Bài 8: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

- Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (c.g.c; hình a).

- Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc của tam giac vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (g.c.g; hình b)

- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (g.c.g; hình c)

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vùng đó bằng nhau (hình d).

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A.

Giải

Xét hai tam giác vuông ADB và ADC có AD cạnh chung

AB = AC (gt)

Nên $\mathrm{\Delta }ADB=\mathrm{\Delta }ADC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (góc tương ứng)

Vậy AD là tia phân giác của góc A.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ $BH\mathrm{\perp }AC,CK\mathrm{\perp }AB.$ Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh AI là tia phân giác của góc A.

Giải

Xét hai tam giác AHB và AKC, ta có: AB=AC (gt)

$B_1=\widehat{C_1}$ (cùng nhau $\frac{1}{2}\hat{B}=\frac{1}{2}\hat{C}$)

Nên $\mathrm{\Delta }AHB=\mathrm{\Delta }AKC$ (cạnh huyền, cạnh góc nhọn) suy ra AH = AK (cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông AHI và AKI, ta có:

AI cạnh chung

AH= AK (CM trên)

Nên $\mathrm{\Delta }AHI=\mathrm{\Delta }AKI$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

Vậy AI là tia phân giác của góc A.

Ví dụ 3: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E.

a. So sánh độ dài AE và DE

b. Tia phân giác góc ngoài tại đỉnh C cắt đường thẳng BE ở K. Tính $\widehat{BAK}.$

Giải

a. Nối BE xét $\mathrm{\Delta }ABE$ và $\mathrm{\Delta }DBE,$ có:

$\begin{array}{l}BAE=BDE={90}^0\\ BA=BD(gt)\end{array}$

BC cạnh chung

Nên $\mathrm{\Delta }ABE=\mathrm{\Delta }DBE$ (trường hợp cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra AE = DE

b. Nối AK

Vì $\mathrm{\Delta }ABE=\mathrm{\Delta }DBE$ nên ta có $\widehat{ABE}=\widehat{DBE}$ hay BK là tia phân giác của góc B. Kẻ $KM\mathrm{\perp }BC,KN\mathrm{\perp }AB,KH\mathrm{\perp }AC.$

Hai tam giác vuông KHC và KMC có cạnh huyền KC chung, hai góc nhọn bằng nhau $\widehat{KCH}=\widehat{KCM}$ (CK là phân giác của $\widehat{HCM}$) nên $\mathrm{\Delta }KHC=\mathrm{\Delta }KMC$

Suy ra KH = KM

Tương tự $\mathrm{\Delta }KNB=\mathrm{\Delta }KMB$ (cạnh huyền, góc nhọn)

Nên KM = KN

Suy ra KH = KN (cùng bằng KM)

Xét hai tam giác vuông KAH và KAN có:

KA cạnh chung

KH = KN

Nên $\mathrm{\Delta }KAH=\mathrm{\Delta }KAN$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\frac{1}{2}\widehat{HAN}={45}^0$

Do đó

 $\begin{array}{l}\widehat{BAK}=\widehat{BAC}+\widehat{A_2}\\ ={90}^0+{45}^0\end{array}$

Vậy $\widehat{BAK}={135}^0$

Bài 1: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại A (AB < AC), M là một điểm thuộc cạnh AC. Kẻ MH vuông góc với BC $(H\in BC)$. Biết  MH = HB. Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc A.

Giải

Kẻ $HI\mathrm{\perp }AB,HK\mathrm{\perp }AC(I\in AB,K\in AC)$

Ta có $\widehat{M_1}=\hat{B}$ (Vì $\widehat{M_1}+\hat{C}={90}^0;\hat{B}+\hat{C}={90}^0$)

Xét $\mathrm{\Delta }HIB$ và $\mathrm{\Delta }HKM$

Có:  $\hat{I}=\hat{K}={90}^0$

HB=MH (gt)

$\hat{B}=\widehat{M_1}$

Vậy $\mathrm{\Delta }HIB=\mathrm{\Delta }HKM$ (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra HI = HK

Xét $\mathrm{\Delta }AIH=\mathrm{\Delta }AKH$ có:

$\hat{I}=\hat{K}={90}^0$

AH cạnh chung

HI = HK

Vậy $\mathrm{\Delta }AIH=\mathrm{\Delta }AKH$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

Vậy AH là tia phân giác của góc A.

