Bài 7: Định lí Pi-ta-go

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow B{C^2} + A{B^2} + A{C^2}\)

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

Ví dụ 1: Nếu độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông tăng lên 2 lần, 3 lần thì độ dài cạnh huyền thay đổi như thế nào?

Giải

Gọi b, c là độ dài của cạnh góc vuông, a là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông. Ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

Độ dài hai cạnh góc vuông tăng lên 2 lần ta có \(b' = 2b \,c' = 2c.\) Khi đó ta có \(a{'^2} = b{'^2} + c{'^2} = {(2b)^2} + {(2c)^2} = 4{b^2} + 4{c^2}\) hay \(a{'^2} = 4({b^2} + {c^2}) = (2{a^2})\) suy ra cạnh huyền \(a'\) tăng lên 2 lần. (Do \(a' = 2a\))

Tương tự độ dài cạnh huyền tăng lên lên 3 lần khi độ dài hai cạnh góc vuông tăng lên 3 lần.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông ở A. Gọi M là trung điểm của AB, kẽ MH vuông góc với BC tại H. Chứng minh \(C{H^2} - B{H^2} = A{C^2}.\)

Giải

Nối CM. Trong tam giác vuông CHM có:

\(C{H^2} = C{M^2} - CM\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}C{H^2} - B{H^2} = (C{M^2} - M{H^2}) - B{H^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = C{M^2} - (M{H^2} + B{H^2})\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = C{M^2} - B{M^2}\end{array}\)

Mà MB = MA (gt)

Nên \(C{H^2} - B{H^2} = C{M^2} - M{A^2}\)

Vậy \(C{H^2} - B{H^2} = A{C^2}\)

Ví dụ 3: Cho tam giác nhọn ABC kẽ AH vuông góc với BC (\((H \in BC).\) Tính chu vi tam giác  ABC. Biết AC = 20cm, AH =12cm, BH =5cm.

Giải

Ta có tam giác AHB vuông tại H. Theo định lý Pitago ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,{12^2}\,\, + \,\,{5^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = MM\,\, + \,25\,\, = 169\\AB\, = 13\,\,(cm)\end{array}\)

Tam giác AHC vuông tại H. Theo định lý Pitago ta có:

\(H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {20^2} - {12^2} = 400 - 144 = 256 = {16^2}\)

HC = 16 (cm)

Nên BC = BH + HC = 5 +16 = 21 (cm)

Chu vi tam giác ABC là:

AB + BC + CA = 13 + 21 + 20 = 54 (cm)

Bài 1: Tam giác ABC có \(\widehat {A\,} = {120^0},BC = a,AC = b,AB = c.\)

Chứng minh rằng \({a^2} = {b^2} + {c^2} + bc\)

Giải

Kẻ \(BH \bot AC\) tại H

Xét \(\Delta BHA\) vuông

\(B{H^2} = {C^2} - {\left( {\frac{c}{2}} \right)^2} = \frac{{3{c^2}}}{4}\)

Xét \(\Delta BHC\) vuông:

\(B{C^2} = C{H^2} + B{H^2} = {\left( {{b^2} + \frac{c}{2}} \right)^2} + \frac{{3{c^2}}}{4} = {b^2} + bc + {c^2}\)

Bài 2: Cho tam giác đều ABC, điểm M ở bên trong tam giác, trong đó MA = 1cm, MB=2cm, MC = \(\sqrt 3 \) cm

a. Tính độ dài cạnh của tam giác ABC

b. Tính số đo các góc AMB, BMC, CMA.

Giải

a. Vẽ \(\Delta BMD\) đều (D và M khác phía đối với AB)

Xét \(\Delta BDA\) và \(\Delta BMC\):

BD = BM

BA = BC

\(\widehat {DBA} = \widehat {MBC} = {60^0} - \widehat {ABM}\)

Vậy \(\Delta BDA = \Delta BMC\) (c.g.c)

\( \Rightarrow DA = MC = \sqrt 3 \)

\(\Delta ADM\) có \(A{D^2} + A{M^2} = 3 + 1 = 4 = M{D^2}\)

\( \Rightarrow \widehat {MAD} = {90^0}\) (định lý Pitago đảo)

