năm người đó nhận được số tiền là:

\({P_{24}} = 3000000(1 + 0,67\% )\frac{{{{(1 + 0,67\% )}^{24}} - 1}}{{0,67\% }} = 78351483,45\) đồng

Bài toán 2: Giả sử có một người gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất r% một tháng , kì hạn 1 tháng. Mỗi tháng người đó rút ra đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau n tháng số tiền còn lại là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi P_n là số tiền còn lại sau tháng thứ n.

Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là: \(a + ar = a\left( {1 + r} \right) = ad\) với d = 1 + r

Rút x đồng thì số tiền còn lại là: \({P_1} = ad - x = ad - x\frac{{d - 1}}{{d - 1}}\)

Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là: 

\(ad - x + \left( {ad - x} \right)r = \left( {ad - x} \right)\left( {1 + r} \right) = \left( {ad - x} \right)d\)

Rút x đồng thì số tiền còn lại là:

\({P_2} = \left( {ad - x} \right)d - x = a{d^2} - xd - x = a{d^2} - x\left( {d + 1} \right) = a{d^2} - x\frac{{{d^2} - 1}}{{d - 1}}\)

Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là:

\(a{d^2} - x\left( {d + 1} \right) + \left[ {a{d^2} - x\left( {d + 1} \right)} \right]r = \left[ {a{d^2} - x\left( {d + 1} \right)} \right]\left( {1 + r} \right) = \left[ {a{d^2} - x\left( {d + 1} \right)} \right]d\)

Rút đồng thì số tiền còn lại là:

\({P_3} = \left[ {a{d^2} - x\left( {d + 1} \right)} \right]d - x = a{d^3} - x{d^2} - xd - x = a{d^3} - x\left( {{d^2} + d + 1} \right) = a{d^3} - x\frac{{{d^3} - 1}}{{d - 1}}\)

………………………………………..
Sau tháng thứ n số tiền còn lại là: \({{P_n} = a{d^n} - x\frac{{{d^n} - 1}}{{d - 1}} \Leftrightarrow {P_n} = a{{\left( {1 + r} \right)}^n} - x\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}\,\,,\,\left( 4 \right)}\) với d = 1 + r

Ví dụ 2: Một cụ già có 100.000.000 gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0,65% một tháng. Mỗi tháng cụ rút ra 1000.000 đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau hai năm số tiền còn lại của cụ là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức (4) với: \(n = 24,r = 0,65\% ,x = 1000000,a = 100000000\)

Vậy số tiền bà cụ còn lại sau 2 năm là:

\({P_{24}} = 100000000{\left( {1 + 0,65\% } \right)^{24}} - 1000000.\frac{{{{\left( {1 + 0,65\% } \right)}^{24}} - 1}}{{0,65\% }} = 90941121,63\) đồng.

Bài toán 3: Trả góp ngân hàng hoặc mua đồ trả góp. (Bài toán này cách xây dựng giống bài toán số 2) Ta xét bài toán tổng quát sau: Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất cho số tiền chưa trả là r% một tháng (hình thức này gọi là tính lãi trên dư nợ giảm dần nghĩa là tính lãi trên số tiền mà người vay còn nợ ở thời điểm hiện tại) , số tháng vay là n tháng, số tiền đều đặn trả vào ngân hàng là x đồng. Tìm công thức tính x? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian vay. Ảnh minh hoạ: Nguồn internet

Hướng dẫn giải

Gọi \({P_{n + 1}}\) là số tiền còn lại đầu tháng thứ n + 1.

Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là: a + ar = a(1 + r) với d = 1 + r

Trả x đồng thì số tiền còn lại đầu tháng thứ hai là: 

\({P_2} = ad - x = ad - x\frac{{d - 1}}{{d - 1}}\)

Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là: ad - x + (ad - x)r = (ad - x)(1 + r) = (ad - x)d

Trả x đồng thì số tiền còn lại đầu tháng thứ 3 là:

\({P_3} = \left( {ad - x} \right)d - x = a{d^2} - xd - x = a{d^2} - x\left( {d + 1} \right) = a{d^2} - x\frac{{{d^2} - 1}}{{d - 1}}\)

Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là:

ad² - x(d + 1) + [ad² - x(d+1)]r = ad² - x(d+1)](1+r) = [ad² - x(d + 1)]d

Trả đồng thì số tiền còn lại đầu tháng thứ 3 là:

\({P_4} = \left[ {a{d^2} - x\left( {d + 1} \right)} \right]d - x = a{d^3} - x{d^2} - xd - x = a{d^3} - x\left( {{d^2} + d + 1} \right) = a{d^3} - x\frac{{{d^3} - 1}}{{d - 1}}\)

……………………………………….
Sau tháng thứ n - 1,số tiền còn lại đầu tháng thứ n là: \({P_{n + 1}} = a{d^n} - x\frac{{{d^n} - 1}}{{d - 1}} \Leftrightarrow \,{P_{n + 1}} = a{\left( {1 + r} \right)^n} - x\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}\,(5a)\) với d = 1 + r

Do sau tháng thứ n người vay tiền đã trả hết số tiền đã vay ta có

\({P_{n + 1}} = 0 \Leftrightarrow a{d^n} - x\frac{{{d^n} - 1}}{{d - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{a{d^n}\left( {d - 1} \right)}}{{{d^n} - 1}}\) \( \Leftrightarrow x = \frac{{a{{\left( {1 + r} \right)}^n}.r}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}\,\,\left( {5b} \right)\)

Ví dụ 3: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, lãi suất cho số tiền chưa trả là 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách : Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền x mà ông A phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.

