Ôn tập chương 4 Phương trình bậc hai một ẩn

Kiến thức cần nhớ

1. Đồ thị hàm số \(y=ax^2 (a\neq 0)\)

Đồ thị hàm số \(y=ax^2 (a\neq 0)\) là tập hợp gồm tất cả các điểm \(M(x_{M}; ax_{M}^{2})\). Để xác định một điểm thuộc đồ thị, ta lấy một giá trị của x làm hoành độ và thay vào phương trình \(y=ax^2\) để tìm ra giá trị tung độ.

2. Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai một ẩn (gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng \(ax^2+bx+c=0\)

Trong đó, x là ẩn; các hệ số a, b, c là các số cho trước và  \(a\neq 0\)

3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Với phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) và biệt thức \(\Delta =b^2-4ac\):

\(\Delta>0\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\); \(x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)

\(\Delta=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\)

\(\Delta<0\) phương trình vô nghiệm.

4. Công thức nghiệm thu gọn

Với các phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) và \(b=2b'\), \(\Delta '=b'^2-ac\) thì:

Nếu \(\Delta '>0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(x_{1}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}; x_{2}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\)

Nếu \(\Delta '=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{-b'}{a}\)

Nếu \(\Delta '<0\) thì phương trình vô nghiệm.

5. Định lí Vi ét và ứng dụng

Phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)

Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)

\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)

Định lý Vi-ét

Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)

và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)

Tổng quát

Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).

Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).

6. Các phương trình quy về phương trình bậc hai (phương trình trùng phương, phương trình có ẩn ở mẫu, phương trình tích...)

a. Phương trình trùng phương

Định nghĩa

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: \(ax^4+bx^2+c=0 (a\neq 0)\)

b. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu đã học ở lớp 8

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được 

Bước 4: So sánh điều kiện ban đầu rồi kết luận nghiệm

c. Phương trình tích

Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới:

Biến đổi phương trình về dạng \(A.B.C.....=0\) rồi suy ra hoặc \(A=0\) hoặc \(B=0\) hoặc.....

7. Giải toán bằng phương pháp lập phương trình

Phương pháp giải

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, chúng ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Lập phương trình

Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Biểu đạt các đại lượng khác nhau theo ẩn

Dựa vào đề bài toán, lập phương trình theo dạng đã học

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: So sánh kết quả tìm được và chọn nghiệm thích hợp

Các bài tập trọng tâm

Bài 1: Cho hàm số \(y=-x^2\) và đường thẳng \(y=-4x+4\). Tìm giao điểm của hai đồ thị đó bằng hình vẽ và đồ thị

Hướng dẫn:Vẽ hình HS tự vẽ.
Tìm giao điểm: Phương trình hoành độ giao điểm: \(-x^2=-4x+4\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\)

Tính biệt thức \(\Delta=0\) suy ra phương trình có nghiệm kép \(x=2\Rightarrowy=-4\).

Vậy khi vẽ hình, ta chỉ nhận được một giao điểm. Sau này lên cấp trên, các em sẽ được biết đường thẳng trên là tiếp tuyến của hàm số.

Bài 2: Giải phương trình bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^2-11x-12=0\)

Hướng dẫn:\(x^2-11x-12=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-12x+x-12=0\)

\(\Leftrightarrow x(x-12)+x-12=0\)

\(\Leftrightarrow (x+1)(x-12)=0\)

Vậy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là \(x=-1;x=12\)

Bài 3: 

Giải phương trình: \(x^2+10x+25=0\); \(x^2-4x-9=0\)

Hướng dẫn: \(x^2+10x+25=0\)

Giải: \(\Delta =10^2-4.1.25=0\) \(\Rightarrow x=\frac{-0}{2}=-5\)

\(x^2-4x-9=0\)

Giải: \(\Delta =(-4)^2-4.1.(-9)=52\Rightarrow \sqrt{\Delta }=2\sqrt{13}>0\)

\(\Rightarrow x_{1}=\frac{-(-4)+2\sqrt{13}}{2}=2+\sqrt{13};x_{2}=\frac{-(-4)-2\sqrt{13}}{2}=2-\sqrt{13}\)

Bài 4: 

Tìm hai số biết hiệu của chúng là 5 và tích của chúng là 150

Hướng dẫn: Gọi hai số cần tim là a, b

Ta có \(\left\{\begin{matrix} a-b=5\\ ab=150 \end{matrix}\right.\)

Thế \(a=5+b\) vào phương trình tích, ta được \(b(b+5)=150\Leftrightarrow b^2+5b-150=0\)

\(\Rightarrow b=-15\) hoặc \(b=10\)

\(b=-15\Rightarrow a=-10\)

\(b=10\Rightarrow a=15\)

Bài 5:

Giải phương trình trùng phương sau: \(x^4-4x^2-5=0\)

Hướng dẫn: Đặt \(t=x^2 (t\geq 0)\)

Khi đó, phương trình trở thành: \(t^2-4t-5=0\)

Giải phương trình bậc hai cơ bản trên, ta được: 

\(t=-1\) (loại)

\(t=5\) (nhận)\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}\)

Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 9 Chương 4 Bài 9 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 9 Chương 4 Bài 9 cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 9 Chương 4 Bài 9 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9