Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc (gcg)

Để vẽ được tam giác ABC tổng các số đo của hai góc đã cho phải nhỏ hơn ${180}^0$

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác  này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu $\mathrm{\Delta }ABC$ và $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có

$\begin{array}{l}\hat{B}=\widehat{B^{\prime }}\\ BC=B^{\prime }{C}^{\prime }\\ \hat{C}=\widehat{C^{\prime }}\end{array}$

Thì $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }(c.g.c)$

Hệ quả 1: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác  vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề  cạnh ấy của tam giác  vuông kia thì tam giác vuông đó bằng nhau.

Hệ quả 2: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì tam giác vuông đó bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ có $\hat{B}=\hat{C}$

Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Tia phân giác của góc C cắt AB ở E. So sánh độ dài các đoạn thẳng BD và CE.

Giải

$\mathrm{\Delta }EBC$ và $\mathrm{\Delta }DCB$ có:

$\widehat{EBC}=\widehat{DCB}$ (gt $\hat{B}=\hat{C}$)

BC cạnh chung

$\widehat{ECB}=\widehat{DBC}(gt=\frac{1}{2}\hat{B}=\frac{1}{2}\hat{C})$

Nên $\mathrm{\Delta }EBC=\mathrm{\Delta }DCB$ (c.g.c)

Suy ra CE = BD.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = AC và $\hat{B}=\hat{C}$. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE. Gọi I là giao điểm  của BE và CD. Chứng minh rằng: $\mathrm{\Delta }IBD=\mathrm{\Delta }ICE.$

Giải

Xét hai tam giác ABE và ACB chúng có:

AB = AC (giả thiết)

 $\hat{A}$ chung

AD = AE (giả thiết)

Nên $\mathrm{\Delta }ABE=\mathrm{\Delta }ACD(c.g.c)$

Suy ra BE = CD và $\widehat{ABE}=\widehat{ACD}{}^{(1)}$

Ta có AB = AC và AD = AE  (giả thiết)

Nên BD = CE

$\hat{B}=\hat{C}$ (giả thiết) ${}^{(2)}$

BC chung

Do đó $\mathrm{\Delta }BCD=\mathrm{\Delta }CBE$

Suy ra $\widehat{BCD}=\widehat{CEB}{}^{(3)}$

Từ (1), (2), (3) ta có:

$\mathrm{\Delta }IBD=\mathrm{\Delta }ICE(g.c.g)$

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy cac điểm D và E sao BD = CE. Qua D và E kẻ các đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC theo thứ tự I và K.

Chứng minh rằng: DI + EK = AB

Giải

Qua D vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại L.

Xét hai tam giác BDL và ECK có:

$B_1=E_1$ (cặp góc đồng vị do EK//AB)

BD=CE (giả thiết)

$D_1=C$ (cặp góc đồng vị do DK // CA)

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }BDL=\mathrm{\Delta }ECK$ (g.c.g)

$\Rightarrow BL=EK{}^{(1)}$

Mặt khác ta có:

AL = DI (theo bài 350) ${}^{(2)}$

Mà $AB=AL+LB{}^{(3)}$

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AB = DI + EK

Bài 1: Cho tam giác ABC (AB=AC) và I là trung điểm của cạnh đáy BC. Dựng tia Cx song song với tia BA sao cho hai tia BA và Cx nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng BC. Lấy một điểm D nào đó trên AB. Gọi E là một điểm trên tia Cx sao cho BD = CE. Chứng minh rằng: Ba điểm D, I, E thẳng hàng.

Giải

Hai tam giác BID và CIE có:

BI = CI (I là trung điểm cạnh BC)

$\widehat{IBD}=\widehat{ICE}$ (hai góc so le trong)

BD = CE (giả thiết)

Vậy $\mathrm{\Delta }BID=\mathrm{\Delta }CIE(c.g.c)$

Suy ra $\widehat{BID}=\widehat{CIE}$

Hai góc này bằng nhau, chiếm vị trí đối đỉnh, có hai cạnh tương ứng BI và CI nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm D, I, E thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác ABC biết AB =3cm, BC=5cm và CA=4cm. Gọi đường thẳng qua A và song song với BC là a, đường thẳng qua B và song song với CA là b và đường thẳng C vào song song với AD là c. Gọi A’, B’, C’ theo thứ tự là giao điểm của các đường thẳng b và c, a và c,a và b. Tìm độ dài các cạnh của tam giác A’B’C’.