(Trích đề minh hoạ môn toán năm 2017)

Hướng dẫn giải

Lãi suất 12% một năm suy ra lãi suất trong 1 tháng là 1% một tháng.

Áp dụng công thức (5b) cho: \(a = 100000000,,r = ,1\% ,n = 3,{P_4} = 0\). Tìm x?

Vậy số tiền x mà ông A phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ ,để 3 tháng hết nợ là:

\(x = \frac{{a.r.{{\left( {1 + r} \right)}^n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}} = \frac{{100.0,01.{{\left( {1 + 0,01} \right)}^3}}}{{{{\left( {1 + 0,01} \right)}^3} - 1}} \approx 34\) triệu đồng một tháng .

Bài 1: Muốn có số tiền là 200 triệu đồng sau 36 tháng thì phải gửi tiết kiệm một tháng là bao nhiêu. Biết rằng tiền gửi tiết kiệm ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0,67% một tháng. Lãi suất không thay đổi trong thời gian gửi.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức (3) cho \({P_n} = 200000000\) đồng, \(r = 0,67\% ,n = 36\) tháng

Ta có:

\(\begin{array}{l} {P_n} = a\left( {1 + r} \right)\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r} \Leftrightarrow a = \frac{{r.{P_n}}}{{\left( {1 + r} \right)\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1} \right]}}\\ \Leftrightarrow a = \frac{{0,67\% .200000000}}{{\left( {1 + 0,67\% } \right)\left[ {{{\left( {1 + 0,67\% } \right)}^{36}} - 1} \right]}} \Leftrightarrow a \approx 4.898.146 \end{array}\)

Vậy hàng tháng phải gửi tiết kiệm số tiền gần 4.900.000 đồng.

Bài 2: Bạn An được gia đình cho gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền là 200.000.000 đồng, theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0,75 % một tháng. Nếu mỗi tháng An rút một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng tính lãi thì An phải rút bao nhiêu tiền một tháng để sau đúng 5 năm, số tiền An đã gửi vừa hết?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức (4) với: \(n = 60,r = 0,75\% ,a = 200000000,{P_n} = {P_{60}} = 0\). Tìm x?

Ta có \({P_{60}} = a{d^{60}} - x\frac{{{d^{60}} - 1}}{{d - 1}} \Leftrightarrow x\frac{{{d^{60}} - 1}}{{d - 1}} = a{d^{60}} - {P_{60}} \Leftrightarrow x = \frac{{\left( {a{d^{60}} - {P_{60}}} \right)\left( {d - 1} \right)}}{{{d^{60}} - 1}}\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{\left[ {200000000 \times {{\left( {1 + 0,75\% } \right)}^{60}} - 0} \right] \times 0,75\% }}{{{{\left( {1 + 0,75\% } \right)}^{60}} - 1}} \approx 4.151.671\) đồng.

Bài 3: Một người vay ngân hàng với số tiền 50.000.000 đồng, mỗi tháng trả góp số tiền 4000.000 đồng và phải trả lãi suất cho số tiền chưa trả là 1,1% một tháng theo hình thức lãi kép. Hỏi sau bao lâu người đó trả hết nợ?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức (5b) cho: \(a = 50000000,x = 4000000,r = 1,1\% ,{P_{n + 1}} = 0\). Tìm n?

Từ công thức (5b) ta có:

\(\begin{array}{l} x = \frac{{ar{{\left( {1 + r} \right)}^n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}} \Leftrightarrow x{\left( {1 + r} \right)^n} - x = ar{\left( {1 + r} \right)^n}\\ \Leftrightarrow \left( {x - ar} \right){\left( {1 + r} \right)^n} = x \Leftrightarrow {\left( {1 + r} \right)^n} = \frac{x}{{x - ar}}\\ \Leftrightarrow n = {\log _{1 + r}}\frac{x}{{x - ar}} \Leftrightarrow n = {\log _{1 + 1,1\% }}\frac{{4000000}}{{4000000 - 50000000 \times 1,1\% }} \Leftrightarrow n \approx 13,52\\ \Rightarrow n \ge 14 \end{array}\)

Vậy sau 14 tháng người đó sẽ trả hết nợ.

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề bài toán vay trả góp – góp vốn. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề bài toán lãi đơn

• Chuyên đề bài toán lãi kép

Chúc các em học tập tốt!