\(\Delta ADM\) vuông có \(MA = \frac{1}{2}MD\) nên \(\widehat {ADM} = {30^0}\)

Suy ra \(\widehat {ADB} = \widehat {ADM} + \widehat {MDB} = {30^0} + {60^0} = {90^0}\)

Trong \(\Delta ADB\) vuông: \(A{B^2} = A{D^2} + D{B^2} = 3 + 4 = 7\)

Vậy \(AB = \sqrt 7 \)

b. \(\widehat {AMB} = \widehat {AMD} + \widehat {BMD} = {60^0} + {60^0} = {120^0}\)

\(\Delta BMC\) có \(M{B^2} + M{C^2} = 4 + 3 = 7 = B{C^2}\)

\( \Rightarrow \widehat {BMC} = {90^0}\) (định lý Pitago đảo)

Suy ra \(\widehat {AMC} = {150^0}\)

Bài 3: Từ điểm O trong \(\Delta ABC\), kẻ OF, OG, OH vuông góc với AB, BC, CD. Chứng minh hệ thức:

\(A{F^2} + B{G^2} + C{H^2} = A{H^2} + B{F^2} + C{G^2}\)

Giải

Ta có: \(O{A^2}{\rm{ = A}}{{\rm{F}}^2}{\rm{ +  O}}{{\rm{F}}^2} = A{H^2} + O{H^2}\,{\,^{(1)}}\)

(\(\Delta AFO,\,\Delta AHO\) vuông tại \({F_1}H\))

\(O{B^2}{\rm{ = B}}{{\rm{G}}^2}{\rm{ +  O}}{{\rm{G}}^2} = B{F^2} + O{F^2}\,{\,^{(2)}}\)

(\(\Delta BOG,\,\Delta BFO\) vuông tại G, F)

\(O{C^2}{\rm{ = C}}{{\rm{H}}^2}{\rm{ +  O}}{{\rm{H}}^2} = C{G^2} + O{G^2}\,{\,^{(3)}}\)

(\(\Delta OGH,\,\Delta OGC\) vuông tại H, G)

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được:

\(\begin{array}{l}{\rm{A}}{{\rm{F}}^2} + O{F^2} + B{G^2} + O{G^2} + C{H^2} + O{H^2}\\ = A{H^2} + O{H^2} + B{F^2} + O{F^2} + C{G^2} + O{G^2}\end{array}\)

Vậy \({\rm{A}}{{\rm{F}}^2} + B{G^2} + C{H^2} = A{H^2} + B{F^2} + C{G^2}\

Qua bài giảng Định lí Pi-ta-go này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm vững định lí Pi - ta - go thuận và đảo để làm những bài toán liên quan

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Định lí Pi-ta-go cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Chọn phát biểu đúng 

  • A. Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác nhọn.
  • B. Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông
  • C. Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác tù.
  • D. Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác cân.

• Câu 2:

  Chọn câu trả lời sai. Tam giác DHK vuông tại D khi:

   

  • A. \(\widehat H + \widehat K = {90^0}\)
  • B. DH² + DK² = HK²
  • C. \(\widehat D = \widehat H + \widehat K\)
  • D. DH² + HK² = DK²

• Câu 3:

  Cho tam giác ABC vuông tại B. Khi đó:

   

  • A. AB² + BC² = AC² 
  • B. AB² - BC² = AC²​ 
  • C. AB² + AC² = BC²​ 
  • D. AB²  = AC²​ + BC²

• Câu 4:

  Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Tính độ dài cạnh BC biết AB = AC = 2dm

   

  • A. BC = 4dm
  • B. \(BC = \sqrt 6 dm\)
  • C. BC = 8dm
  • D. \(BC = \sqrt 8 dm\)

• Câu 5:

  Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26cm độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông

  • A. 12cm; 24cm
  • B. 10cm; 22cm
  • C. 10cm; 24cm
  • D. 15cm; 24cm

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Định lí Pi-ta-go để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Bài tập 53 trang 131 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 54 trang 131 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 55 trang 131 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 56 trang 131 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 57 trang 131 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 58 trang 132 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 59 trang 133 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 60 trang 133 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 61 trang 133 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 62 trang 133 SGK Toán 7 Tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!