Bài 6: Tam giác cân

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.

* Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân

* Tam giác vuông cân là tam giác vuông hai cạnh góc vuông bằng nhau.

Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Hệ quả:

* Trong tam giác đều, mỗi góc bằng  \({60^0}\)

* Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

* Nếu một tam giác cân có một góc bằng \({60^0}\) thì tam giác đó là tam giác đều.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat A = {50^0}\)

a. Tính \(\widehat B,\,\,\widehat C\)

b. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE. Chứng minh rằng DE // BC.

Giải

a. Ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat B = \,\,\widehat C = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \frac{{{{180}^0} - {{50}^0}}}{2}\\ = \widehat B = \,\,\widehat C = {65^0}\,{\,^{(1)}}\end{array}\)

b. AD = AE nên \(\Delta ADE\) cận tại A

Suy ra \(\,\widehat {ADE} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \frac{{{{180}^0} - {{50}^0}}}{2} = {65^0}\,{\,^{(2)}}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat B = \widehat {ADE}\)

Vậy DE // BC (hai góc đồng vị bằng nhau)

Ví dụ 2: Cho tam giác cân tại A. Gọi D là trung điểm của AC, gọi E là trung điểm của AB. So sánh các độ dài BD và CE.

Giải

Xem hình vẽ:

Cách 1: \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

AB = AC (gt)

\(\widehat A\) chung

Nên \(\Delta ABD = \Delta ACE\,\,(c.g.c)\)

Suy ra BD = CE.

Cách 2: \(\Delta BDC\) và \(\Delta CEB\) có

CD = BE (gt)

\(\widehat B = \widehat {C\,}\,(gt)\)

BC cạnh chung

Nên \(\Delta BDC = \Delta CEB\,\,\,(c.g.c)\)

Suy ra BD = CE

Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC\) cân tại A và có \(\widehat B = 2\widehat A\) phân giác của góc B cắt AC tại D.

a. Tính các góc của \(\Delta ABC\)

b. Chứng minh DA = DB

c. Chứng minh DA = BC

Giải

a. Ta có \(\widehat {A\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} = {180^0}\)

mà \(\Delta ABC\)cân tại A, có \(\widehat B = 2\widehat A\), nên:

\(\widehat {A\,} + 2\widehat {A\,} + \widehat {A\,} = {180^0}\)

Thay \(5\widehat {A\,} = {180^0} \Rightarrow \widehat {A\,} = {36^0}\)

Nên \(\widehat {B\,} = \widehat {C\,} = 2\widehat {A\,} = {72^0}\)

b. Ta có: \(\widehat {DBA} = \frac{1}{2}\widehat B = {36^0}\) (BD phân giác \(\widehat B\))

mà \(\widehat {A\,} = {36^0}\) nên \(\widehat {A\,} = \widehat {DBA}\)

Suy ra \(\Delta ABD\) cân tại D

Vậy \(DA = DB{\,^{\,(1)}}\)

c. Ta có: \(\widehat {BDC}\) là góc ngoài tại D của \(\Delta ABD\) nên

\(\widehat {BDC} = \widehat {DBA} + \widehat A = {36^0} + {36^0} = {72^0}\)

Mà \(\widehat C = {72^0}\) suy ra \(\Delta DBC\) cân tại B

Nên BD = BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = BC.

Bài 1: Cho  hai đường thẳng x’x và y’y song song và một đường thẳng cắt x’x tại M và y’y tại N. Trên đường thẳng y’y lấy hai điểm E, F ở về hai phía của N sao cho NE=NF=NM. Chứng minh:

a. ME, MF là hai tia phân giác của hai góc \(\widehat {xMN}\) và \(\widehat {x'MN}\)

b. \(\Delta M{\rm{EF}}\) là tam giác vuông

Giải

Ta có: MN=NF (gt)

Nên \(\Delta M{\rm{NF}}\)cân tại N

\( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{F_1}}\)

Mà \(\widehat {{F_1}} = \widehat {{M_2}}\)(x’x // y’y và là 2 góc so le trong)

Suy ra \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\)nên MF là phân góc của \(\widehat {xMN}\)

Chứng minh tương tự ta được ME là phân giác của \(\widehat {xMN}\)

b. Theo chứng minh trên thì ME và MF là hai tia phân giác của hai góc kề bù\(\widehat {xMN}\) và \(\widehat {xMN}\) nên \(ME \bot MF\)

Vậy \(\Delta M{\rm{EF}}\) vuông tại M.

Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB=AC) trên tia đối của tia BC lấy điểm D và trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = BD. Nếu A với D và A với E.

a. So sánh \(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ACE}\)

b. Chứng minh \(\Delta ADE\) cân.

Giải

a. Ta có:

\(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ABC}\) là hai góc kề bù

Suy ra \(\widehat {ABD} + \widehat {ABC} = {180^0}\)

Hay \(\widehat {ABD} = {180^0} - \widehat {ABC}\)

Tương tự, ta cũng có:

\(\widehat {ACE} = {180^0} - \widehat {ACB}\)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (t/c tam giác cân)

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\)

b. Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

BD = CE (gt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (cmt)

BA = CA (gt)

Nên \(\Delta ABD = \Delta ACE\,\,(c.g.c)\)

Suy ra AD = AE

Vậy \(\Delta ADE\) cân tại A.

Bài 3: Cho \(\Delta ABD,\,\widehat B = 2\widehat D\), kẻ \(AH \bot BD\,\;(H \in BD)\)

Trên tia đối của tia BA lấy BE = BH. Đường thẳng EH cắt ED tại F. Chứng minh: FH = FA = FD.

Giải

\(\Delta BEH\) cân vì có

BH = BE (gt)

\(\widehat {ABD} = 2\widehat {{H_1}}\) (góc ngoài)

Hay \(\widehat {ABD} = 2\widehat {{H_2}}\,(\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\) là hai góc đối đỉnh)

Mà \(\widehat {ABD} = 2\widehat D\)

Nên \(\widehat {{H_1}} = \widehat D\)

Vậy \(\Delta FHD\) cân tại F nên FH = FD (1)

\(\Delta AHD\) có \(\widehat A = {90^0} - \widehat D\)

Lại có \(\widehat {AHF} = {90^0} - \widehat {{H_2}} = {90^0} - \widehat D\)

Vậy \(\widehat {A\,} = \widehat {AHF},\) nên \(\Delta AHF\)cân tại F

Nên FA = FH (2)

Từ (1) và (2) suy ra: FH = FA = FD

Qua bài giảng Tam giác cân này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Định nghĩa, tính chất tam giác cân
• Định nghĩa, tính chất tam giác đều

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Bài 6 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Chọn câu sai:

  • A. Tam giác đều có ba góc bằng nhau và bằng 60⁰
  • B. Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau 
  • C. Tam giác cân là tam giác đều 
  • D. Tam giác đều là tam giác cân

• Câu 2:

  Hai góc nhọn của tam giác vuông cân bằng nhau và bằng:

  • A. 30⁰
  • B. 45⁰
  • C. 60⁰
  • D. 90⁰

• Câu 3:

  Cho tam giác ABC cân tại A. Phát biểu nào trong các phát biểu sau là sai:

   

  • A. \[(widehat B = \widehat C\)
  • B. \[(widehat C = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\)
  • C. \(\widehat A = {180^0} - 2\widehat C\)
  • D. \(\widehat B \ne \widehat C\)

• Câu 4:

  Một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 64⁰ thì số đo góc ở đáy là:

   

  • A. 54⁰
  • B. 58⁰
  • C. 72⁰
  • D. 90⁰

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 46 trang 127 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 47 trang 127 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 48 trang 127 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 49 trang 127 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 50 trang 127 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 51 trang 128 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 52 trang 128 SGK Toán 7 Tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!