Giải

Xét tam giác ABC và CB’A. Chúng có: $\widehat{BAC}=\widehat{B^{\prime }C{A}^{\prime }}$ (hai góc so le trong tạo bởi hai đường thẳng song song AB và CB’ với đường thẳng BC)

AC là cạnh chung.

$\widehat{ACB}=\widehat{CA{B}^{\prime }}(g.c.g)$

Tương tự, $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }BA{C}^{\prime }=A^{\prime }CB.$ Như vậy các $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ dài gấp đôi các cạnh tương ứng của $\mathrm{\Delta }ABC$

Vậy

$\begin{array}{l}{A}^{\prime }{B}^{\prime }=2AB=6cm\\ B^{\prime }{C}^{\prime }=2BC=10cm\\ C^{\prime }{A}^{\prime }=2CA=8cm\end{array}$

Bài 3: Tam giác ABC có $\hat{A}={60}^0,$ các tia phân giác BM và CN cắt nhau ở I. Biết rằng BC=4m. Tính tổng BN=CM.

Giải

Ta có: $\hat{A}={60}^0,$nên trong tam giác ABC có:

$\begin{array}{l}\hat{B}+\hat{C}={180}^0-{60}^0={120}^0\\ \Rightarrow \widehat{B_1}+\widehat{C_1}={120}^0:2={60}^0\\ \Rightarrow \widehat{CIM}=\widehat{BIN}={60}^0\end{array}$

(góc ngoài tam giác BIC)

Kẻ tia phân giác ID của $\mathrm{\Delta }BIC$. Ta có:

$\widehat{BID}=\widehat{DIC}={60}^0$

$\mathrm{\Delta }BIN$ và $\mathrm{\Delta }BID$ có:

$\widehat{B_2}=\widehat{B_1}$

BI: cạnh chung $\widehat{BIN}=\widehat{BID}={60}^0$

Vậy $\mathrm{\Delta }BIN=BID(g.c.g)$

Suy ra: BN = BD (1)

Chứng minh tương tự $\mathrm{\Delta }CIM=\mathrm{\Delta }CID(g.c.g)$

Suy ra: CM = CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BN + CM = BD + CD = BC

Vậy BN + CM = BC.

Qua bài giảng Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác:  góc - cạnh - góc  (gcg) này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Chú ý khi vẽ tam giác biết một cạnh và hai góc kề
• Trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc của tam giác và hệ quả
• Vận dụng lý kiến thức làm được các bài toán liên quan

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 2 Bài 5 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Cho tam giác ABC và tam giác NPM có BC = PM, $\hat{B}=\hat{P}$. Cần thêm một điều kiện gì để tam giác MPN và tam giác CBA bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc?

  • A. $\hat{M}=\hat{A}$
  • B. $\hat{A}=\hat{P}$
  • C. $\hat{C}=\hat{M}$
  • D. $\hat{A}=\hat{N}$

• Câu 2:

  Cho tam giác ABC và tam giác MNP có $\hat{A}=\hat{M},\hat{B}=\hat{N}$. Cần thêm điều kiện gì để tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc

  • A. AC = MP
  • B. AB = MN
  • C. BC = NP
  • D. AC = MN

• Câu 3:

  Cho tam giác ABC và tam giác MNP có $\hat{B}=\hat{N}={90}^0$, AC = MP, $\hat{C}=\hat{M}$. Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là đúng 

  • A. $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }PMN$
  • B. $\mathrm{\Delta }ACB=\mathrm{\Delta }PNM$
  • C. $\mathrm{\Delta }BAC=\mathrm{\Delta }PNM$
  • D. $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }PNM$

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 33 trang 123 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 34 trang 123 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 35 trang 123 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 36 trang 123 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 37 trang 123 SGK Toán 7 Tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!