Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Nhắc lại bài cũ về phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ có 2 nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

Ta có: $x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=-\frac{b}{a}$

$x_1.x_2=\frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$

Định lý Vi-ét

Nếu $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ thì:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

và $x_1.x_2=\frac{c}{a}$

Tổng quát

Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ có $a+b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=1$ và nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}$.

Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ có $a-b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=-1$ và nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}$.

Tìm 2 số khi biết tổng của chúng là S và tích của chúng là P. Giả sử 1 số là x thì số còn lại là $S-x$

Vì thế, tích của chúng được viết lại là: $x(S-x)=P\iff x^2-Sx+P=0$

Đặt $\mathrm{\Delta }=S^2-4P$

Bài 1: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau: $x^2-8x+11=0$

Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-4{)}^2-1.11=5>0$

Ta có: $S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{-8}{1}=8$

$P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{11}{1}=11$

Bài 2: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau:$2x^2-8x-29=0$

Hướng dẫn:

Với bài toán này, ta nhận thấy hệ số a và c trái dấu, như đã học ở bài trước, pt này chắc chắn có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy: $S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{-8}{2}=4$

$P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{29}{2}$

Bài 3:Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau: $x^2+10x+25$

Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(-5{)}^2-1.25=0$

Vậy $S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{10}{1}=-10$

$P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{25}{1}=25$

Bài 1: Tìm hai số biết tổng của chúng là 5 và tích của chúng là 6

Hướng dẫn: Gọi hai số đó là $x_1$ và $x_2$$\Rightarrow x_1+x_2=5;x_1.x_2=6$

Lại có $S^2=25>4P=24$

Vậy 2 số cần tìm là nghiệm của phương trình $x^2-Sx+P=0$ hay $x^2-5x+6=0$

$\Rightarrow x_1=3,x_2=2$ hoặc $\Rightarrow x_1=2,x_2=3$

Bài 2: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 11 và tích của chúng là 60

Hướng dẫn: Gọi hai số cần tim là a, b

Ta có $\{\begin{array}{c}a-b=11\\ ab=60\end{array}$

Thế $a=11+b$ vào phương trình tích, ta được $b(b+11)=60\iff b^2+11b-60=0$

$\Rightarrow b=-15$ hoặc $b=4$

$b=-15\Rightarrow a=-4$

$b=4\Rightarrow a=15$

Qua bài giảng Hệ thức Vi-ét và ứng dụng này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm vững hệ thức Viet
• Biết cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 4 Bài 6 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tổng và tích 2 nghiệm của phương trình $x^2+6x-2017=0$ lần lượt là:

  • A. $S=-6;P=2017$
  • B. $S=6;P=-2017$
  • C. $S=6;P=2017$
  • D. $S=-6;P=-2017$

• Câu 2:

  Cho phương trình $-x^2+8x-17=0$. Tổng và tích của 2 nghiệm phương trình trên là: 

  • A. $S=8;P=17$
  • B. $S=-8;P=17$
  • C. $S=8;P=-17$
  • D. Không tìm được

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 4 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 2

Bài tập 25 trang 52 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 26 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 27 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 28 trang 53 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 29 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 30 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 31 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 32 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 33 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.