Bài học trước, chúng ta đã biết về công thức nghiệm thu gọn. Trong bài học này, chúng ta sẽ được tìm hiểu về mối quan hệ tổng tích giữa các nghiệm thông qua hệ thức Vi-ét.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Hệ thức Vi-ét
Nhắc lại bài cũ về phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)
\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)
Định lý Vi-ét
Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
Tổng quát
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).
1.2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Tìm 2 số khi biết tổng của chúng là S và tích của chúng là P. Giả sử 1 số là x thì số còn lại là \(S-x\)
Vì thế, tích của chúng được viết lại là: \(x(S-x)=P\Leftrightarrow x^2-Sx+P=0\)
Đặt \(\Delta =S^2-4P\)
Bài tập minh họa
2.1. Bài tập cơ bản
Bài 1: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau: \(x^2-8x+11=0\)
Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính \(\Delta' =(-4)^2-1.11=5>0\)
Ta có: \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{-8}{1}=8\)
\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{11}{1}=11\)
Bài 2: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau:\(2x^2-8x-29=0\)
Hướng dẫn:
Với bài toán này, ta nhận thấy hệ số a và c trái dấu, như đã học ở bài trước, pt này chắc chắn có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy: \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{-8}{2}=4\)
\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{29}{2}\)
Bài 3:Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau: \(x^2+10x+25\)
Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính \(\Delta' =(-5)^2-1.25=0\)
Vậy \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{10}{1}=-10\)
\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{25}{1}=25\)
2.2. Bài tập nâng cao
Bài 1: Tìm hai số biết tổng của chúng là 5 và tích của chúng là 6
Hướng dẫn: Gọi hai số đó là \(x_1\) và \(x_2\)\(\Rightarrow x_1+x_2=5; x_1.x_2=6\)
Lại có \(S^2=25>4P=24\)
Vậy 2 số cần tìm là nghiệm của phương trình \(x^2-Sx+P=0\) hay \(x^2-5x+6=0\)
\(\Rightarrow x_1=3, x_2=2\) hoặc \(\Rightarrow x_1=2, x_2=3\)
Bài 2: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 11 và tích của chúng là 60
Hướng dẫn: Gọi hai số cần tim là a, b
Ta có \(\left\{\begin{matrix} a-b=11\\ ab=60 \end{matrix}\right.\)
Thế \(a=11+b\) vào phương trình tích, ta được \(b(b+11)=60\Leftrightarrow b^2+11b-60=0\)
\(\Rightarrow b=-15\) hoặc \(b=4\)
\(b=-15\Rightarrow a=-4\)
\(b=4\Rightarrow a=15\)
3. Luyện tập Bài 6 Chương 4 Đại số 9
Qua bài giảng Hệ thức Vi-ét và ứng dụng này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
- Nắm vững hệ thức Viet
- Biết cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
3.1 Trắc nghiệm về Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 4 Bài 6 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
-
- A. \(S=-6;P=2017\)
- B. \(S=6;P=-2017\)
- C. \(S=6;P=2017\)
- D. \(S=-6;P=-2017\)
-
- A. \(S=8; P=17\)
- B. \(S=-8; P=17\)
- C. \(S=8; P=-17\)
- D. Không tìm được
Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online
3.2 Bài tập SGK về Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 4 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 2
Bài tập 25 trang 52 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 26 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 27 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 28 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 29 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 30 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 31 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 32 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 33 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2
4. Hỏi đáp Bài 6 Chương 4 Đại số 9
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.