Bài 2: Cho tam giác cân ABC, cạnh đáy BC. Từ B kẻ đường vuông góc với AB và từ C kẻ đường vuông góc với AC. Hai đường này cắt nhau tại M. Chứng minh rằng:

a. $\mathrm{\Delta }ABM=\mathrm{\Delta }ACM$

b. AM là đường trung trực của BC.

Giải

a. Xét hai tam giác vuông ABM và ACM có:

Cạnh huyền AM chung

AB = AC (gt)

Vậy $\mathrm{\Delta }ABM=\mathrm{\Delta }ACM$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

b. Gọi H là giao điểm của AM và BC, hai tam giác AHB và AHC có AB = AC (gt), $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}(\mathrm{\Delta }ABM=\mathrm{\Delta }ACM);$AH là cạnh chung. Nên $\mathrm{\Delta }AHB=\mathrm{\Delta }AHC(c.g.c)$

Suy ra $HB=HC;\widehat{H_1}=\widehat{H_2}$

Mà $\widehat{H_1}=\widehat{H_2}={180}^0$

Nên $\widehat{H_1}=\widehat{H_2}={90}^0$hay $AH\mathrm{\perp }BC.$

Vậy AM là đường trung trực của BC ($AH\mathrm{\perp }BC$ và $HB=HC$)

Bài 3: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại A. Ở miền ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABD, ACF (AB =BD; AC = CF).

a. Chứng minh D, A, F thẳng hàng.

b. Từ D và F hạ các đường vuông góc DD’, FF’ xuống đường thẳng BC. Chứng minh: DD’ + FF’ = BC.

Giải

a. Vì các tam giác DBA, ACF vuông cân nên ta suy ra:

$\widehat{DAB}={45}^0;\widehat{\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{F}}={45}^0$

Nên

$\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{F}}=\widehat{\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}}+\widehat{\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{F}}\\ ={45}^0+{90}^0+{45}^0={180}^0\end{array}$

Vậy D, A, F  thẳng hàng

b. Từ A vẽ $AH\mathrm{\perp }BC$

Xét hai tam giác vuông DD’B và BHA có:

BD=AB (gt)

$\widehat{DB{D}^{\prime }}=\widehat{BAH}$ (Cùng phụ với $\widehat{ABH}$)

Nên $\mathrm{\Delta }DB{D}^{\prime }=\mathrm{\Delta }BAH$ (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra DD’ = BH (1)

Tương tự $\mathrm{\Delta }{F}^{\prime }CF=\mathrm{\Delta }HAC$ (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra FF’=HC (2)

Cộng vế với vế (1) và (2) ta có:

DD’+ FF’=BH + HC

Vậy DD’ + FF’ = BC.

Qua bài giảng Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nhận biết được các trường hợp bằng nhau đã biết của hai tam giác vuông
• Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và cạnh góc vuông

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Bài 8 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Cho tam giác ABC và tam giác NPM có BC = PM, $\hat{B}=\hat{P}={90}^0$. Cần thêm điều kiện gì để tam giác ABC và tam giác NPM bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông?

  • A. BA = PM
  • B. BA = PN
  • C. CA = MN
  • D. $\hat{A}=\hat{N}$

• Câu 2:

  Cho tam giác ABC và tam giác MNP có $\hat{A}=\hat{M}={90}^0,\hat{C}=\hat{P}$. Cần thêm một điều kiện gì để tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn kề

  • A. AC = MP
  • B. AB = MN
  • C. BC= NP
  • D. AC = MN

• Câu 3:

  Cho tam giác ABC và tam giác DEF có $\hat{B}=\hat{E}={90}^0,AC=DF,\hat{A}=\hat{F}$. Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là đúng 

  • A. $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }F\mathrm{E}\mathrm{D}$
  • B. $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }F\mathrm{D}\mathrm{E}$
  • C. $\mathrm{\Delta }BAC=\mathrm{\Delta }F\mathrm{E}\mathrm{D}$
  • D. $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }D\mathrm{E}\mathrm{F}$

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Bài 8 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Bài tập 63 trang 136 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 64 trang 136 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 65 trang 137 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 66 trang 137 SGK Toán 7 Tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!